ตรรกศาสตร์และการให้เหตุผล โดย ผู้ช่วยศาสตราจารย์ระ วีวรรณ วุฒิประสิทธิ์

1. ตรรกศาสตร์และการให้เหตุผลตรรกศาสตร์และการให้เหตุผล โดย ผู้ช่วยศาสตราจารย์ระวีวรรณ วุฒิประสิทธิ์

2. ตรรกศาสตร์และการให้เหตุผลตรรกศาสตร์และการให้เหตุผล ตรรกศาสตร์จัดเป็นวิชาที่ว่าด้วยกฎเกณฑ์ของการใช้เหตุใช้ผลซึ่งพัฒนามาตั้งแต่สมัยกรีกโบราณ โดยที่ตรรกศาสตร์นั้นหมายถึงวิชาที่ว่าด้วยความรู้ที่เกี่ยวกับการตรึกตรองและการคิดซึ่งตรงกับภาษาอังกฤษคำว่าlogic จากรากศัพท์ภาษากรีกว่าlogosที่แปลว่าคำพูด โดยที่ดั้งเดิมนั้นการศึกษาเรื่องความเป็นเหตุเป็นผลและการให้เหตุผลยังไม่เป็นระบบมากนักจนกระทั่งมาถึงสมัยของอริสโตเติ้ลที่ได้ทำการศึกษา และพัฒนาตรรกศาสตร์ให้มีความเป็นระบบมากขึ้นจนตรรกศาสตร์ได้ชื่อว่าเป็นวิชาพื้นฐานที่สำคัญในการศึกษาวิชาการในแขนงอื่น ๆ อีกเป็นจำนวนมากไม่ว่าจะเป็น คณิตศาสตร์วิทยาศาสตร์กฎหมายและปรัชญาเป็นต้น นอกจากนั้นตรรกศาสตร์ยังเป็นปัจจัยสำคัญ ที่สามารถนำไปประยุกต์ใช้ในชีวิตประจำวันได้อย่างเหมาะสมอีกด้วย

3. จากการที่ตรรกศาสตร์มีบทบาทที่สำคัญในการทำให้เราหาข้อสรุปต่าง ๆ ที่เกิดประโยชน์เป็นอย่างมากและเพื่อให้ผู้ศึกษาได้มีความรู้เบื้องต้นสำหรับการศึกษาเรื่องของตรรกศาสตร์ผู้ศึกษาจำเป็นจะต้องเข้าใจถึงลักษณะของประโยคของตรรกศาสตร์ เพื่อให้สามารถจำแนก ค่าความจริงของประโยคการสร้างประโยคการวิเคราะห์หาค่าความจริงรวมทั้งหาความสมเหตุสมผลในรูปแบบต่าง ๆ ได้จากประโยคทางตรรกศาสตร์ที่จะกล่าวถึงต่อไปนี้คือ ประพจน์และประโยคเปิด

4. ประพจน์และประโยคเปิด นิยาม : ประพจน์คือประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏิเสธที่มีค่าความจริงที่เป็นจริงหรือเป็นเท็จได้เพียงอย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น จริง เท็จ จริง เท็จ เท็จ จริง จริง

5. นิยาม : ประโยคเปิดคือประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏิเสธที่มีตัวแปรหรือตัวไม่รู้ค่าอยู่ในประโยคและยังไม่สามารถระบุค่าความจริงของประโยคได้ว่าเป็นจริงหรือเป็นเท็จ เขา เขา x y q

6. จากนิยามของคำว่าประพจน์และประโยคเปิดจึงมีวิธีการพิจารณาว่าประโยคใดจะเป็นประพจน์ ประโยคใดเป็นประโยคเปิดหรือประโยคใดไม่เป็นทั้งประพจน์และประโยคเปิดโดยอาศัยเกณฑ์จากนิยามนั่นเอง “ประโยคเปิดเป็นประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏิเสธที่ไม่สามารถสรุปได้ว่าค่าความจริงเป็นจริงหรือเป็นเท็จเนื่องจากมีตัวแปรหรือตัวที่ไม่รู้ค่าอยู่ในประโยคนั้นแต่สามารถเปลี่ยนประโยคเปิดให้เป็นประพจน์ได้ด้วยการบอกค่าตัวแปรหรือตัวที่เราไม่รู้ค่าประโยคเปิดนั้นก็จะเป็นประพจน์ได้เพราะสามารถบอกค่าความจริงของประโยคนั้นได้ว่าเป็นจริงหรือเท็จ” ข้อสังเกต ประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏิเสธบางประโยค ที่แม้จะมี ตัวแปรอยู่ในประโยคแต่ถ้าสามารถระบุค่าความจริงได้ว่าจริงหรือเท็จ ก็ถือว่าเป็นประพจน์ เช่น “y = x2เป็นสมการของกราฟพาราโบลา”

7. จากตัวอย่างประโยคที่เป็นประโยคเปิดที่กล่าวมาข้างต้นเปลี่ยนให้เป็นประพจน์ได้ดังนี้ จากตัวอย่างประโยคที่เป็นประโยคเปิดที่กล่าวมาข้างต้นเปลี่ยนให้เป็นประพจน์ได้ดังนี้ ข้อ 1) และข้อ 2) ทำให้เป็นประพจน์ได้ด้วยการบอกชื่อว่า “เขา” เป็นใครซึ่งเมื่อบอกแล้วก็จะได้ประโยคที่เป็นประพจน์ที่สามารถบอกได้ว่า เป็นจริงหรือเท็จ ข้อ 3) บอกค่า x เช่นให้ค่า x = 4 จะได้ประพจน์ 4+5 = 12 ที่มีค่าความ จริงที่เป็นเท็จ ข้อ 4) บอกค่า y เช่นให้ค่า y คือ จำนวนนับจะได้ประพจน์ y  0เมื่อ y เป็นจำนวนนับที่มีค่าความจริงที่เป็นจริง ข้อ 5) บอกค่า q เช่นให้ค่า q = 4 จะได้ประพจน์ p + 2q = 10 เมื่อ p = 3 , q = 4 ที่มีค่าความจริงเป็นเท็จ

8. ประพจน์คือประโยคบอกเล่าหรือปฏิเสธที่บอกค่าความจริงได้ว่าจริงหรือเท็จเพียงอย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้นฉะนั้นประโยคใดที่ไม่ใช่ประโยคบอกเล่าหรือปฏิเสธจึงไม่ใช่ประพจน์เช่นประโยคที่อยู่ในรูปของประโยคคำถามคำสั่งคำขอร้อง คำอ้อนวอนคำอุทานข้อห้ามข้อปฏิบัติข้อความที่แสดงความต้องการ อยากได้หรือปรารถนา สุภาษิตคำพังเพยจะไม่ใช่ประพจน์ทั้งสิ้นเพราะไม่สามารถบอกได้ว่าเป็นจริงหรือเท็จดังประโยคต่อไปนี้ 1) ขอจงทรงพระเจริญ 2) โปรดใช้สะพานลอย 3) อย่าเดินลัดสนาม 4) โปรดรักษาความสะอาด 5) อย่ามาสาย 6) จงคิดดีปฏิบัติดี 7) คุณพระช่วย ! จริงหรือ 8) ฉันอยากถูกสลากออมสินรางวัลที่1 9) ตั้งใจเรียนนะ 10) น้ำมันขึ้นราคาเป็นเท่าไรแล้ว 11) น้ำนิ่งไหลลึก

9. ประเภทของประพจน์ ประพจน์แบ่งได้เป็น 2 ประเภทคือประพจน์เชิงเดี่ยวและประพจน์เชิงประกอบ ประพจน์เชิงเดี่ยว (simple proposition)เป็นประพจน์ที่มีประธานและกริยาอย่างละเพียงตัวเดียวเช่น 1) นกมีปีก 2) ดวงอาทิตย์ขึ้นทางทิศตะวันออก 3) Z เป็นพยัญชนะตัวสุดท้ายในภาษาอังกฤษ 4) นายก้องเกียรติเรียนอยู่ที่มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี

10. ประพจน์เชิงประกอบ (compound proposition) เป็นประพจน์ที่เกิดจากการนำประพจน์เชิงเดี่ยวมาเชื่อมกันด้วยตัวเชื่อมต่าง ๆ เพื่อให้เกิดประพจน์ใหม่ที่มีความหมายต่อเนื่องกันหรือมีความหมายแตกต่างกันไปเช่น 1) ดวงอาทิตย์ขึ้นทางทิศตะวันออกและตกทางทิศตะวันตก 2) สมชายจะไปดูภาพยนตร์หรือไปเล่นกีฬา

11. การเชื่อมประพจน์ การเชื่อมประพจน์เป็นการนำเอาตัวเชื่อม (conncetive) ทางตรรกศาสตร์มาเชื่อมกับประพจน์เชิงเดี่ยวตั้งแต่ 2 ประพจน์ขึ้นไปด้วยตัวเชื่อมต่อไปนี้      ค่าความจริงของประพจน์ใด ๆ จะเป็นจริงหรือเท็จอย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น โดยต่อไปนี้จะใช้อักษร T แทนค่าที่เป็นจริงอักษร F แทนค่าที่เป็นเท็จและอักษร p , q , r , … แทนประพจน์

12. ประพจน์ที่เชื่อมด้วยตัวเชื่อม“และ” (conjunctionstatement) เป็นประพจน์เชิงประกอบที่ได้มาจากการเชื่อมประพจน์เชิงเดี่ยวด้วยตัวเชื่อม “และ” ใช้สัญลักษณ์ p  q (อ่านว่า p และ q หรือ p and q) ตัวอย่างให้ p แทนธงชาติไทยมี 3 สี q แทนสีแดงของธงชาติ หมายถึงชาติ ดังนั้น p  qแทนธงชาติไทยมี 3 สีและสีแดงของธงชาติหมายถึงชาติ ค่าความจริงของประพจน์ p  qเป็นจริงเพียงกรณีเดียวเท่านั้นคือเมื่อประพจน์ p และประพจน์ q เป็นจริงทั้งคู่นอกนั้นค่าความจริงของ p  qจะเป็นเท็จหมดหรือกล่าวได้ว่าค่าความจริงของประพจน์ p  qจะเป็นเท็จ เมื่อค่าความจริงของประพจน์ p หรือประพจน์ q ตัวใดตัวหนึ่งอย่างน้อยหนึ่งตัวเป็นเท็จผลลัพธ์ของการเชื่อม p  qก็จะเป็นเท็จดังตารางต่อไปนี้ • เช่น 2 และ 32 = 9 ..........…......เป็น • 7 เป็นเลขคี่และ 7  1 ...…...……..เป็น • 32 = 6 และ 1 + 1 = 2 ...................เป็น • 23 = 6 และ 3  2 ...........…......เป็น T T F F F F F F

13. ประพจน์ที่เชื่อมด้วยตัวเชื่อม“หรือ” (disjunction statement) เป็นประพจน์เชิงประกอบที่ได้มาจากการเชื่อมประพจน์เชิงเดี่ยว “หรือ” ใช้สัญลักษณ์ p q (อ่านว่า p หรือ q หรือ p or q ) ตัวอย่างให้ p แทน 23 = 6 q แทน 32 = 9 ดังนั้น p  q แทน 23 = 6 หรือ 32 = 9

14. ค่าความจริงของประพจน์ p  qเป็นเท็จเพียงกรณีเดียวเท่านั้น คือ เมื่อประพจน์ p เป็นเท็จและประพจน์ q เป็นเท็จ หรือกล่าวได้ว่าค่าความจริงของประพจน์เชิงเดี่ยวที่เชื่อมด้วย หรือ เป็นเท็จหมดทุกประพจน์จะได้ผลของการเชื่อมเป็นเท็จ แต่ถ้าค่าความจริงของประพจน์ p หรือ q ตัวใดตัวหนึ่งอย่างน้อยหนึ่งตัวเป็นจริงผลลัพธ์ของ p  qก็จะเป็นจริงดังตารางต่อไปนี้ เช่น 2 3 หรือ 32 = 9……….……………....เป็น 3 5 หรือ 3 เป็นเลขคู่……..………........เป็น 23= 6 หรือ 3 เป็นเลขคี่……………..……เป็น 33 = 6 หรือ 3 เป็นเลขคู่…….………........ เป็น T T T T T T F F

15. ค่าความจริงของประพจน์ p  qเป็นเท็จเพียงกรณีเดียวเท่านั้นคือเมื่อประพจน์ p (ตัวหน้า-หรือตัวเหตุ ) เป็นจริงประพจน์ q (ตัวหลังหรือตัวผล) เป็นเท็จ นอกจากกรณี p  qที่ p เป็นจริง q เป็นเท็จที่ให้ผลเป็นเท็จแล้ว นอกนั้นจะให้ผล p  qที่เป็นจริงทั้งหมดคือ p และ q เป็นจริงทั้งคู่ p และ q เป็นเท็จทั้งคู่ และ p เป็นเท็จ q เป็นจริงดังตารางต่อไปนี้ เช่น ถ้า 42 = 16 แล้ว 4 เป็นเลขคู่………..…....เป็น ถ้า 1 แล้ว 1+2 = 4 …………….… ..เป็น ถ้า 23 = 9 แล้ว 9 เป็นเลขคี่ ………..….....เป็น ถ้า 33 = 9 แล้ว 3 เป็นเลขคู่ …...……..….เป็น T T F T F T T T

16. ประโยคในรูปเงื่อนไขนี้จะพบมากในเรื่องของความเป็นเหตุเป็นผลซึ่งสามารถเขียนเป็นข้อความในรูปแบบต่าง ๆ กันได้ดังตัวอย่างต่อไปนี้ p q 1. ถ้าฝนตกหนักแล้วน้ำจะท่วม p q 2. ฝนตกหนักน้ำจึงท่วม p q 3. น้ำจะท่วมถ้าฝนตกหนัก p q 4. น้ำท่วมเพราะฝนตกหนัก ถ้าให้ p แทนฝนตกหนัก q แทนน้ำจะท่วม ข้อความทั้ง 4 ข้อข้างต้นนั้นมีความหมายเหมือนกันและทุกข้อนั้นเขียนในรูปสัญลักษณ์ได้เป็น p q เหมือนกันทั้ง 4 ข้อ (p เป็นเหตุ และ q เป็นผล)

17. ประพจน์ที่เชื่อมด้วยตัวเชื่อม “…ก็ต่อเมื่อ…” (biconditional statement) เป็นประพจน์เชิงประกอบที่ได้มาจากการเชื่อมประพจน์เชิงเดี่ยวด้วยตัวเชื่อม “…ก็ต่อเมื่อ…” ใช้สัญลักษณ์ p  q (อ่านว่า p ก็ต่อเมื่อ q หรือ p if and only if q) ตัวอย่าง ถ้าp แทน 23 = 8 q แทน 32= 9 ดังนั้น p  qแทน 23= 8 ก็ต่อเมื่อ 32 = 9

18. ค่าความจริงของประพจน์ p  qเป็นจริงเมื่อทั้ง p และ q มีค่าความจริงที่เหมือนกันคือ p , q เป็นจริงทั้งคู่เหมือนกันหรือ p , q เป็นเท็จทั้งคู่เหมือนกันจะได้ผลลัพธ์ของ p  qเป็นจริงแต่ถ้า p , q มีค่าความจริงต่างกันหรือตรงกันข้ามกันจะได้ผลลัพธ์ของp  qเป็นเท็จ ดังตารางต่อไปนี้ T เช่น 23 = 8 ก็ต่อเมื่อ 2 + 2 = 4 ……….เป็น 32 = 9 ก็ต่อเมื่อ 3 เป็นเลขคู่ ….…..เป็น 32 = 6 ก็ต่อเมื่อ 1 + 1 = 2 ………...เป็น 23 = 6 ก็ต่อเมื่อ 2  3 ………........เป็น T F F F F T T

19. ประพจน์ที่เชื่อมด้วยตัวเชื่อม นิเสธ (ไม่ , ไม่ใช่, not ,negation) คือ ประพจน์รูปนิเสธหรือรูปปฏิเสธ (denial) ของประโยคเดิมดังนั้นถ้า p เป็นประพจน์จะได้สัญลักษณ์ pแทนนิเสธของประพจน์ p ( pอ่านว่านิเสธของ p หรือไม่ใช่ p หรือ not p) ซึ่งค่าของ  pจะมีค่าตรงข้ามกับ p นั่นเอง ตัวอย่าง ถ้า p แทน 32 = 9 เป็น T ดังนั้น  pแทน32 9 เป็น F ค่าความจริงของประพจน์ pเป็นดังตารางต่อไปนี้ ถ้า p แทนเป็นจำนวนเต็ม เป็นF ดังนั้น  pแทน ไม่เป็นจำนวนเต็ม เป็น T F T

20. สรุปค่าความจริงของประพจน์ที่เชื่อมด้วยตัวเชื่อม , , , ,  T T T T F F F T F F F T F T T F T F F F T T T T

21. การวิเคราะห์หาค่าความจริงของประพจน์การวิเคราะห์หาค่าความจริงของประพจน์ ตัวอย่างที่1จงหาค่าความจริงของประพจน์ “ถ้า เป็นจำนวนนับแล้ว 62 = 36 และ 6 เป็นเลขคี่” วิธีทำให้ p คือเป็นจำนวนนับ .………เป็น F q คือ 62 = 36 …….…เป็น T r คือ 6 เป็นเลขคี่ .........เป็น F เปลี่ยนข้อความของประพจน์ให้อยู่ในรูปของสัญลักษณ์ p  (q r) แล้วหาค่าความจริงของประพจน์ได้ค่าความจริงเป็นจริงดังนี้ p  ( q r ) FT F F T แสดงว่าค่าความจริงของประพจน์ “ถ้า เป็นจำนวนนับแล้ว 62 = 36 และ 6 เป็นเลขคี่ ” มีค่าความจริงเป็นจริง

22. ตัวอย่างที่ 2กำหนด p , q , r , s เป็นประพจน์โดยที่ q และ r ต่างมีค่าความจริงที่เป็นเท็จจงหาค่าความจริงของประพจน์ต่อไปนี้ 1) (ps) q r 2 ) (q p) (r s) วิธีทำ 1)  ( p s) q  r T T T T 2 ) (q p) (r s) FF T F F

23. ตัวอย่างที่ 3ถ้าประพจน์ p q มีค่าความจริงเป็นเท็จและ q  r มีค่าความจริง เป็นจริงจงหาค่าความจริงของประพจน์ p ( q r )  r วิธีทำจาก1. p  q มีค่าความจริงเป็น F แสดงว่า p เป็น T และ q เป็น F 2. q r เป็น T เมื่อ q เป็น F จาก 1.จะได้ r เป็น T จากโจทย์จะได้ p เป็น F q เป็น F r เป็น T นำค่าความจริงที่ได้ไปแทนค่าใน ประพจน์ได้ดังนี้ วิธีหาค่าความจริง p,q,r [p ( q r ) ]  r T T T F F p  q TF F F T T q r

24. ข้อสังเกตเกี่ยวกับค่าความจริงของตัวเชื่อม, , ,  1. p q จะเป็นเท็จถ้าประพจน์ตัวใดตัวหนึ่งเป็นเท็จ เช่น p q p q F F F F 2. p q จะเป็นจริงถ้าประพจน์ตัวใดตัวหนึ่งเป็นจริง เช่น p q p q T T T T 3. p q จะเป็นจริงถ้าประพจน์ตัวหน้า (p) เป็นเท็จ p q จะเป็นจริงถ้าประพจน์ตัวหลัง (q) เป็นจริง เช่น p q p  q F T T T 4. p q จะเป็นจริงถ้าประพจน์ทั้งคู่มีค่าความจริงเหมือนกัน เช่น p q p q T T T F T F

25. กรณีที่เราไม่ทราบค่าความจริงที่แน่นอนของประพจน์เชิงเดี่ยวเลยเราจะพิจารณาหาค่าความจริงของทุกกรณีที่เป็นไปได้โดยการวิเคราะห์ด้วยตารางค่าความจริง (truth table analysis ) ในแต่ละกรณีเพื่อใช้ศึกษาและตรวจสอบในโอกาสต่าง ๆดังตัวอย่าง ตัวอย่างที่ 4 จงวิเคราะห์หาค่าความจริงของประพจน์ ( p  q ) p วิธีทำเนื่องจากประพจน์ ( p q ) p ประกอบด้วยประพจน์เชิงเดี่ยวที่แตกต่างกันอยู่ 2 ประพจน์คือ p กับ q แต่ละประพจน์มีค่าความจริงเป็นไปได้ 2 กรณี ( คือ T หรือ F ) ดังนั้นเมื่อพิจารณาพร้อมกันทั้ง 2 ประพจน์จะเกิดกรณีที่เป็นไปได้ 2 x2 = 4 กรณีคือ TT , TF , FT , FF เมื่อนำทั้ง 4 กรณีมาพิจารณาหาค่าความจริงจะได้ดังตารางต่อไปนี้ ( p q ) p TTFF TTTF TFTF TTFF T T T หรือแสดงได้ดังนี้ T F T F T

26. ประโยคสัจนิรันดร์ และประโยคขัดแย้ง ประโยคสัจนิรันดร์( tautology ) คือประโยคที่มีค่าความจริงจากตารางค่าความจริงเป็นจริงทุกกรณีไม่ว่าประโยคที่เป็นประพจน์เชิงเดี่ยวจะมีค่าความจริงเป็น T หรือ F ก็ตาม เช่น ( p q ) p แสดงได้ดังนี้( p q ) p TTFF TFFF TFTF T TTFF T T T ค่าความจริงของประพจน์ ( p q ) p เป็นจริง ( T ) ทุกกรณีดังนั้นประพจน์ ( p q ) p จึงเรียกว่าเป็นสัจนิรันดร์

27. ประโยคขัดแย้ง( contradiction )คือประโยคที่มีค่าความจริงจากตารางค่าความจริงเป็นเท็จทุกกรณี ไม่ว่าประโยคที่เป็นประพจน์เชิงเดี่ยวจะมีค่าความจริงเป็น T หรือ F ก็ตามเช่น( p q ) p แสดงได้ดังนี้ ( p  q )   p TTFF TFFF TFTF F FFTT F F F ค่าความจริงของประพจน์ ( p  q ) p เป็นเท็จ (F) ทุกกรณี ดังนั้นประพจน์ ( pq) p จึงเรียกว่าเป็นประโยคขัดแย้ง

28. ประโยคที่สมมูลกัน ( equivalent sentences ) คือการที่ประโยค 2 ประโยคที่เป็นประพจน์มีค่าความจริงจากตารางค่าความจริงที่เหมือนกันทุกกรณีกรณีต่อกรณีดังนั้นเมื่อเชื่อมประพจน์ 2 ประพจน์ด้วยแล้วได้ผลลัพธ์ของจากตารางเป็นสัจนิรันดร์ก็แสดงว่าประพจน์หรือประโยคทั้ง 2 นั้นสมมูลกัน (ใช้สัญลักษณ์) โดยที่ประพจน์ทั้งสองนั้นจะมีความหมายเหมือนกัน และประโยคที่สมมูลกัน สามารถใช้แทนที่กันได้ ดังตัวอย่างต่อไปนี้ ตัวอย่างประโยคที่สมมูลกันเป็นดังนี้ T T T F F F T T T T T T จากตารางข้างต้นพบว่า p q และ p q และ q  p ต่างก็มีค่าความจริงเหมือนกันทุกกรณี แสดงว่า p q  p q  q p

29. ตัวอย่างประพจน์ที่สมมูลกันตัวอย่างประพจน์ที่สมมูลกัน  ( p q )   p  q  ( p q )   p  q  ( p q )  p  q  ( p  q )  p q p q   q  p s t  t  s   p q  q p  ถ้าฝนตกแล้วกบร้อง  ถ้ากบไม่ร้องแสดงว่าฝนไม่ตก ถ้าแดงขยันแล้วแดงจะสอบได้  ถ้าแดงสอบตกแสดงว่าแดงไม่ขยัน ถ้าอั้มไม่ทำการบ้าน อั้มจะทำข้อสอบไม่ได้  ถ้าอั้มทำข้อสอบได้แสดงว่า อั้มทำการบ้าน

30. การให้เหตุผล การให้เหตุผลแบบนิรนัยและแบบอุปนัย การให้เหตุผลแบบนิรนัย ( deductive ) เป็นการให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์โดยนำข้อความที่กำหนดให้ซึ่งต้องยอมรับว่าเป็นจริงทั้งหมดหรือยอมรับว่าเป็นจริงโดยไม่ต้องพิสูจน์มาเป็นข้ออ้าง และสนับสนุนเพื่อสรุปเป็นผลข้อความที่เป็นข้ออ้างนี้เรียกว่าเหตุ ( premise ) และข้อความที่สรุปเรียกว่า ผลหรือผลลัพธ์ ( conclusion ) ซึ่งถ้าพบว่าเหตุที่กำหนดนั้นบังคับให้เกิดผลสรุปได้ตามหลักตรรกศาสตร์ก็แสดงว่าการให้เหตุผลดังกล่าวสมเหตุสมผล ( valid ) แต่ถ้าพบว่าเหตุที่กำหนดนั้นบังคับให้เกิดผลสรุปไม่ได้ตามหลักตรรกศาสตร์แสดงว่าการให้เหตุผลดังกล่าวไม่สมเหตุสมผล ( invalid ) ดังตัวอย่าง เหตุ: 1. สุนัขทุกตัวต้องหายใจ 2.ดุ๊กเป็นสุนัข ผล:ดุ๊กต้องหายใจ จะเห็นว่าจากเหตุ 1 และเหตุ 2 บังคับให้เกิดผลได้จริงดังนั้นการให้เหตุผลหรือการอ้างเหตุผลของตัวอย่างนี้จึงสมเหตุสมผล ( valid )

31. เหตุ: 1. แมวทุกตัวต้องหายใจ 2. สำลีหายใจได้ ผล: สำลีเป็นแมว จะเห็นว่าจากเหตุ 2 สำลีหายใจได้แต่จากเหตุ 1 ระบุว่าแมวทุกตัวต้องหายใจหมายความว่าแมวทุกตัวเป็นสิ่งที่หายใจได้หรือสิ่งที่เป็นแมวต้องหายใจได้แต่สิ่งที่หายใจได้อาจมีหลายสิ่งไม่จำเป็นต้องเป็นแมวการที่สำลีหายใจได้ก็ไม่สามารถระบุได้ว่าสำลีต้องเป็นแมวเสมอไปอาจเป็นสิ่งอื่นที่ไม่ใช่แมวแต่หายใจได้ก็อาจเป็นได้ ดังนั้นเหตุ 1 และเหตุ 2 บังคับให้เกิดผลสรุปไม่ได้เสมอไปแสดงว่าการให้เหตุผลของตัวอย่างนี้ไม่สมเหตุสมผล ( invalid ) การให้เหตุผลแบบนิรนัยเป็นการให้เหตุผลที่คำนึงถึงความสมเหตุสมผลของผลสรุปที่เกิดจากเหตุที่กำหนดให้เป็นสำคัญโดยไม่ได้คำนึงว่าผลสรุปนั้นจะเป็นจริงในโลกปัจจุบันหรือไม่

32. การให้เหตุผลแบบอุปนัย (inductive ) เป็นการให้เหตุผลทางวิทยาศาสตร์ โดยอาศัยข้อสังเกตหรือผลการทดลองจากหลาย ๆ ตัวอย่างมาสรุปเป็นข้อตกลงหรือสรุปซึ่งจะเห็นว่าการนำเอาข้อสังเกตหรือผลการทดลองจากบางหน่วยมาสนับสนุนให้ได้ข้อตกลงหรือสรุปซึ่งสรุปความถึงทุกหน่วยในบางกรณีอาจไม่สมเหตุสมผล เพราะอาจเป็นการสรุปเกินสิ่งที่กำหนดให้ซึ่งหมายความว่าการให้เหตุผลแบบอุปนัย จะต้องมีกฎของความสมเหตุสมผลเป็นการเฉพาะของตนเองนั่นคือจะต้องมีข้อสังเกต หรือผลการทดลองหรือมีประสบการณ์ที่มากพอที่จะทำให้เชื่อได้แต่อย่างไรก็ตามในบางกรณีก็ยังไม่สามารถแน่ใจในผลสรุปได้เต็มที่ดังนั้นจึงกล่าวได้ว่าการให้เหตุผลแบบอุปนัยเป็นเพียงการคาดการณ์หรือเป็นความน่าจะเป็นด้วยเหตุนี้ผลสรุปที่ได้จากการให้เหตุผลแบบอุปนัยจึงอาจไม่ถูกต้องทุกครั้งก็ได้ ตัวอย่าง การให้เหตุผลแบบอุปนัยเช่นเราพบว่ามีปลาจำนวนมากที่ออกลูกเป็นไข่เราจึงสรุปว่า “ ปลาทุกชนิดต้องออกลูกเป็นไข่ ” ซึ่งกรณีนี้ถือว่าไม่สมเหตุสมผลเพราะข้อสังเกตหรือตัวอย่างที่พบยังไม่มากพอที่จะสรุปเพราะโดยข้อเท็จจริงแล้วยังมีปลาบางชนิดที่ออกลูกเป็นตัว

33. การให้เหตุผลแบบอุปนัยนิยมใช้ในการศึกษาค้นคว้าคุณสมบัติต่าง ๆ ทางด้านวิทยาศาสตร์เช่นข้อสรุปที่ว่า สารสกัดจากขมิ้นเป็นสมุนไพรที่สามารถใช้เป็นส่วนประกอบของเครื่องสำอางค์ที่ทำให้ผิวพรรณดีซึ่งข้อสรุปดังกล่าวได้มาจากการทำการทดลองซ้ำ ๆ กันหลาย ๆ ครั้งแล้วได้ผลการทดลองที่ตรงกันหรือถ้าเป็นในทางคณิตศาสตร์จะใช้การให้เหตุผลแบบอุปนัยในการสร้างสัจพจน์เช่นเมื่อเราทดลองลากเส้นตรงให้ตัดกันเราก็พบว่าเส้นตรงสองเส้นจะตัดกันเพียงจุด ๆ เดียวเท่านั้นไม่ว่าจะลากกี่ครั้งก็ตาม การตรวจสอบความสมเหตุสมผลแบบนิรนัย การตรวจสอบความสมเหตุสมผลแบบนิรนัยมีหลายวิธีซึ่งในที่นี้จะกล่าวถึง 3 วิธีดังนี้ - การตรวจสอบโดยใช้ตารางค่าความจริง - การตรวจสอบโดยใช้แผนภาพ - การตรวจสอบโดยใช้กฎการอ้างอิงหรือพิสูจน์

34. การตรวจสอบทั้ง 3 วิธีมีวิธีการต่าง ๆ ดังนี้ 1. การตรวจสอบความสมเหตุสมผลโดยใช้ตารางค่าความจริง การตรวจสอบการสมเหตุสมผลโดยใช้ตารางค่าความจริงเป็นการตรวจสอบการให้เหตุผล โดยนำเอาเหตุและผลมาจัดให้อยู่ในรูปของประพจน์ ( p1 p2  p3  _ _ _ pn ) q เมื่อ p1 , p2 , _ _ _ , pnเป็นเหตุและ q เป็นผลถ้าได้ผลลัพธ์ของ จากตารางค่าความจริงเป็นสัจนิรันดร์หรือผลของ  เป็นจริงทุกกรณี ก็แสดงว่าสมเหตุสมผล แต่ถ้าผลลัพธ์จากตารางไม่เป็นสัจนิรันดร์ก็แสดงว่าไม่สมเหตุสมผลดังตัวอย่าง จากโจทย์ เหตุ: 1. ถ้าสมสุขไปเที่ยวต่างจังหวัดแล้วสมสุขไม่สบาย 2. สมสุขไม่สบาย ผล: สมสุขไปเที่ยวต่างจังหวัด

35. วิธีทำ 1. เปลี่ยนเหตุและผลให้อยู่ในรูปของสัญลักษณ์ดังนี้ ให้ p แทนสมสุขไปเที่ยวต่างจังหวัด q แทนสมสุขไม่สบาย เหตุ: 1. p q 2. q ผล: p 2. นำเหตุและผลในรูปของสัญลักษณ์มาตรวจสอบว่าเป็นสัจนิรันดร์หรือไม่โดยนำเหตุทุกข้อมาเชื่อมกันด้วย ( และ ) แล้วใส่วงเล็บใหญ่ทั้งหมดแล้ว implies ผลได้ ประพจน์สำหรับตรวจสอบเป็น [ ( p q ) q ]  p นำไปสร้างตารางค่าความจริง 3. หาค่าความจริงของประพจน์ [ ( p q ) q ] p ดังนี้ [ ( p q ) q ] p TTFF TFTT TFTF TFTF TFTF TTFT TTFF 4. การพิจารณาผลลัพธ์ที่ได้จากตารางค่าความจริงถ้าได้ผลเป็นสัจนิรันดร์แสดงว่าเหตุผลที่โจทย์ให้มานั้นสมเหตุสมผลแต่ถ้าไม่เป็นสัจนิรันดร์ก็ไม่สมเหตุสมผล ดังนั้นเหตุผลจากโจทย์ข้อนี้จึงไม่สมเหตุสมผลเพราะค่าความจริงที่ได้จากตารางไม่เป็นสัจนิรันดร์

36. ตัวอย่างที่ 5จงตรวจสอบความสมเหตุสมผลด้วยการใช้ตารางค่าความจริง เหตุ: 1. p q 2.  p ผล: q วิธีทำ[ ( p q )  p ] q TTFF TTTF TFTF FFTF FFTT T TFTF T T T ประพจน์[ ( p  q )  p ] q เป็นสัจนิรันดร์แสดงว่า สมเหตุสมผล

37. การตรวจสอบความสมเหตุสมผลโดยใช้แผนภาพการตรวจสอบความสมเหตุสมผลโดยใช้แผนภาพ การตรวจสอบความสมเหตุสมผลโดยใช้แผนภาพใช้รูปปิด เช่น รูปวงกลมวงรีหรือ รูปเหลี่ยมต่าง ๆแทนข้อความหรือประโยคหรือสัญลักษณ์ที่ทำหน้าที่เป็นประธานและภาคแสดงในแต่ละประโยคที่เป็นเหตุและผลจากนั้นจึงเขียนรูปปิดเหล่านั้นตามความสัมพันธ์ของเหตุที่กำหนดให้แล้วจึงพิจารณาความสมเหตุสมผลจากแผนภาพที่เขียนนั้น การใช้แผนภาพสำหรับการตรวจสอบความสมเหตุสมผลมีวิธีการดังนี้ 1. เปลี่ยนประพจน์ส่วนที่เป็นเหตุนั้นให้อยู่ในรูปของแผนภาพ 2. แสดงความสัมพันธ์ของเหตุแต่ละข้อซึ่งอาจเกิดได้รูปแบบเดียวหรือหลายรูปแบบก็ได้ 3. นำส่วนที่เป็นผลมาวิเคราะห์หาความสมเหตุสมผลโดยพิจารณาจากความสอดคล้องกันระหว่างเหตุกับผลของแผนภาพ 3.1 ถ้าผลไม่สอดคล้องกับแผนภาพรวมอย่างน้อย 1 รูปแบบสรุปได้ว่าการให้เหตุผลนั้นไม่สมเหตุสมผล • 3.2 ถ้าผลสอดคล้องกับแผนภาพรวมทุกรูปแบบก็สรุปได้ว่าการให้เหตุผลนั้นสมเหตุสมผล

38. ตัวอย่างที่ 6 จงตรวจสอบความสมเหตุสมผลของการให้เหตุผลโดยใช้แผนภาพ เหตุ : 1. นกทุกตัวเป็นสัตว์ปีก 2. สัตว์ปีกทุกตัวหายใจได้ ผล : นกทุกตัวหายใจได้ วิธีทำ จากเหตุ 1เขียนแผนภาพได้ดังนี้ สัตว์ปีก นก จากเหตุ 1 และ 2เขียนแผนภาพได้แบบเดียวดังนี้ หายใจได้ สัตว์ปีก นก จากแผนภาพพบว่าวงของนกทุกตัวอยู่ในวงของการหายใจได้แสดงให้เห็นว่านกทุกตัวหายใจได้ ซึ่งสอดคล้องกับผลดังนั้นการให้เหตุผลกรณีนี้จึงสมเหตุสมผล

39. ตัวอย่างที่ 7จงตรวจสอบความสมเหตุสมผลโดยใช้แผนภาพ เหตุ: 1. ครูทุกคนได้รับเงินเดือนน้อย 2. มนัสได้รับเงินเดือนน้อย ผล: มนัสเป็นครู วิธีทำ จากเหตุ 1เขียนแผนภาพได้ดังนี้ เงินเดือนน้อย ครู

40. จากเหตุ 1 และ 2เขียนแผนภาพได้หลายแบบดังนี้ให้แทนมนัสได้รับเงินเดือนน้อย แบบ 1 แบบ 2 เงินเดือนน้อย เงินเดือนน้อย ครู ครู แบบ 4 แบบ 3 เงินเดือนน้อย เงินเดือนน้อย ครู ครู จากแผนภาพจะเห็นว่าแบบที่ 1 แบบที่ 3 และแบบที่ 4 ไม่สอดคล้องกับผลที่ว่ามนัสเป็นครูดังนั้นการให้เหตุผลข้อนี้จึงไม่สมเหตุสมผล

41. ตัวอย่างที่ 8 จงตรวจสอบความสมเหตุสมผลโดยใช้แผนภาพ เหตุ: 1. นักกีฬาบางคนเป็นนักศึกษาเรียนดี 2. นักศึกษาโปรแกรมวิชาบัญชีทุกคนเรียนดี ผล: นักกีฬาบางคนเป็นนักศึกษาโปรแกรมวิชาบัญชี วิธีทำ จากเหตุ 1 เรียนดี นักกีฬา นำเหตุข้อ 1 และ 2 มาเขียนแผนภาพโดยให้แทนนักศึกษาโปรแกรมวิชาบัญชีทุกคนเรียนดี นักกีฬา เรียนดี นักกีฬา เรียนดี นักกีฬา เรียนดี แบบ 1 แบบ 2 แบบ 3 จะเห็นได้ว่าแผนภาพแบบ 1 ไม่สอดคล้องกับผลที่ว่านักกีฬาบางคนเป็นนักศึกษา โปรแกรมวิชาบัญชีดังนั้นการให้เหตุผลนี้จึงไม่สมเหตุสมผล

42. ตัวอย่างที่ 9จงตรวจสอบความสมเหตุสมผลโดยใช้แผนภาพ เหตุ: 1. สัตว์ปีกมี 2 ขา 2. แมลงมี 6 ขา 3. ไมค์ไม่เป็นทั้งสัตว์ปีกและแมลง ผล :ไมค์ไม่มีขา จากเหตุ 1 2 ขา สัตว์ปีก จากเหตุ 1 และ 2 6 ขา แมลง 2 ขา สัตว์ปีก จากเหตุ 1 , 2 และ 3ให้แทนไมค์ไม่เป็นทั้งสัตว์ปีกและแมลง

43. แบบ 1 แบบ 2 2 ขา 2 ขา 6 ขา สัตว์ปีก แมลง 6 ขา สัตว์ปีก แมลง แบบที่ 4 แบบ 3 2 ขา 2 ขา 6 ขา 6 ขา สัตว์ปีก สัตว์ปีก แมลง แมลง จากแผนภาพแบบ 1 , 2 , 3 และ 4 แสดงว่าไมค์สามารถอยู่ได้ทุกที่ยกเว้นในวงสัตว์ปีกและแมลงเท่านั้นที่ไมค์อยู่ไม่ได้ไมค์จึงอาจมี 2 ขาหรือ 4 ขาหรือกี่ขาก็ได้จึงไม่สอดคล้องกับผลที่ว่าไมค์ไม่มีขาดังนั้นการให้เหตุผลนี้ จึงไม่สมเหตุสมผล

44. การตรวจสอบความสมเหตุสมผลโดยใช้กฎการอ้างอิงการตรวจสอบความสมเหตุสมผลโดยใช้กฎการอ้างอิง การตรวจสอบความสมเหตุสมผลโดยใช้กฎการอ้างอิงเป็นการตรวจสอบโดยใช้การอ้างจากประโยคที่เป็นเหตุ โดยที่เหตุทุกข้อ คือสิ่งที่กำหนดให้ซึ่งต้องเป็นจริงเสมอและจะต้องพิสูจน์ให้เห็นจริงว่าผลเป็นจริงด้วยหรือไม่โดยใช้กฎพื้นฐานสำหรับอ้างอิงมาประกอบการพิสูจน์ถ้าพิสูจน์แล้วพบว่า ผลเป็นจริงเพียงอย่างเดียวก็แสดงว่า สมเหตุสมผลแต่ถ้าพบว่าผลเป็นเท็จ หรือเป็นได้ทั้งจริงและเท็จก็แสดงว่า ไม่สมเหตุสมผล

45. กฎพื้นฐานสำหรับการอ้างอิงความสมเหตุสมผลที่สำคัญ (ปิยรัตน์จาตุรันตบุตร ,2547) • Simplification2) Addition • เหตุ : p  q เหตุ : p • ผล : p ผล : p  q 3) Modus Ponens : Direct Reasoning 4) Modus Tollens:Indirect Reasoning เหตุ : 1. p  q เหตุ : 1. p q 2. p 2.  q ผล : q ผล :  p 5) Hypothetical Syllogism6 ) Disjunctive Syllogism เหตุ : 1. p  qเหตุ : 1. p q 2. q r 2. p ผล : p r ผล : q 7) Conjunction เหตุ : 1. p 2. q ผล : p  q

46. F T F ตัวอย่าง เหตุ 1) ~p ~q 2) q ผล p  T T ผล คือ p เป็นจริง แสดงว่าสมเหตุสมผล T F T ตัวอย่าง เหตุ 1) p ~q 2) ~p ผล ~q  T T ผล คือ ~q เป็นจริง แสดงว่าสมเหตุสมผล

47. T,F T T ตัวอย่าง เหตุ 1) p ~q 2) ~ q ผล p  T สรุปการสรุปว่าสมเหตุสมผลเป็นไปได้เพียงกรณีเดียว คือ เมื่อผลเป็นจริง (T) T,F แต่ถ้าผลเป็นเท็จ (F) หรือผลเป็นได้ทั้งจริงและเท็จ(T,F) แสดงว่า ไม่สมเหตุสมผล ผล ได้ทั้งจริงและเท็จแสดงว่าไม่สมเหตุสมผล F T T ตัวอย่าง เหตุ 1) p ~q 2) ~ p ผล q  T F ผล ผลเป็นเท็จแสดงว่าไม่สมเหตุสมผล

48. ตัวอย่างที่ 10 ตรวจสอบการให้เหตุผลต่อไปนี้โดยอาศัยกฎการอ้างอิง เหตุ : 1. (p q) (r  s) 2. (r  s) 3. p s ผล :s พิสูจน์ :1) (p q) (r s) จากเหตุ 1 2) (r  s)จากเหตุ 2 3) (p q) จากเหตุ 1,2และ Modus Tollens 4) p  qจาก 3 5) p จาก 4 และ Simplification 6) p s จากเหตุ 3 7) s จาก 6 และ Disjunctive Syllogism พิสูจน์ได้ว่าผล s เป็นจริงดังนั้นการให้เหตุผลนี้จึงสมเหตุสมผล

49. ตัวอย่างที่ 11จงตรวจสอบการให้เหตุผลต่อไปนี้โดยอาศัยกฎการอ้างอิง เหตุ : 1. p  q 2. p  r 3. q ผล :r F T F T T T T T พิสูจน์ :1) p q จากเหตุ 1 2) q จากเหตุ 3 3) p จาก 1 , 2 และ Modus Tollens 4) p  rจากเหตุ 2 5) r จาก 3 , 4 และ Modus Ponens พิสูจน์ได้ว่าผล r เป็นจริงดังนั้นการให้เหตุผลจึงสมเหตุสมผล

50. สรุป ประพจน์คือประโยคบอกเล่าหรือปฏิเสธที่มีค่าความจริงเป็นจริงหรือเท็จเพียงอย่างใดอย่างหนึ่งส่วนประโยคหรือข้อความอื่น ๆที่เป็นคำถามคำสั่งคำขอร้องคำอ้อนวอน คำอุทานจะไม่ใช่ประพจน์ ส่วนประโยคเปิดคือประโยคบอกเล่าหรือปฏิเสธที่มีตัวแปรหรือตัวไม่รู้ค่าอยู่ในประโยคทำให้สรุปไม่ได้ว่าประโยคนั้นเป็นจริงหรือเท็จแต่ถ้าระบุตัวแปรหรือตัวไม่รู้ค่าประโยคเปิดนั้นก็จะเปลี่ยนเป็นประพจน์ ประพจน์มี 2 ประเภทคือประพจน์เชิงเดี่ยวและประพจน์เชิงประกอบประพจน์เชิงเดี่ยวเป็นประพจน์ที่มีประธานและกริยาอย่างละตัวเดียวส่วนประพจน์เชิงประกอบเป็นประพจน์ที่เกิดจากการนำตัวเชื่อมและ , หรือ  ,ถ้า…แล้ว…  ,…ก็ต่อเมื่อ…  , นิเสธมาเชื่อมกับประพจน์เชิงเดี่ยวตั้งแต่ 2 ประพจน์ขึ้นไป