1 / 21

G. DERIVATION OF THE OPTION PRICING FORMULA- THE BINOMIAL APPROACH

G. DERIVATION OF THE OPTION PRICING FORMULA- THE BINOMIAL APPROACH.

arnie
Download Presentation

G. DERIVATION OF THE OPTION PRICING FORMULA- THE BINOMIAL APPROACH

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. G. DERIVATION OF THE OPTION PRICING FORMULA- THE BINOMIAL APPROACH Selainpendekatan yang dilakukanoleh Black-Scholesdalammemformulasikanharga option, cara lain berdasar Binomial jugadilakukanolehCox,Ross, dan Rubinstein (1979) danRendlemandan Barter (1979) secarasendiri-sendiri. Cara Binomial lebihmudahdipahamidanlebihmemberikansolusi. KRESNOHADI ARIYOTO

  2. 1.Model Binomial untukHarga Call Option yang UnderlanyaSaham Asumsi: pasar modal efisiendantidakterjadi arbitrage opportunities. Hargasaham, S, mengikuti multiplicative binomial generating process seperti yang tampakpada Fig.7.11. berikutini. S=Hargasaham q=0.5=probhargasahamakanbergerakkeatas 1+rf =1.1 u=1.2=multiplicative upward movement in the stock price (u>1+rf > 1), d=0.67=multiplicative downward movement in the stock price (d<1<1+rf) KRESNOHADI ARIYOTO

  3. Di akhirperiodehargasahamdapatmeningkatmenjadiuSdenganprob.q (0.5), $24.00. atauturunmenjadi $13.40. S tidakakannegatifdanbatasatashargasahamtidakada. Asumsi lain yang pentingadalah u> 1+rf > d. Jikatidakadaasumsiinimakaada arbitrage riskless opportunity. rf> 0. Ada call option,c, dengan X=$21 underlanyasaham. Payoff tampakpada Fig 7.12. Denganprob 0.50 harga call eropadapatke $3 atauturunke $0. KRESNOHADI ARIYOTO

  4. Denganpeluangsepertiitu (ke $3 dan $0, berapaharga c yang kitamaubeli. . . .? Untukmenjawabnya, kitamembuat risk free hedge portfolio duluterdiridari 1 lbrsaham, S dan m lbr call option yang underlanyasahamtsb. Payoff portfolio kitaadadi Fig 7.13. Jikadiakhirperiode payoff-nyasama, maka portfolio tsbadalahrisk-free hedge. JadiuS –mcu= dS – mcd Dari persamaantsb, m = hedge ratio, dapatdicariyaitu m = S(u-d) / (cu – cd) - - - - (7.20) Denganangka-angka m= ($20(1.2-0.67)/($3-$0) = 3.53. KRESNOHADI ARIYOTO

  5. Artinya riskless hedge portfolio terdiridari 3.53 call option dan 1 lbrsahamsebagaiunderla-nya . Payoff dalamkondisiapapunakansama. ________________________________________________________________ State of Nature Portfolio Payoff _________________________________________________________________ BagusuS – mcu 1.2($20)-3.53($3) = $ 13.40 JelekdS - mcd 0.67($20)-3.53($0)=$13.40 _________________________________________________________________ Jikakitaingintahubesarnya rate of return dariinvestasiini, kitaanggapharga call option yang kitabeliadalah c daninvestasiawalkitaadalah S-mc. Sementaraitu riskless hedge portfolio selamaperioderfmenghasilkanuS-mcu , sehingga (1+rf)(S-mc) = uS – mcu . Dari persamaaninidapatdicarirumusuntuk c, yaitu c = - - - - - - - - - - -(7.21) Kita tahubahwa m = S(u-d)/(cu-cd), karenaitukitabisamendapatkanrumusuntuk c, sbb. c=[cu {(1+rf)-d)/(u-d)} + cd {(u-(1+rf))/(u-d)}] ÷ (1+rf) - - - - - - - - (7.22) S[(1+rf) – u] + mcu m (1+rf) KRESNOHADI ARIYOTO

  6. Jika {(1+rf)-d}/(u-d) = p, dan (1-p)={(u-(1+rf)}/(u-d), maka c dapatmenjadilebihsederhanayaitu c=[pcu+(1-p)cd]÷(1+rf) - - - - - - - - - - - - - - (7.23) Mengingatnilai 0< p < 1, maka p memenuhisyaratsebagaisuatuprobabilita, dan p kitasebutsebagai risk-neutral probability. Nyatanya p adalahnilai q yang terjadipadakondisiekuilibriumjikasajapreferensiinvestornya risk-neutral. Berdasar Fig.7.9 berikutini, risk-neutral investor hanya membutuhkan risk-free-rate dariinvestasinyadisaham. Karenaitu: (1+rf) S = qS + (1-q) dS sehingga q = {(1+rf)-d}/(u-d). Padahal p= {(1+rf)-d}/(u-d). Jadi, p=q untuk investor yang risk-neutral !!!, danberdasarpers 7.23, tsbdiatas, makaharga call option eropatsbdapatdiartikansebagaiekspektasidariseorang risk-neutral investor atas future value dariinvestasinyapada call option eropa. Tentusaja, haltsbtidakberartibahwa rate of return dariinvestasinyapada call option eropa, hanyasebesar risk-free rate saja. Perludicatatbahwarisikoinvestasipada call option eropa, samarisikonyadenganmembelisahamdenganskema margin. Artinya “Buying on margin means that part of the investment in the stock is borrowed. In fact the exact payoffs of the call option can be duplicated by buying (cu-cd)/[(u-d)S] shares of stock and [ucd-dcu]/(u-d)(1+rf) units of risk free bond. See Cox and Rubinstein (1979)” KRESNOHADI ARIYOTO

  7. Berdasarrumus c=[pcu+(1-p)cd]÷(1+rf) padapers (7.23) dandenganangka-angkadaricontohkita, dimana cu=$3, cd=$0, u=1.2, d=0.67, maka => p=(1.1-0.67)/(1.2-0.67), sehingga c=$2.2126. Dengandiketahuinyaharga call option eropa, makadapatdihitungberapa dollar yang dibutuhkanuntukinvestasipada hedge portfolio tsbdimana payoff nya $13.40 danmenghasilkan return sebesar risk-free rate. Untukituingatkembalipada Fig 7.11. berikutini. Portfolio hedge terdiridari 1 lbrsaham ($20) dan 3.53 lbr call option yang underlanyasahamtsb. Investasikitadapatdihitungyaitu S-mc=$20 – 3.53 ($2.2126) = $12.19, dan rate of return dariinvestasi = $13.40 ÷ $12.19 = 1.1 yang tidak lain 1+rf Besarnyanilai call option eropa, sangattergantungpada hedge portfolio dannilai yang tepatdari call option tsb agar rate of return betul-betulsamadenganrf .Jikatidak, bisaterjadi risk-free arbitrage profit. KRESNOHADI ARIYOTO

  8. Terdapat 3 hal yang menarikdarimembuat formula suatu call option eropa. Variabel q tidakmempengaruhibesarnyanilai call option eropa, besarnyaprobabilitaobyektifdarihargasahambergerakkeatas. Konsekuensinya, walaupun investor mempunyaiekspektasibermacam-macamterhadapbesarnya q, namun investor tetapmeyakinibahwaharga call merekaitutergantungpadabesarnyau,S, X, danrfpada 1 periode. Hargasahamitusendirimerupakanberbagaiharapanatasbesarnya q Pengaruhdaripreferensirisiko investor tidakrelevanketikamembuatrumusuntukmenilaiharga call option. Yang relevanadalahmemperhatikankeinginan investor untukmeningkatkankekayaannyasupaya investor tidakmelakukan arbitrage profit Satu-satunya random variable yang diperhitungkanadalahhargasahamitusendiri. Hal tsbtidaktergantungpada portfolio pasar (yang terdiridariseluruhsekuritasdisuatupasar modal) Apa yang sudahdijelaskantsbdiatas, semata-matapenilaianharga call option eropa untuk1 periodetransaksi option. Bagaimanamenentukanharga option eropaketika transaksilebihdari 1 periode? KRESNOHADI ARIYOTO

  9. Untuk 2 periodetransaksi, Fig 7.14 dan Fig 7.15 memperlihatkanhaltsb. Diasumsikan two-period risk free rate sebagai (1+rf)² (This is equivalent to asuming a flat term structure of interest rate) KRESNOHADI ARIYOTO

  10. Kita tahupers 7.23 –bukanpers 7.19 adalahrumusuntukmenilaibesarnyaharga call option eropayaitu c=[pcu+(1-p)cd]÷(1+rf) untuktransaksi 1 periode. Harga-harga call option eropadiakhir 1 periodebaikjikanaikmaupunturunadalah: cu=[pcuu + (1-p)cud] ÷ ( 1 + rf), dancd=[pcdu + (1-p)cdd] ÷ ( 1+ rf) - - - - - -(7.24) Selanjutnyakitadapatmembuat risk-less hedge portfolio padaperiodepertama agar tidakterjadi arbitrage opportunities. Present value dari portfolio tsbadalah c = [pcu + (1-p) cd] ÷ ( + rf) Denganmensubstitusikan cudancddaripers 7.24, diperolehharga call option eropa 2 periodeyaitu c = [ p² cuu + p(1-p) cud + (1-p) pcdu + (1-p)² cdd] ÷ ( 1+ rf)² - - - - - -(7.25) Rumustsbdiatasmerupakanpenerapan model 1 periode yang dilipatgandakan (applying the one-period model twice) – One can easiliy imagine how this iterative technique lends itself to a computer program- Term didalamtandakurungpadapers 7.25 tidak lain adalah binomial expansion dari term padapers 7.23. model binomial untuk 1periode. Nilai-nilai yang mungkindipunyaiolehcuu, cud, dancddadalah cuu= MAX[0,u²S-X], cud=MAX[0,ud S-X], danudd=[0,d²S – X]. Pers 7.25 dapatdikatakansebagai expected payoff dari 2 periodedengan risk neutral probability, p dan 1-p, yang didiskontodengan risk-free rate. KRESNOHADI ARIYOTO

  11. 2. A Binomial Model for Pricing Call Options on Bonds Selamajangkawaktuberlakunya bond, nilainyaberakhirsecarakonvergenke face valuenyasebaliknyasahamjustrumempunyaiberbagaikemungkinanhargasebagaimanapada Fig 7.14 (bukan Fig 7.15- wahsalahlaginihbuku) Mengingatharga bond tergantungpada risk free rate, maka risk-free rate diasumsikanmengikuti binomial stochastic process sepertiterlihatpada Fig 7.16. KRESNOHADI ARIYOTO

  12. Sebagaicontoh, rf=10%, u=1.2, d=0.85, probbergerakhargarfkeatasdankebawahsama 50/50, q=0.5. Default-free bond D=$1000, danmembayar coupon setahun $ 100, danumur bond 3 tahun. Harga bond adalah present value dari cash flow kedepanyaitu Bt = (q Bd,t+1 + (1-q) Bu,t+1 + coup) / (1+rf) - - - - - - - - (7.26) Harga bond naikjikarfturundansebaliknya KRESNOHADI ARIYOTO

  13. Bt = (q Bd,t+1 + (1-q) Bu,t+1 + coup) / (1+rf) - - - - - - - - (7.26) Harga bond naikjikarfturundansebaliknyaHarga bond stochastic sampaihabismasahidupnya, karenarfjuga stochastic, seperti Fig 7.17 berikutini. KRESNOHADI ARIYOTO

  14. Anggaplahada call option yang underlanya default free bond tsb, dengan X=$1000. Harga call = ct padasuatusaat t. Saatdieksersais payoff nyatampakpada Fig 7.18 berikutini. Jika call option mempunyaiwaktuhidupsamalamanyadengan maturity default free bond, maka call option akanmempunyai payoff yang samapadaapapun state of nature-nyanamunjugadapatsajatidakberhargalagi. Call option yang underla-nya default free bond, harusnyamempunyaiumur yang lebihsingkatdibandingkandenganumur bond itusendiri. Karenaitu bond di Fig 7.18 merupakan call denganperiodehidup 2 periodesedangkan bond sebagaiunderla-nyahidupselama 3 periodeberakhir. KRESNOHADI ARIYOTO

  15. Agar dapatmerumuskanbesarnyanilaidari call option eropa yang underla-nya bond, harusdibuatlagi portfolio risk free hedge yang terdiridari 1 lbr bond dikurangidengan m lembar call option yang underla-nya bond tsb. Hedge risk free portfolio akanmempunyai payoff yang besarnyasamapadakondisiapapunbaikharga bond naikatauturun. Dengandemikianbesarnya payoff saatharga bond keatasdankebawahharussama, sebagaiberikutini. Bd,t+1 + coup – mcd,t+1 = Bu,t+1 + coup –mcu,t+1 Hedge ratio, m, adalah m=(Bd,t+1 - Bu,t+1 ) / (cd,t+1 - cu,t+1) - - - - - -(7.27) Kita jugatahubahwanilai portfolio sekarangjikadikalikandengan (1+rf) akansamadengan payoff risk less hedge portfolio padaakhirperiode bond, sehinggadapatdibuatpersamaanberikut. (Bt – mct)(1+rf) = Bd,t+1 + coup - mcd,t+1 - - - - - - - - - - - - -(7.28) Jikaharga m dimasukkankepers 7.28, dapatdiperolehbesarnyaharga call option eropa yang underla-nya bond, yaitu: -- Ct=[Bd,t+1 + coup - Bt(1+rft)] cu,t+1 – [(Bu,t+1 + coup) - Bt(1+rft)] cd,t+1 ÷ [(Bd,t+1 - Bu,t+1)(1+rf)]- -(7.29) Jikaharga-hargadarivariabel-variabeldalamcontohkita, dimasukkandapatdiketahuiharga call saat t=0 adalah $89.069 KRESNOHADI ARIYOTO

  16. 3. A Digreesion on The Binomial Distribution, p.224, skipped 4.The Complete Binomial Model for Pricing Call Options on Stock Untukmengeneralisasi T periodepenggunaan Binomial untuk pricing option, adalahmudahdengancaramengetahuibesarnyaprobabilitasdari outcome akhir, dikalikandenganbesarnyanilai outcome danmendiskontonyadengan risk free rate selamaperiode T ke present value. Bentukumumdari payoff adalah MAX [0,un dT-n S-X], Dimana T = lamanyaperiode n=banyaknyapergerakankeatasdarihargasaham (n=0,1,2,……T). Bentukumumbesarnyaprobabilitasuntuksetiap payoff adalah dist Binomial sbb B(n|T,p) = T!/(T-n)!n! pn(1-p)T-n Mengalikanbesarnya payoff denganbesarnyaprobabilitasdanmenjumlahkanseluruh payoff yang mungkin, diperolehrumus: c={ T∑n=0 T!/((T-n)! n! ) pn (1-p)T-n MAX [0,undT-n S – X]} ÷ (1+rf )T - - - - (7.30) KRESNOHADI ARIYOTO

  17. Pers (7.30) merupakanpernyataan yang lengkapdarimemperhitungkannilai option denganmenggunakan model Binomial. Namun, salahsatudaritujuanpembahasaniniadalahmembandingkanantarapenetapanharga option berdasar Binomial yang diturunkansecaradiskrit, dengan model Black- Scholes yang justruditurunkanberdasarwaktu yang kontinyu. Karenaitupadapembahasanselanjutnyaakanditunjukkancaramengubah model Binomial supayadapatdibandingkandengancara Black-Scholes. Pertama-tama, kitaterapkanadanyakenyataanbahwabanyak payoff final dari call option yang selesaimenjadinolkarena out-of the money. Jika a adalah integer (bilanganbulat) positifyang mecakupseluruh state of nature dimana option tidakpunyanilai yang negatif (bernilaipositif). Dengandemikian, pers (7.30) dapatdituliskembalisebagaiberikut. c={ T∑n=0 T!/((T-n)! n! ) pn (1-p)T-n [undT-n S – X]} ÷ (1+rf )T - - - - (7.31) Jikapadapers (7.30) n=0,…..T, sekarangmenjadi n=a,….T. Juga MAX [0,undT-n S – X] dapatdihapuskankarenadalamperhitunganharga option, hanya payoff yang positifsaja yang diperhatikan. KRESNOHADI ARIYOTO

  18. Selanjutnyapers (7.31) dipisahkanmenjadiduabagiansebagaiberikut. c=S [ T∑n=0 T!/((T-n)! n! ) pn (1-p)T-n [undT-n S ] – X (1+rf )-T [ T∑n=0 T!/((T-n)! n! ) pn (1-p)T-n ] - - - - - - - - -(7.32) Bagiankeduaadalahnilaieksersais yang didiskontokan, yaitu X(1+rf)-T , dikalikandengan dist Binomial komplementer, B(n≥ a|T,p). Yang dimaksuddengan complementary Binomial probability adalahprobabilitakumulatrifuntukberadadalamkondisi in-the-money options (misalnyadimana n≥ a) dimanaprobabilita-probabilitaadalahprobabilita hedging (ataurisikonetral) ditentukanoleh risk-free hedge portfolio. Bagianpertamaadalahhargasahamdikalikandenganprobabilitas Binomial komplementer. Bagianitudapatdiinterpretasikandengancara yang samasbb p’ Ξ [u/(1+rf )]p dan 1-p’ = [d/(1+rf )](1-p) Selanjutnyadidapat pn(1-p)T-n un dT-n /(1+rf )T = [u.p/(1+rf)]n [{d/(1+rf)} (1-p)]T-n = (p’)n (1-p’)T-n Model Binomial untukcall option Eropamenjadisbb c=S B(n≥ a |T,p’) – X(1+rf)-T B(n≥a|T,p) - - - - - - - - - - (7.33) KRESNOHADI ARIYOTO

  19. c=S B(n≥ a |T,p’) – X(1+rf)-T B(n≥a|T,p) - - - - - - - - - - (7.33) dimana pΞ [(1+rf) – d]/(u-d) dan p’ Ξ [u/(1+rf)] p, aΞ integer yang tidaknegatifterrendah yang nilainyalebihbesardariln(X/Sdn)ln(u/d) Dan jika a<T, maka c=0 B(n≥a|T,p) = probabilitakomplementer Binomial bahwan≥a. Fungsi dist Binomial komplementermerupakanprobabilitadimanajumlahdari random variabelsebanyak n, dengansetiapvariabelrandomnyadapatmempunyainilai 1 denganprobabilita p dan 0 denganprobabilita (1-p), akanlebihbesardariatausamadengan a. Secaramatematik, haltsbdapatdinyatakandengan: B(n≥ a|T,p) = T∑n=a T!/[(T-n)! n! ] (p(1-p)T-n ) dimana T=jumlahbanyaknyaperiodewaktu. Dari per (7.33) dapatdipahamibahwaharga call option meningkatsaathargasaham, S, meningkatdanmenurunjikahargaeksersais, X, meningkat. KRESNOHADI ARIYOTO

  20. Dapatditambahkan, bahwa risk-free-rate, rf , banyaknyaperiodewaktusebelumm option sampaikematuriti-nya, T, danvariansdari dist Binomial, б² = Tp(1-p), berdampakpadanilai call option. Jika risk free rate meningkat, dampakutamanyaadalahpadanilaidiskontodarihargaeksersais, yaitu X(1+rf)-n , danhaltsbmeningkatkannilai call (sekalipunadadampak yang keduaberupa p dan p’ menurunketikarfmeningkat). Meningkatnya lama maturity. T, jelasakanmeningkatkanharga call. Kita harusingatbahwanilai call option samadengannilaidiskontodari payoff final dikalikandenganprobabilitamasing-masing hedging probabilities. Lamanya maturity tidakmerobahbesarnya hedging probabilities, p. Namunhaltsbmenyebabkanlebihbanyaknya payoff yang positif, karenadaripers (7.32) ada integer, a, yang nilainyamenjadibatas payoff payoff yang positif, yang justruakanmenurunkannilai payoff tsb, ketika T makin lama (makinbesar). Juganilaiekspektasidari payoff Binomial yaitu E(n) = pT, akanmeningkatdenganmeningkatnya T. Akhirnya, nilai call akanmeningkatdenganmeningkatnyavariansBinomial, VAR(n)=Tp(1-p). Hal tsbdimungkinkankarenaketika size darihargasahamberobah, u, naik, makavariansjuganaikdari dist Binomial. Varians yang lebihbesarmeningkatkanperobahanatashargasahamsehinggamelampauihargaeksersaispadasaat payoff final, karenaituharga call meningkat. KRESNOHADI ARIYOTO

  21. Dari semuaitu, intuisidibalikrumus call option, yaitupers (7.33) adalahnilaidari call option samadenganhargasaham, DS, dikonversikedalamsuatuposisidari risk adjusted darisebuah call option denganmengalikannyadengansatusepanjang hedge ratio, B(n≥a|T,p’), kemudianmengurangi present value darihargaeksersais X(1+rf)-Tdibobotdenganprobabilitasbahwa option akan mature padakondisiin-the-money, B(n≥a|T,p). Harapdicatat, bahwa p’ digunakansebagaiposisi risk-adjusted dan p sebagaiprobabilitaobyektifdariakhir yang beradapadakondisi in-the-money. Lainnyabacasendirikarenasudahmendapatlandasan yang cukup KRESNOHADI ARIYOTO

More Related