相乗平均から対数の世界へ

1. 相乗平均から対数の世界へ

2. １月２８日 １月２９日 １月３０日 ×１．６ ×１．２５ 相乗平均 ■　平均倍率 例１　株価の推移 １００円 ２００円 １６０円 平均何倍ずつ増えたのだろうか

3. １００円 ２００円 １６０円 ×１．６ ×１．２５ １月２８日 １月２９日 １月３０日 １．６＋１．２５ 両方とも１．４２５倍にしてみると・・・ ２ ×１．４２５ ×１．４２５ 相乗平均 ＝１．４２５　倍 １００円 ２０３．０６２５円 ≠２００円 １４２．５円 だいたい良いような気もするが・・・ちょうど２００円にならないか？

4. １月２８日 １月２９日 １月３０日 ×１．６ ×１．２５ １．６×１．２５＝　　２ １００円 １００円 ×　２ ×　２ ×　２ ×　２ ×　２ １．６×１．２５ 相乗平均 そこで・・・ １００円 ２００円 １６０円 ＝２００円 １００円 こちらの方が適当ではないだろうか。 １つの物の連続した２つの期間の倍率の平均は・・・かけ算＆√ ・・・・・・ 相乗平均 という

5. ある日 １ヶ月後 ２ヶ月後 ２匹 ３２匹 ４匹 ×２ ×８ ２×８＝４ ×４ ×４ 相乗平均 例２　ねずみの家族 ３２匹 ２匹 ８匹 ＝３２匹 ×４ ２匹 ×４

6. a2 a1 a3 a1 a2 a4 ×R2 ×R1 ×R3 ×R1 ×R2 a3 an an+1 ・・・ ・・・３つの積の３乗根が平均倍率 ×Rn ×Rn-1 ・・・ｎ個の積のｎ乗根が平均倍率 相乗平均 ということは・・・ 期間が３つの場合 期間がｎ個の場合

7. ×２ ×１２８ 対数を使う ■　倍率の内分 相乗平均 ２つの期間の倍率の平均 ･･････ a3 a2 a1 相乗平均 ところで ･･･１：１に内分する点　と考えれば ＝中点 平均 別の比の内分も定義できる

8. １２８倍 ２倍 ２ １ 対数を使う ２倍と１２８倍を１：２に内分する倍率は？ 直線的に考えれば　（内分の復習） ＝44 ４４倍 だが・・・・・・ 相乗平均と同じように考えるとどうなるか？

9. ２倍と１２８倍の相乗平均を とおくと は　　　　　と　　　　　　 の相加平均 は　　　　　と　　　　　　 を１：１に内分する点 対数を使う 相乗平均を分析してみよう 対数をとる

10. 2×log2＋1×log128 1+ 2 = 対数を使う では・・・ ２倍と１２８倍を１：２に内分する倍率をRとすると logRはlog2と log128 を１：２に内分する点だから logR ２倍と１２８倍を１：２に内分する倍率は ８倍

11. 直線補完 １２８倍 ４４倍 対数補完 ８倍 ２倍 このように、対数で内分して途中の値を補完する方法を 対数補完という ２ １ 対数を使う 複利での資産運用など、幾何級数的な変数を補完する

12. 今年部屋で発見したカメムシの数の推移 ２：３ ３：２ １：４ ４：１ 対数を使う 細かく対数補完しよう 倍率でなくても幾何級数的に増加する変数そのものに使えそう １月１日 １月６日 １月１１日 ２００匹 ２匹 ２０匹 内分して毎日の数を求める それぞれの期間を５等分して、直線と対数のそれぞれの方法で 各比で内分

13. ２００匹 ２０匹 たくさんの点の加重平均・・・期待値 ２匹 対数を使う さらに・・・ 内分 ＝２点の加重平均 対数の確率分布を考えてみよう

14. f(logS) 正規分布 logS おまけ 対数正規分布とは ある変数Ｓに対して X=logS で定義する Ｓ の関数 Ｘ を Ｓは対数正規分布に従うという Ｘが正規分布に従うとき 例　株価の分布 ・・・明日の株価はいくらになるだろうか？ ある株が明日Ｓ円になる これを繰り返し観察する 正規分布に従う 株価Ｓは対数正規分布に従う logS ※実際には明日という日は１度しかなく、同じ条件で繰り返し観察するのは不可能だが・・・ ドラえもんにお願いすれば観察可能（中心極限定理で証明）

15. X f(logS) 正規分布 f(logS) 対数正規分布 S=ex それらを前提とした 株価の対数正規分布が得られる S おまけ 逆に、ある期待値と標準偏差の 正規分布が与えられれば、 X=logS だから 分布のイメージ ･･･ ０の壁で動きが制限される

16. ブラック＝ショールズモデル 金融派生商品（デリバティブ)の価格計算式 ではなくて、　　　ノーベル経済学賞 ない！ おまけ ■　まめ知識　　　　　　　　対数正規分布に従うもの 金利、為替など・・・値の範囲が　０～＋∞であるもの 様々な金融商品の価格が対数正規分布に従う 数学者の ブラック先生 と ショールズ先生 が発明し、 マートン先生 が証明 ショールズ先生とマートン先生はノーベル賞を受賞 ・・・１９９７年 ブラック先生は？ １９９５年　ご逝去 ところで、ノーベル数学賞？

17. はがす logs 歪んだ壁に貼った 馬の絵 変数s 平均、内分、分布を調べたい f 相加平均 相乗平均 直線補完 対数補完 正規分布 対数正規分布 縞を描く ef(X) f(X) シマウマに変えたい 壁に貼る まとめ ■　まとめ

18. 終わり