Chapitre V

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# Chapitre V - PowerPoint PPT Presentation

Chapitre V. Methodes de Simulation Bootstrap, Jacknife. Introduction. Econometrie: Un seul echantillon historique Impossible de repeter des donnees en construisant des experiences (physique) Efron (1979): considerer l’echantillon observe comme population Re-echantilloner l’echantillon.

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Presentation Transcript

### Chapitre V

Methodes de Simulation

Bootstrap, Jacknife

Introduction
• Econometrie: Un seul echantillon historique
• Impossible de repeter des donnees en construisant des experiences (physique)
• Efron (1979): considerer l’echantillon observe comme population
• Re-echantilloner l’echantillon
Illustration CLT
• Choisir une distribution de probabilite
• Choisir nombre de groupes N
• Choisir R echantillons
• Histogramme des moyennes et ecarts type
Exemple Matlab

n=[3,10,100];

mea=[];

for ni=1:1:3;

si=n(ni);

rn=[];

for z=1:1:500;

rn=[rn,chi2rnd(2,si,1)];

end

mea=[mea;mean(rn)];

end

for z=1:1:3;

subplot(3,1,z);

hist(mea(z,:),40);

axis( [min(mea(1,:)) max(mea(1,:)) 0 50] )

end

Boucle sur N

Boucle sur R

Application
• Distribution: chi-deux[2]
• Somme au carre de deux variables N(0,1)
• Z=X12+X22

Vraie moyenne = 2,

Varie variance = 4

• Groupes: 3, 10, 100
• Echantillons: R = 500
Moyenne

N=3

N=10

N=100

Variance

N=3

N=10

N=100

N=3

N=10

N=100

Bootstrap – Efron (1979)
• Baron de Munchhausen: “Pulling oneself up by one’s bootstraps”
• Approche non-parametrique d’inference statistique
• Utiliser simulations plutot que des hypotheses sur la distribution sous-jacente
• Objctifs: Estimer les ecarts type, intervalle de confiance et formuler tests sur une distribution
Avantages
• Large applicabilite
• Gain de precision
• Cout informatique reduit
Procedure Standard
• 1. Population=echantillon
• 2. Tirer des echantillons aleatoires avec remplacement: taille m<n

Pseudo echantillons  bootstrap 1

bootstrap 2

etc…

Suite
• 3. Pour chaque pseudo-echantillon, calculer la statistique d’interet
• 4. Utiliser la distribution empirique de la statistique T pour examiner les caracteristiques de la distribution
Exemple
• Taux de rendement CAN/USD dpuis 1986
• Quel est l’ecart type?
• Std(Returns)*sqrt(48)=4.43%
• Obtenir intervalle de confiance?
Matlab

retu=diff(log(cana));

stat_boot=[];

boot=5000;

nb=size(retu,1);

Lo=5/100;

Up=95/100;

for b=1:1:boot;

R = UNIDRND(nb,nb,1);

boot_sample=retu(R,1);

stat_boot=[stat_boot; std(boot_sample)*sqrt(48)];

end

hist(stat_boot,40);

sam_sort=sort(stat_boot);

ind_conf=ceil([Lo; Up]*boot);

Conf_int=sam_sort(ind_conf);

Histogramme

Ecart Type des Rendements Annualises

Intervalle de Confiance

std(5%)=4.22%

std(95%)=4.64%

Block Bootstrap
• Si dependence dans le temps entre observations
• Tirer des echantillons individuels avec remplacement detruit la structure temporelle
• Solution: Block Bootstrap de Kunsch
• Tirer des echantillons de taille k
• {1,2,3}, {6,7,8}, {3,4,5}
Sieve Bootstrap
• Si le modele statistique sous-jacent est connu: X=ARMA(p,q)
• Estimer le modele pour obtenir residus
• Re-echantilloner les residus
• Generer pseudo-donnees X* recursivement
• Re-estimer le modele
Simulation AR(1)

%--------------------------------------------------------

% Generer une serie AR(1)

n=500;

y(1,1)=0;

for i=2:1:n;

y(i,1)=-0.2+0.6*y(i-1,1)+normrnd(0,1);

end

plot(y);

%--------------------------------------------------------

% Premiere etape: Estimation du coefficient

xx=[ones(500,1), lag(y)];

y_reg=ols(y,xx);

prt(y_reg);

Reg_prem=y_reg.beta; % Coefficient

Reg_resid=y_reg.resid; % Residus

Simulation de la serie

Estimation sur l’echantillon

entier

Simulation AR(1)

% Simulations

nboot=1000;

ar_coff=[];

for nb=1:1:nboot;

nb

new_samp=y(1,1);

R=unidrnd(n,n,1);

resid_resamp=Reg_resid(R,1);

for ii=2:1:n;

new_samp(ii)=Reg_prem(1)+Reg_prem(2)*new_samp(ii-1)+resid_resamp(ii,1);

end;

new_samp1=new_samp';

xx1=[ones(500,1), lag(new_samp1)];

boot_reg=ols(new_samp1,xx1);

Boot_coeff=boot_reg.beta; % Coefficient

ar_coff=[ar_coff; Boot_coeff(2)];

end

Boucle Bootstrap

Pseudo-echantillon

Resultats

Coefficient AR(1)

Coefficient Observe

0.66

Moyenne=0.655

Ecart Type=+-0.0322

Stationary Bootstrap
• Les donnees re-echantillonnees ne sont pas stationaires
• Solution: Politis et Romano (1994): Stationary bootstrap
• Block bootstrap avec des blocs de taille aleatoire
• Donnees resultantes sont stationaires
Probleme 4
• Quelle taille?
• La taille de l’echantillon doit augmenter avec n pour rendre l’estimation fiable
• Hall (1995)
Cas Pratique
• Modelisation ECM de AUD/EUR
• 200 observations seulement
Exemple - Suite
• Objectifs: Comparer performance du modele ECM avec modele monetaires
• Meese et Rogoff (1983): Les modeles monetaires n’arrivent pas a battre le modele Random Walk
• Statistique d’interetMesure de predictabilite relative
Application
• Predictabilite des Taux de Change
Intervalles de Confiance
• Distribution Normale
• Deciles

Exemple

• Intervalle a 95% : trier les donnees par ordre croissant
• Bas = 0.025 x statistiques bootstrapees
• Haut = 0.975 x statistiques bootstrapees
Variations
• Modele de Regression Lineaire:
• Statistique d’interet beta1
• 1) Premiere Regression pour obtenir residus
• 2A) BOOTSTRAP NON-PARAMETRIQUE
• Re-Echantilloner les residus
• Fixer les X, Y*=Y+U** est la nouvelle variable dependente
• Regresser Y* et X
• Sauver le coefficient
• 2B) BOOTSTRAP PARAMETRIQUE
• Tirage de U** a partir de la distribution Normale
• Meme procedure
Autres Methodes
• Jackknife (take one out)
• S={X1,X2,...Xn}
• Tirer un echantillon de taille n-1
• S(i)=S-{Xi}
• Estimer
• Calculer