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第三章 多维随机变量及其分布

第三章 多维随机变量及其分布. 二维随机变量 边缘分布 随机变量的独立性 二维随机变量函数的分布. §1 、二维随机变量. 一、概念. 定义 1 设在试验 E 的样本空间 S={e} 上定义了两个 随机变量 X 、 Y, 称向量 (X,Y) 为 二维随机变量 或 二维随 机向量. 请 你 注 意. 一、概念. 二维随机变量 (X,Y) 不仅与各个随机变量 X,Y 有关 , 也与 X,Y 间的 内在联系 有关. 因此 , 不能试图通过单独研究随机变量 X,Y 而来了解 二维随机变量 (X,Y), 必须将 (X,Y) 作为一个整体来研究.

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第三章 多维随机变量及其分布

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Presentation Transcript

  1. 第三章 多维随机变量及其分布 • 二维随机变量 • 边缘分布 • 随机变量的独立性 • 二维随机变量函数的分布

  2. §1、二维随机变量 一、概念 定义1设在试验E的样本空间S={e}上定义了两个 随机变量X、Y,称向量(X,Y)为二维随机变量或二维随 机向量.

  3. 请 你 注 意 一、概念 二维随机变量(X,Y)不仅与各个随机变量X,Y有关, 也与X,Y间的内在联系有关. 因此,不能试图通过单独研究随机变量X,Y而来了解 二维随机变量(X,Y),必须将(X,Y)作为一个整体来研究. 类似于一维随机变量,我们也可利用“分布函数”来研 究二维随机变量(X,Y),并且分别就离散型与连续型来加 以分析.

  4. 二、分布函数及其性质 为二维随机变量(X,Y)的分布函数,也称为随机变量X 与Y的联合分布函数,其中 为任意实数. 分布函数 在点 处的函数值就是事件 “随机点(X,Y)落在以点 为右上顶点的角形区 域”的概率. 定义2设(X,Y)为二维随机变量,称二元函数 定义域为全平面

  5. 对任意点 均有：  关于x、y均单调不减右连续. 分布函数性质 分布函数具有下列基本性质: 随机向量落在矩形区域的概率 分布函数与离散型二维随机变量分布律、连 续型二维随机变量概率密度的关系[见后].

  6. 三、离散型二维随机变量 1、概念 定义3如果二维随机变量(X,Y)所有可能取值为 有限个或可列无限个点,则称(X,Y)为二维离散型随机 变量. 2、分布律 设二维离散型随机变量(X,Y)可能取值为 则(X,Y)的分布律(概率分布)[X与Y的联合分布律]为

  7. 分布律性质与表示 分布律满足:  [概率的非负性]  [概率的规范性] 分布律可用表格表示: X Y

  8. 【例1】[P.71] 将一枚硬币连抛三次,以X表示在“三次中出现正面的次数”,Y表示“三次中正、反面次数差的绝对值”,求X与Y的联合分布律. 〖解〗X取值0,1,2,3;Y取值1,3.基本事件总数为8. X与Y的联合分布律为: 古典概率 P{X=0,Y=1}=P(φ)=0; P{X=0,Y=3}=1/8; [TTT] P{X=1,Y=1}=3/8; [HTT,THT,TTH] P{X=1,Y=3}=P(φ)=0; P{X=2,Y=1}=3/8; [HHT,HTH,THH] P{X=2,Y=3}=P(φ)=0; P{X=3,Y=1}=P(φ)=0; P{X=3,Y=3}=1/8. [HHH]

  9. 例1-续 X与Y的联合分布律为： □

  10. 二维离散型随机变量的分布列形象化解释 设想将一单位质量的物质分配在（X，Y）所 有可能取值的点处，相应分配的量就是对应的概 率值。 这样一来，随机变量取值落在某个平面区域 G上的概率就等于G内各可能取值点处概率之和。 请自学P.72:例2。

  11. 定义4设 为二维随机变量(X,Y)分布函数, 如果存在非负函数 使对任意实数 有 则称(X,Y )为二维连续型随机变量,其中 称为 随机变量(X,Y)的概率密度,或称为随机变量X与Y的联 合概率密度. 四、连续型二维随机变量 1、概念

  12. 2、概率密度及其性质 概率密度具有下列性质:   [确定待定参数] 设G为平面xoy上的一个区域,则随机点(X,Y) 落在G内的概率为: [曲顶柱体体积]

  13.  若 在点 处连续,则有 概率密度性质 [由分布函数求概率密度] [由概率密度求分布函数] 

  14. (1)确定C的值;(2)求(X,Y)的分布函数;(3)求概率 【例2】(典型题） 设r.v.(X,Y)的概率密度为 〖解〗由概率密度性质得 (1) 因为

  15. 例2-续1 所以 故 (2)由概率密度求分布函数. 解题思路 画出联合概率密度的 非零区域;  点(x,y)在全平面范围 内取值;  综合上述两点得出就 (x,y)的分段情形.

  16. 例2-续2 本例中分布函数应分为两段来计算:就x>0,y>0与 “其它”。 利用重积分对积分区域的可加性,只保留非零积分

  17. 例2-续3 (3)求概率P{Y≤X}. 只需在概率密度f的非零 区域与事件区域 G={(x,y)|y≤x} 的交集D上积分. 由公式 得:

  18. 例2-续4 □ 本例是一个典型题.大家应熟练掌握分析与计算 的方法。特别是会根据不同形状的概率密度非零区域 与所求概率的事件区域G来处理这类问题。 就P.73:例3来共同考虑如何分段?应分几段?怎 样计算各段值?(板书)

  19. 两种常见的二维连续型分布 1、二维均匀分布 二维均匀分布设G为一个平面有界区域,其 面积为A.如果二维连续型随机变量(X,Y)的概率密 度为 则称(X,Y)服从区域G上的均匀分布,记为(X,Y)~U(G).

  20. 其中 均为常数,称(X,Y) 为服从参数为 的二维正态分布,记为 2、二维正态分布 二维正态分布 设二维连续型随机变量(X,Y) 的概率密度为

  21. 设二维随机变量(X,Y)的分布函数为 ,X与Y 作为单个随机变量的分布函数分别为 ,称 §2、边缘分布 一、边缘分布函数及其求法 分别为二维随机变量(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布 函数. 问题:联合分布(函数)与边缘分布(函数)有什么关系? 结论:联合分布(函数) 边缘分布(函数) 但当X与Y相互独立时,联合分布(函数)与边缘分布 (函数)可相互确定.[§3]

  22. 设二维随机变量(X,Y)的分布函数为 ,边缘分 布函数[即X与Y的分布函数]为 ，则有 由联合分布求边缘分布 因此，由联合分布函数可 求得边缘分布函数： 即可通过联合分布函数求极限 来确定边缘分布函数。

  23. 二、离散型二维随机变量的边缘分布律 设离散型二维随机变量(X,Y)的分布律为 则由联合分布函数与边缘分布函数、联合分布律关 系得： 又由一维离散型随机变量分布函数与分布律关系得： 比较可得X的分布律为：

  24. 边缘分布律 同理可得Y的分布律为： 我们称 ——(X,Y)关于X的边缘分布律 ——(X,Y)关于Y的边缘分布律 显然,由联合分布律可求得各个边缘分布律,只需 采用“同一表格法”.

  25. 【例3】 设r.v.X与Y的联合分布律为 求X,Y的边缘分布律. 〖解〗利用公式得边缘分布律,见上表“边缘”.

  26. 三、连续型二维随机变量的边缘概率密度 设连续型二维随机变量(X,Y)的概率密度为 则由联合分布函数与边缘分布函数、联合概率密度关系得： 又由一维连续型随机变量分布函数与概率密度关系得： 比较可得X为连续型随机变量,且X的概率密度为：

  27. 边缘概率密度 同理可得Y的概率密度为： 参量积分 我们称 —(X,Y)关于X的边缘概率密度 —(X,Y)关于Y的边缘概率密度 显然,由联合概率密度可求得各个边缘概率密度, 只需对某一个变量在(-∞,+∞)上积分,但必须注意另 一个变量应在全体实数范围内取值.

  28. 【例4】(典型题） 设r.v.X与Y的联合概率密度为 求X,Y的边缘概率密度. 解题思路 画出联合概率密度的 非零区域;  参量x(y)在实数范围 内取值;  综合上述两点就x(y) 分两种情形关于y(x)由-∞积分到+∞,只需在积分直线 与非零区域交线上进行.

  29. 例4-续1 〖解〗由公式得: 类似可得:

  30. 例4-续2 □ 本例是求边缘概率密度的典型题，不同的题目只是非零区域形状和积分表达式的变化，必须熟练掌握.

  31. 二维正态分布的边缘分布 不难求得二维正态分布随机变量的边缘概率密 度为: 由此可知:二维正态分布的边缘分布均为一维正 态分布,且与参数ρ无关. 表明:由联合分布可以确定边缘分布,但由边缘 分布未必能确定联合分布.

  32. 定义1设 分别为二维随机 变量(X,Y)分布函数与边缘分布函数.如果对于任意 的实数 均有 §3、相互独立的随机变量 一、概念 利用两事件的独立性可以定义两随机变量的独立性. 即 则称随机变量X与Y是相互独立的.

  33. X与Y相互独立 二、判定 由定义可以判定随机变量X与Y的独立性: 特别的，对离散性和连续性随机变量，也可利 用其分布律与概率密度来判定独立性。 1、离散型随机变量 离散型随机变量(X,Y)的分布律、边缘分布律 分别为

  34. 2、连续型随机变量 则X与Y相互独立的充要条件是:对(X,Y)的所有可能 取得值 ,均有 设连续型随机变量(X,Y)的概率密度、边缘概率 密度分别为 则X与Y相互独立的充要条件是:在全平面上几乎处处 成立

  35. 续 总之，联合分布可确定边缘分布;但当X与Y相互 独立时，边缘分布也可确定联合分布。 一般，要判定X与Y的独立性，可先求边缘分布, 再依据上述条件之一判定.

  36. 【例1】 设随机变量(X,Y)的概率密度为 (1)求(X,Y)的边缘概率密度; (2)判定X,Y的独立性. 〖解〗(1)求(X,Y)的边缘概率 密度

  37. 例1-续1

  38. 例1-续2 (2)判定独立性 因为 所以在联合概率密度非零区域内 即X与Y不独立。 □

  39. 【例2】(典型题） 设随机变量X,Y相互独立,且X服从(0,1)上的均匀分 布,Y的概率密度为 (1)求X与Y的联合概率密度; (2)求关于t的二次方程t2+2Xt+Y=0 有实根的概率. 〖解〗(1)求X与Y的联合概率密度 因为X,Y独立,且有

  40. 例2-续1 所以,X与Y的联合概率密度为 (2)求方程有实根的概率 “方程有实根”即为 故所求概率为;

  41. 例2-续2 □

  42. 本题知识点回顾  均匀分布的概率密度；  当两个随机变量相互独立时，可由边缘概率 密度确定联合概率密度；  由联合概率密度求事件“二维随机变量取值落 在一个平面区域内” 概率的积分公式；  二重积分的计算；  利用标准正态概率密度函数计算有关概率积 分值；  一元二次方程有实根的条件，等。

  43. 续 一般,X与Y相互独立X与Y不相关. 不难看出：对于二维正态随机变量(X,Y),X与Y相 互独立的充要条件是参数ρ=0. 参数ρ称为X与Y的相关系数(ch4). 如果随机变量X与Y的相关系数ρ=0,称X与Y是不 相关的. 但对二维正态随机变量(X,Y),X与Y独立与不相 关是等价的. 由一、二维随机变量推广至n维随机变量.请看教 材

  44. 二维正态分布与边缘分布 我们知道：二维正态随机变量(X,Y)的概率密度为 两个边缘概率密度为

  45. §4、条件分布 定义1设（X，Y）为离散型二维随机变量， 对于固定的j，当 时，称 为在 条件下X的条件分布律； 由条件概率可以自然地引入条件分布。 一、离散型二维随机变量的条件分布律

  46. 定义1 对于固定的i，当 时，称 为在 条件下Y的条件分布律。

  47. 【例1】 设r.v.X与Y的联合分布律为 求在Y=1条件下X的条件分布律. 〖解〗先求边缘分布律,见上表“边缘”.

  48. 例1-续 再求条件分布律： □ 显然，条件分布律也满足分布律的性质。

  49. 二、连续型二维随机变量的条件概率密度 定义2设连续型二维随机变量(X,Y)的概率密 度为 ，边缘概率密度为 ，则当 时，称 为在条件 下X的条件概率密度；当 时，称 为在条件 下Y的条件概率密度

  50. 【例2】 求条件概率密度 。 再先条件概率密度：当 时， 设r.v.X与Y的联合概率密度为 〖解〗先求边缘概率密度： □

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