机械波

1. 机械波

2. 引言 机械波：机械振动在弹性介质中传播 电磁波：变化电磁场在空间的传播 　　他们具有波动的共同或相似的特性，如数学表达式，传播速度，振幅……

3. 一　机械波的几个基本概念 １、机械波的产生 观察几种机械波：横波，纵波 　　当弹性介质中的一部分发生振动时，由于介质各个部分之间的弹性力间的相互作用，振动就由近及远的传播出去，可见 （１）机械波实质上是介质中大量质元参与的集体振动 （２）机械波产生的条件是波源和弹性介质

4. （３）沿波的传播方向各质元的相位依次落后　　　　　　，或者说沿波的传播方向上，（３）沿波的传播方向各质元的相位依次落后　　　　　　，或者说沿波的传播方向上， 后一质元重复前一质元的运动状态 ２、从波的产生，传播得到的波动过程特点 　　仔细观察一根拉紧的长绳　　　　　　子上的横波沿绳子传播，可知 （１）绳子上各质元在各自平衡位置往复振动，而质元不沿波的传播方向移动 （２）波动是振动状态（相位）的传播

5. ３、描述波动的物理量 （１）波长　：沿波传播方向，两个相邻的相位差为　的振动质元间的距离 （２）波的周期　 　　相位传播一个波长距离所需的时间．波的频率：　　即单位时间内波传播的完整波的数目 （３）波速（相速） 　　振动状态传播的速度或单位时间波传播的距离

6. 　　　和　的关系 波传播速度　与介质性质有关 （纵波） 式中ｋ为体积模量，　为介质密度。 （ａ）纵波与弹性介质的体积变化有关，而液体，气体只有体变弹性，故气体和液体只能传播与体积变化有关的纵波。

7. 　　设体积为Ｖ，压强为Ｐ的液体或气体，受外力压缩　　设体积为Ｖ，压强为Ｐ的液体或气体，受外力压缩 压强增加量 有关系式 体积模量 （ｂ）固体中能产生切变、体变和长度变化等弹性形变，所以固体中既能传播横波又能传播纵波。

8. 　　物体在切向力Ｆ作用下，产生切变，引起切应变　　　，若横截面为Ｓ　　物体在切向力Ｆ作用下，产生切变，引起切应变　　　，若横截面为Ｓ 在固体中传播横波的速度 式中Ｇ为介质的切变模量，由下式给出

9. 在固体中传播纵波的速度为 　　长为 　，截面积Ｓ的固体，在外力作用下伸长 式中Ｅ为弹性模量

10. ４、波动中常见的几个物理名词 （１）波线：波的传播方向上画的一些带有箭头的线。 （２）波面：波在传播中，不同波线相位相同的点所连成的曲面。　　　　　　　　　　（球面波，平面波，柱面波） （３）波阵面（波前）：某时刻波所到的各点连成曲面。（波前是波面的特例）

11. 二、 平面简谐波的波函数（波动方程） 　　描写平面简谐波在传播方向上任意　 处的质点，在任意时刻t的位移　，即函数形式 　　设一沿 ox 轴传播的简谐波，原点 o 处质点简谐运动方程 1、 平面简谐波 　　 波源作简谐运动，介质中各点将依次作振幅相等的简谐运动而形成的平面 波。 2、 平面简谐波的波函数(波动方程)

12. 　离开ｏ点距离为　的任一点ｐ，在　时刻的振动情况　离开ｏ点距离为　的任一点ｐ，在　时刻的振动情况 （１）与ｏ点以相同振幅Ａ和相同频率　作重复ｏ点的谐振运动 （２）ｐ点在重复ｏ点的振动状态,但在时间上要比ｏ点滞后 　即ｐ点在　时刻的振动与ｏ点在 　　时刻的振动状态相同 若波沿着正 ox 轴传播，速度为u，求平面简谐波的波函数 方法一：从运动学特征“推导”（建立）波函数 波动传播的特征：

13. 　因此,可以用ｏ点在 　　　 时刻的振动反映ｐ点在　时刻的振动 　　该式即为沿 ox 轴正方向传播的平面简谐波的波动方程： —角波数 波动方程的其它形式

14. 3 、讨论 （１）若波沿着ox负轴方向传　　　　 　　播，则ｐ点的振动比（已知点）　　　 　　原点ｏ超前　 时间，即ｐ点ｔ时刻的振动状态与ｏ点　　时刻的振动状态相同 （２）若已知的振动点不位于坐标原点ｏ,是距ｏ为　的Q，且 即 那么任一点ｐ的振动

15. （３）波函数的一般微分表达式设 分别对 和　求二阶偏导数得 　　由此可得到平面波波函数的一般表达形式 　　可以证明，在三维空间传播的一切波动过程，有

16. 4 、波动方程（波函数）的物理意义 （1）若　给定（设 　　）时　　　　　　即只考察该处的质点，此时　仅仅是ｔ的函数，波动方程就表示距坐标原点　处质点在不同时刻的位移，也就是方程代表该质点的振动方程（如图） （请注意在波函数中有两个变量）

17. （2）若ｔ给定(设 　 )时， 　只是　的函数，此方程表示在给定时刻ｔ 波线上各点的位移，即该时刻的波形方程（如图）

18. （3）当 和　都变化时，方程就表示波线上各不同点在不同时刻的位移，即波形的传播（或相位的传播）如图

19. 例1、 已知平面简谐波波线上某一点的振动方程，写出其波动方程 　　设平面简谐波的波速 　，沿着ox轴正方向传播，在传播的路径上A点的振动方程为 求（１）以A点为坐标原点，写出波动方程

20. （2）以距 Ａ点为　的Ｂ点为坐标原点，写出波动方程 （3）某时刻波线上Ｃ和Ｄ两点间的相位差 解： （1）由Ａ点的振动方程 　　　　　及　，可得以Ａ为坐标原点的波动方程

21. （2）若以Ｂ点为坐标原点，首先写出Ｂ点的振动方程，因为B点的相位比A点的相位超前 　　 ，得Ｂ点的振动方程 所以，以B点为坐标原点的波动方程

22. 另一简单的方法是：在 ox 轴上任一点ｐ与已知振动点Ａ相距为ｒ，且 　　　，则得波动方程为 结果相同！

23. 3 、波线上C点和D点的相位差 取 A 为原点坐标　　

24. 例题2 、已知平面简谐波的某一图形，写出波动方程（波函数） 　　设图示为平面简谐波在　　　　　　　　　　时刻的波形图，求该波的波动方程。　　已知波沿 ox 轴正方向传播，且 解：由图上直接读出 所以

25. 则 又ｔ＝０时，原点ｏ 得坐标原点处的振动方程 波动方程

26. 问题：若已知 （１）任一时刻的波形图 （２）任一点振动图 （３）波形传播图 求波动方程（波函数）

27. 例题3 频率 　　 　 的平面纵波沿金属棒传播，棒的弹性模量 　　　　　　　，密度 　　　　　 　　，已知波源的振幅 　　　　， 求 （1）取 　　，波源的振动方程 （2）波动方程 （3）离波源 10cm 处质点的振动方程 （4）离波源 20cm 和 30cm 两点处质点振动的相位差

28. 解：先计算 (２)波动方程（沿正 方向传播） （1）波源振动方程

29. （3）离波源 10cm 处质点的振动方程 （4）

30. 三、波的能量 1、波动过程是能量传播的过程 （以棒中传播的简谐纵波为例） 　　当波传播到某质元 dm 时，该质点要振动具有动能 其中 振动速度

31. 由于介质中体积元　　的形变而具有势能 其中　为棒的劲度系数 由前知

32. 比较 所以

33. 质元（总）能量 （1）波动是能量传播的过程，质元的 dW ，在波动过程中从大 　小　 大，能量不断传递和获得。 （1）能量密度 平均能量密度 讨论

34. （2）波动中动能和势能同相位（同时达到最大和最小），（振动中动能和势能相位差 ） （3）波的能量正比于

35. 2、能流和能流密度 如何表述波动中能量的传递和流动呢？（大小，方向） （1）能流：单位时间内垂直通过某一面积的能量　 平均能流 　　单位：功率的单位Ｗ（在工程上指传播或发射的功率）

36. （2）能流密度（波的强度） 　　　　　　单位面积的平均能流，即单位　　　　　　时间垂直上述单位面积的平均　　　　　　能流 单位是 　　由于引起人们听觉的声强的范围很大 ，　　　　　　　　 故采用声强级 例如　声波的能流密度——声强 人们听觉：声强和声频 通常

37. 四 、惠更斯原理（波传播过程中的另一特性） 1、原理： 　　介质中波动传播到的各点都可以看作发射子波（球面波）的新波源 　　其后的任意时刻这些子波的包络就是新的波前。 2、原理的应用 （1）确定某时刻波阵面（波前）和波的传播方向（波线）

38. （2）波的反射和折射 （3）波的衍射 3、说明 　（1）原理适用：机械波，电磁波以及均匀，非均匀介质。　 （2）原理不足：各列波对空间各点振动的贡献多少？

39. 五、 波的干涉：(波在传播过程中相遇时的特性） 1 、波的叠加原理 观察两列波相遇时的现象，得到如下结论 （1）几列波相遇后，仍然保持它们各自原有的特性不变，按原方向继续前进 （2）在相遇区域各点的振动，是几列波单独存在时在该点所引起的振动的叠加 2、 波的干涉——波相遇区的叠加现象 波的干涉现象——叠加现象中最基本，最重要的表现

40. 设两列相干波的波源　和　其振动方程 　　两列频率相同，振动方向　　　　　　平行，相位相同或相位差恒定　　　　　　的波（相干波）相遇时，使某　　　　　　些区域振动始终加强，而另一些区域振动始终减弱的现象 3 、干涉条件的讨论

41. 　　其形成的两列波在空间ｐ点相遇，则它们在ｐ点的振动方程　　其形成的两列波在空间ｐ点相遇，则它们在ｐ点的振动方程 所以ｐ点处的合振动为（简谐运动）

42. 　　可计算得 和　，其中合振动振幅 当 当 合振幅最大 合振幅最小

43. 如果 （常见） 当 当 　　（1）　不是上述值时，需计算求出合振动振幅Ａ 讨论：

44. 　例题、两振幅相等相干波源于A，B两点处，相距30cm， 　　　　　 ，且Ｂ比Ａ的相位超前 　，求在 AB 连线上因干涉而静止的各点位置。（15—17） （2）干涉现象是波动所独有的现象 （3）非相干波相遇，不发生干涉现象

45. 解：两波源激起的两列波的方程取图示坐标 在某处（　）相遇时相位差 （为什么？）

46. 因为 代入 即 解得 讨论： （1）可直接由干涉条件求得上述结果，即

47. （2）在 AB 连线之间，相干涉结果，某些质点静止不动，而另些质点振动始终加强—什么现象？ 波“驻”，即没有波的移动和传播，只有（分段）振动 六、 驻波 1、 什么是驻波？（观察驻波现象） 2 、驻波的形成： （观察） 两列振幅相等的相干波，在同一直线沿相反方向传播叠加而形成的一种特殊形式的干涉现象

48. 3 、现象分析 （1）有波形，却无波形传播（无相位，能量传播） （2）各质点在分段上振动，但振幅不等 （3）各分段上振动相位相同，相邻两分段的振动相位相反 4、 驻波方程—描述驻波的运动方程 　　从一特例导出，其它情况导出的方程形式略有不同

49. 说明：（1）各点 　在作振幅 　　　　不等的简谐运动　　　　（2）本方程是由两列波的波源都位于坐标原点，且在坐标原点时两波源的相位相等情况下导出的驻波方程表示式。 　　设两列反向传播的等振幅相干波方程 同方向振动，则 驻波方程

50. 5、 驻波的特性 波节点 波腹点 （1）波节 和波腹（振幅的特征） 各点振动振幅不等，其中