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图论简介

图论简介. 两个有趣的问题. 1. 任意一群人中（人数不小于 2 ），总有两人在该人群中认识相同的朋友数。 2. 在一次象棋比赛中，任意两名选手间至多下一盘，试证总存在两名选手，他们下过的盘数相同。 问题 1 ：如何用学过的知识解答上述问题？ 问题 2 ：上述问题的解答是否相同？若不同，区别在哪？. Key web. http://amuseum.cdstm.cn/AMuseum/math/index.htm 中国数字科技馆，数学，信息科学等. 1 图的基本概念 /1.1 图论发展史.

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  1. 图论简介

  2. 两个有趣的问题 • 1.任意一群人中（人数不小于2），总有两人在该人群中认识相同的朋友数。 • 2.在一次象棋比赛中，任意两名选手间至多下一盘，试证总存在两名选手，他们下过的盘数相同。 • 问题1：如何用学过的知识解答上述问题？ • 问题2：上述问题的解答是否相同？若不同，区别在哪？

  3. Key web • http://amuseum.cdstm.cn/AMuseum/math/index.htm • 中国数字科技馆，数学，信息科学等

  4. 1 图的基本概念/1.1 图论发展史 • 图论是组合数学的一个分支，也是近几十年来最活跃的数学分支之一.到目前为止，它已有二百六十多年的发展历史.图论的发展历史大体可以分为三个阶段： • 第一阶段是图论的萌芽阶段，它从十八世纪中叶到十九世纪中叶.这时，图论的多数问题是围绕游戏而产生的，其代表性的工作就是Königsberg七桥问题.1736年L.Euler发表了他著名的Königsberg七桥问题的论文，这是图论的第一篇文章.

  5. 第二阶段从十九世纪中叶到二十世纪中叶.在此阶段，图论问题大量出现.如著名的四色问题、Hamilton问题以及图的可平面问题等. 在第二个阶段还应该特别提到Cayley把树应用于化学领域，Kirchhoff用树去研究电网络的分析问题.在漫长的300年中，图论几乎停留在数学游戏阶段.虽然这阶段里21岁的G.Kirchhoff在1847年从事网络问题，A.Cayley在1857年从计算有机化学的同分异构等不止一次地建立起图论的基本概念，但是直到1936年D.König发表的经典著作<<有限图与无限图理论>>才有了图论的第一本专著. SWUFE

  6. 二十世纪中叶以后是图论发展的第三阶段，即图论的应用阶段.由于生产管理、军事、交通运输、计算机网络、计算机科学、数字通讯、线性规划、运筹学等方面提出的实际问题的需要，特别是许多离散性问题的出现、刺激和推动，以及由于有了大型电子计算机，而使大规模问题的求解成为可能，图论及其应用的研究得到了飞速的发展.这个阶段的开创性工作是以Ford和Fulkerson建立的网络流理论为代表的.图论与其它学科的相互渗透，以及图论在生产实际中广泛地应用，都使图论的发展更加充满活力.二十世纪中叶以后是图论发展的第三阶段，即图论的应用阶段.由于生产管理、军事、交通运输、计算机网络、计算机科学、数字通讯、线性规划、运筹学等方面提出的实际问题的需要，特别是许多离散性问题的出现、刺激和推动，以及由于有了大型电子计算机，而使大规模问题的求解成为可能，图论及其应用的研究得到了飞速的发展.这个阶段的开创性工作是以Ford和Fulkerson建立的网络流理论为代表的.图论与其它学科的相互渗透，以及图论在生产实际中广泛地应用，都使图论的发展更加充满活力. SWUFE

  7. 几个有趣的图论问题 • Königsberg七桥背后的故事 • Königsberg七桥位于前苏联的加里宁格勒，历史上曾是德国东普鲁士省的省会，霹雷格尔横 • 穿城堡，河中有两个小岛B与C，并有七座桥连接岛与河岸及岛与岛（见图）。是否存在一种走发，从四块陆地中的任意一块开始，通过每一座桥恰好一次再回到起点。这就是著名的Königsberg七桥问题，即一笔画问题；也是图论的起源。 SWUFE

  8. SWUFE

  9. 四色问题 • 为了能够迅速地区分一个平面地图或球面地图上的各个国家（假设这些国家在地图上都是连通的），需要用若干种颜色对这些国家着色，使得具有公共边界的两个国家涂染不同的颜色.那么，要保证每张地图都能如此着色，最少需要多少种颜色？这个问题是1850年被一名刚毕业的大学生Francis Guthrie首先提出的，直到1976年，四色问题被美国Illinois大学的K.Appel和W.Haken用计算机证明是正确的，这个证明令数学界震惊，它用了1200多小时，作出100亿个独立的逻辑判断.尽管有了这个机器证明，但它仍然是数学上未解决的问题之一. SWUFE

  10. Hamilton问题 • Hamilton问题是图论中一直悬而未解的一大问题。它起源于1856年，当时英国数学家Hamilton设计了一种名为周游世界的游戏。他在一个实心的正十二面体的十二个顶点上标以世界上著名的二十座城市的名字，要求游戏者沿十二面体的棱从一个城市出发，经过每座城市恰好一次，然后返回到出发点，即“绕行世界”。 • 正十二面体的顶点与棱的关系可以用平面上的图表示，把正十二面体的顶点与棱分别对应图的顶点与边，就得到正十二面体图。 SWUFE

  11. 正十二面体 Peterson图 SWUFE

  12. 旅行售货员问题 • 给出城市之间的距离，要求一位推销员从某一城市出发，周游每个城市一次，然后回到出发的城市，并且选的路径最短。 • 这是一个图论优化问题，最早由美国数学家威特涅于1934年在普林斯顿一次讨论班上提出。1954年几位美国数学家写了第一篇论文，用线性方程的方法解决了49个城市的旅行售货员问题。后来也有不少论文讨论这个问题，在理论和应用上都很有价值。 SWUFE

  13. 1.2 图的定义 生活中，人们常常需要考虑一些对象之间的某种特定的关系.如某区域内，两城市之间有无交通线；一群人中，两个人之间相识或不相识等等.这种关系是对称的，即如果甲对于乙有某种关系，则乙对于甲也有这种关系.可以用一个图形来描述给定对象之间的某个关系：我们用平面上的点分别表示这些对象，若对象甲和乙有关系，就用一条线连接表示甲和乙的两个点.这种由一些点与连接其中某些点对的线所构成的图形就是图论中所研究的图. 图/Graph：可直观地表示离散对象之间的相互关系，研究它们的共性和特性，以便解决具体问题。 SWUFE

  14. 几个重要定义 A(D) A(D) 有向 有 无向图（简称图）: 一个图是指一个有序三元组(V(G),E(G), ),其中V(G)是一个非空有限集，Ｅ(G)是与Ｖ(G)不相交的有限集合,是关联函数，它使E(G)中每一元素对应于V(G)中的无序元素对（可以相同） A(D) 有 实际上,有向图即将无向图中的无序对看成有序对.其中有向图对应的无向图称为有向图的基础图。 其中V(G)称为顶点集,E(G)称为边集（A(D)又称为弧集）.令p(G)=|V(G)|,q(G)=|E(G)|, 分别称为图的阶和边数。举例说明。 SWUFE

  15. 如果一个图的顶点集和边集都是有限集则称该图为有限图,否则称为无限图.只有一个顶点所构成的图称为平凡图,其它的称为非平凡图.如果一个图的顶点集和边集都是有限集则称该图为有限图,否则称为无限图.只有一个顶点所构成的图称为平凡图,其它的称为非平凡图. 如果一个图中没有环也没有重边称为简单图。 SWUFE

  16. 图/graph; 有向图/directed graph; 相邻/adjacent， 关联/incident；顶点/vertex; 孤立的/isolated，环/loop。 在有向图G中，若e=（ａ，ｂ）∈Ｅ，即箭头由ａ到ｂ，称ａ相邻到ｂ，或a关联或联结b。a称为e的起点/initial vertex，b称为e的终点/terminal or end vertex。 SWUFE

  17. 有向图的种类： • 1.严格有向图：既无自回路又无平行边的有向图。 • 2.非对称有向图：在两点间最多有一条有向边，但允许有自回路的有向图。 • 3.对称有向图：对于图中每一边(a,b),总存在另一边(b,a)的有向图。 • 4.完全有向图:(1)完全对称有向图：一个从任一点到其他点有一条且仅有一条有向边的简单图；(2)完全非对称有向图：任何两点有一条且只有一条有向边的非对称图。 SWUFE

  18. 有向图在成对比较中的应用 • 在很多实验中，特别在社会科学领域，要求人们通过对事物的两两比较排出它们的名次。这种方法称为成对比较法。例如，测定对音乐作品的个人爱好时，每一次对一个主题取出两个作品，问一个人他喜欢哪一个。记录了n个作品成对比较所有n(n-1)/2种可能的结果后，实验者就能根据某人的爱好排出n个作品的品次。 • Kendall在1948年做的一个分类实验时，对六种不同的狗食排名次。每天在六种食品中任选两种喂狗。实验安排了15天，所有可能配对的食物都被试过，在图中，一条边是从喜欢的食物引向比较不喜欢的食物，这样的图称为优化图。 SWUFE

  19. 有向图在竞赛中的应用 • 在单循环赛中，每个运动员和所有其他运动员比赛，比赛结果可以用有向图表示。图中一条顶点a指向b的边表示运动员a胜过运动员b。所以完全非对称图又称为竞赛图。 • 按得分排名次：根据运动员得分排名次，得分是运动员在比赛中胜的局数，反映在有向图中是点的出度。 SWUFE

  20. 1.3 顶点的度 顶点的度： 在无向图G中,与a相邻的顶点的数目称为v的度/degree,记为d(v)。分别用 表示 G中的最小度和最大度。度为零的顶点称为孤立顶点。 在有向图G中,以v为终点的边的条数称为v的入度/in-degree,记为d–(v)。以v为起点的边的条数称为v的出度/out-degree,记为d+(v)。 有向图中，V的度数=d–(v)+ d+(v), SWUFE

  21. 几个重要定理 即Σd(v)=2e 定理1.3.1 (Handshaking)设无向图G=（V，E）有e条边，则G中所有顶点的度之和等于e的两倍。 证明思路：考虑每条边在求和中的贡献。 定理1.3.2无向图中度为奇数的顶点个数恰有偶数个。 证明思路：将图中顶点的次分类，再利用定理1。 定理1.3.3设有向图G=（V，A）有e条边，则G中所有顶点的入度之和等于所有顶点的出度之和，也等于e。 证明思路：考虑每条边在求和中的情况。 记住了吗？ 即Σd¯(v)= Σ d+(v)=e SWUFE

  22. 推论 SWUFE

  23. 例1 证明任何一群人中，有偶数个人认识其中奇数个人.(匈牙利数学竞赛试题) • [证] 用n个顶点表示n个人.如果两个人相识，就用一条线把他们对应的一对顶点连起来，这样就得到了一个图G.每一个人所认识的人的数目就是他对应的顶点的次，于是问题就转化为证明图G中奇点的个数为偶数，而这正是定理1.3.2的结论. SWUFE

  24. 例2 • 例2 设是平面上n个点，其中任意两点的距离至少是1，证明至多有3n对点，每对点的距离恰好是1. • [证] 以这n个点为顶点作图G，使得 与 相邻当且仅当 与 的距离恰好是 .于是，距离恰为1的点对的数目就是G的边数q.显然，在G中的邻点一定在以 为圆心，以1为半径的圆周上.由于任一对点的距离至少是1,于是， 所以 即 .结论成立 SWUFE

  25. 例3 • 在一次围棋擂台赛中，双方各出n名选手。比赛的规则是双方先各自排定一个次序，设甲方排定的次序为 乙方排定的次序为 SWUFE

  26. 1.4 子图与图的运算 子图：Ｇ＝(Ｖ,E)是图,若Ｇ’=(Ｖ’,Ε’)也是图且满足:(1)Ｖ’Ｖ；(2)Ｅ’Ｅ；则称Ｇ’为Ｇ的子图/subgraph。 生成子图： 当Ｖ’＝Ｖ时,称Ｇ’为Ｇ的生成子图。 真子图:当Ｅ’≠Ｅ或Ｖ’≠Ｖ时,称Ｇ’为Ｇ的真子图。 导出子图:设Ｖ’Ｖ,由Ｖ’内的所有顶点及其顶点之间的所有边得到的子图称为G的导出子图（由顶点确定）； 边导出子图：设Ｅ’Ｅ,由边集E’的所有边及其边的顶点集得到的子图称为G的边导出子图(由边确定）. 举例说明其区别。 SWUFE

  27. 相对补图/complementary graph ：Ｇ＝（Ｖ，Ｅ）是图，Ｇ’＝（Ｖ’，Ε’）是Ｇ的子图，Ｅ”＝Ｅ－Ｅ’，Ｖ” ＝V－V’或是Ｅ”中边所关联的所有顶点集合，则Ｇ”＝（Ｖ”，Ｅ”）称为Ｇ’关于Ｇ的相对补图。 补图： 关于完全图的子图的补图称为此子图的绝对补图，若子图记为Ｇ，则补图记为 。 SWUFE

  28. 图的运算 图的并/union：Ｇ＝（Ｖ，Ｅ）和Ｇ’＝（Ｖ’，Ε’）是两个简单无向图，它们的并图ＧＧ’定义为 ＧＧ’=（Ｖ’Ｖ，Ｅ’Ｅ）. 图的和：Ｇ＝（Ｖ，Ｅ）和Ｇ’＝（Ｖ’，Ε’）是两个不相交的简单无向图，称Ｇ+Ｇ’为G和G’的和，其中Ｇ+Ｇ’=（Ｖ’Ｖ，Ｅ’ＥＥ’’). 图的交：Ｇ＝（Ｖ，Ｅ）和Ｇ’＝（Ｖ’，Ε’）是两个简单无向图，称Ｇ Ｇ’为G和G’的交，其中 Ｇ Ｇ’=（Ｖ’ Ｖ，Ｅ’ Ｅ). 举例说明。 SWUFE

  29. 1.5 特殊图类 • 完全图/complete graph：图G中的每对不同顶点之间恰有一条边。空图/empty graph：边集为空的图。 • 问题：完全图的补图是怎样的图？ • 设G=(V,E)是p阶图,若V可以划分为m个非空 SWUFE

  30. 补充特殊图类 • 练习：画出一个完全二部图/bipartite graph。 • 轮图/wheel:由一个圈添加一个新顶点,并且把这个顶点与圈的所有顶点相连得到的图称为轮，新的边称为辐。 • 正则图：每个顶点的度都等于k的图。 • 线图（边图）/line graph：图G的线图是以为E(G)顶点集的图,其中两个顶点相邻当且仅当它们在G中是相邻的边。 • 练习:各类特殊图所含边数的情况如何？ SWUFE

  31. 1.6 图的矩阵表示与同构 图G表示的三种方法： （1）集合表示 （2）邻接表（adjacency list）表示 （3）矩阵（ matrix）表示 1、邻接矩阵（adjacency matrix）表示 2、关联矩阵（incidence matrix）表示 SWUFE

  32. 关联矩阵及其举例说明 • 关联矩阵：设G=(V,E)的顶点集和边集分别为 • 关联矩阵的性质: • (1) B(G)的每一列元素之和均为2； • (2) B(G)的每一行元素之和等于对应顶点的度数。 • 举例说明。 SWUFE

  33. 邻接矩阵及同构 SWUFE

  34. 邻接矩阵的性质 • (1)主对角线所有元素都是0<=>图中无回路; • (2)若无环,顶点的度等于M中对应行或列中的1的个数。 • (3) M是对称的,所以如果两行交换位置，那末相应的列也应交换位置。 • (4)图G是分离图,且有两个分支G1和G2 <=>它的邻接矩阵能划分成分块对角矩阵。 • (5)给出任何一个n阶对称（0，1）方阵Q,总能构造一个具有n个顶点的图G，使得Q是G的邻接矩阵。 SWUFE

  35. 同构图的性质 从定义可以看出，两个同构图必然具备下列性质： （1）具有相同的顶点数； （2）具有相同的边数； （3）对于一个给定的度数具有相同的顶点数。 反之不成立。 举例说明。 SWUFE

  36. 例1 下面两个图不同构. SWUFE

  37. 例2 证明：图G和图H同构. SWUFE

  38. 同构判定算法（用邻接矩阵） 1、根据图确定其邻接矩阵（I) 2、计算行次：矩阵每行１的个数，（对应于出次） 和列次：（对应于入次） 3、不考虑出现的次序不同，若行次与列次不同，则必不同构，否则继续 4、同时交换其一矩阵的ｉ行和ｊ行，ｉ列和ｊ列。 若此矩阵能变成与另一矩阵相同，则同构。对所有顶点的排列都试过，仍不相同，则不同构。 SWUFE

  39. 性质：两个图G与H是同构的充要条件是存在一个置换矩阵P,使得M(G)=P'M(H)P.性质：两个图G与H是同构的充要条件是存在一个置换矩阵P,使得M(G)=P'M(H)P. SWUFE

  40. 2 图的连通性/2.1 途径、路和圈 途径：Ｇ中相邻边的序列（Ｖ0,Ｖ1），（Ｖ1,Ｖ2）， …（Ｖk-1,Ｖk）称为一条途径.此途径长度为ｋ.也可以（Ｖ0，Ｖ1，…，Ｖk）表示道路,Ｖ0为起点，Ｖk为 终点，起点与终点相同时称为闭途径。 迹/trace ：一条边不重复出现的途径称为迹,当Ｖ0=Ｖk时称为闭迹。 路/ Path:一条内部顶点不重复出现的途径称为路；路所含的边数称为路的长度。 回路（圈）/Cycle：一条内部顶点不重复出现的闭路称为圈。长度为奇数的圈称奇圈，否则称偶圈。 SWUFE

  41. 其他概念 • 顶点间的距离：任意两点u与v之间的最短路。 • 图的直径:指G的两个顶点之间的最大距离。 • 完全图的直径是？其他特殊图类呢？ • 图的围长：图中最短圈的长度。 • 图的周长：图中最长圈的长度。 • 有向图的相关概念可以类似定义。 SWUFE

  42. 相关定理及其证明 SWUFE

  43. 有向图中路的应用 • 例有A,B,C三个瓶，分别能装油8L,5L和3L.如果A装满油，B和C是空的，怎样以最快的速度平分A中的油？ • [解法] 我们用三位数码表示A,B,C三个瓶子装油的情况，又因为三位数码之和不变，所以可以用后两位数码表示三个瓶子装油的情况.例如：（0，0）表示初始状态.根据题意：共有十六种可能的状态，用这16个状态为顶点作图G，使得两个状态相邻当且仅当它们可以经过一次倒油相互转化.于是，问题就是要求从（0，0）到（4，0）的一条最短路. SWUFE

  44. 容易作出图G（如下图）： SWUFE

  45. 通过观察图得知共有两条从（0，0）到(4,0)的路：通过观察图得知共有两条从（0，0）到(4,0)的路： • 第一条: (0,0)  (5,0)(2,3)  (2,0)(0,2) (5,2) (4,3) (4,0); • 第二条: (0,0)  (0,3)(3,0)  (3,3)(5,1) (0,1) (1,0) (1,3) (4,0); • 从而，最快的速度平分即是最短的路所对应的过程， • 即第一条路的过程就是以最快的速度平分油的过程。 能说出具体操作吗？ SWUFE

  46. 2.2 连通图、非连通图和成分 连通/connectivity:设Ｇ＝(Ｖ,Ｅ),若存在一条从Ｖ0，到Ｖk的一条道路，则称Ｖ0到Ｖk连通。 无向图的连通性: 若图Ｇ中任两个不同顶点都连通，则称此无向图是连通的/connected,否则称为非连通图(分离图)。 连通分支/connected components：图Ｇ可分为几个不相连通的子图，每一子图本身都是连通的。称这几个子图为Ｇ的连通分支。 SWUFE

  47. 有向图的连通性 说明：对无向图而言，若Ｖ0到Ｖk可达，则Ｖk到Ｖ0也可达。对有向图而言则未必。 有向图的连通性： (1)弱连通：Ｇ＝（Ｖ，Ｅ）对应的无向图是连通图，则称Ｇ为弱连通/weakly connected。 (2）强连通：若Ｇ＝（Ｖ，Ｅ）中任两点间都有路，即对ａ与ｂ，ａ到ｂ可达，ｂ到ａ可达，称Ｇ为强连通/strongly connected。 (3)单向连通：如果有向图D的任何两个顶点至少由一个顶点到另一个顶点可达,则称D是单向连通的。 SWUFE

  48. 例：用图描述一台自动售货机，只用５分，１０分二种硬币，满１５分后压按钮，选择一块巧克力，钱多了不找还。例：用图描述一台自动售货机，只用５分，１０分二种硬币，满１５分后压按钮，选择一块巧克力，钱多了不找还。 SWUFE

  49. 顶点:ａ：０ 分边： ５：投５分 ｂ：５分 １０：投１０分 ｃ：１０分 ｐ：压按扭动作 ｄ：≥１５分 表示已投入钱的状态 表示一种动作 自动售货机：有向加权图描绘得很清楚 （1）钱数不够，压按扭，不起作用 （2）钱数够了,压按扭,给过糖果回到０分状态 （3）钱超过１５分，再加钱白加 SWUFE

  50. 一个简单定理的应用 • 定理2.2.1:设G是p阶简单图,每个顶点的度至少是[p/2],则G是连通图。 • 例1: 用一些圆面覆盖平面上取定的2n个点。试证：若每个圆面至少覆盖n+1个点则任两个点能由平面上的一条折线所连接，而这条折线整个地被某些圆面覆盖。 • 证明：构造相应的图，得到顶点的最小度，应用定理即可证明。 SWUFE

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