ボース・アインシュタイン凝縮体 (BEC) における粒子生成：　曲った時空上の場の量子論とのアナロジー

ボース・アインシュタイン凝縮体(BEC)における粒子生成：　曲った時空上の場の量子論とのアナロジーボース・アインシュタイン凝縮体(BEC)における粒子生成：　曲った時空上の場の量子論とのアナロジー栗田泰生（関学理工）小林未知数（東大理）石原秀樹（阪市理) 森成隆夫（京大基研）坪田誠（阪市理）共同研究者市大コロキウム　2008年5月23日

目次 • 曲がった時空上の場の量子論（粒子生成） • 時空のアナロジーとは何か？ • ボース・アインシュタイン凝縮体（BEC) • BECを用いたアナロジー • 実験による検証を目指して • まとめ

1. Introduction

研究背景 曲った時空上の場の量子論特徴：　時空がダイナミカルに変化 ⇒ 粒子生成 WMAPによるＣＭＢ例１・インフレーションなどの宇宙膨張　　　　⇒ 量子ゆらぎの生成例２・星の重力崩壊でブラックホール形成　　　　⇒　Hawking 輻射曲がった時空上の場の理論が検証されたことは一度もない。

Introduction Hawking 輻射 • 古典的にはブラックホールからは外へは何も出てこない。 • 量子論的には、熱輻射が出てくることがある。（Hawking 輻射） • 輻射の温度は、 (Hawking 温度) （　　はブラックホール表面での重力加速度）で与えられる。重力崩壊などのダイナミカルな過程で静的なブラックホールが形成されたとすると、そのブラックホールは熱的なスペクトルの輻射（Hawking 輻射）を放出します。

Introduction Hawking 温度 • 天文学的ブラックホールからの Hawking 輻射を見ることは絶望的典型的な Hawking 温度太陽質量ブラックホール質量実際に宇宙にあると考えられているブラックホールはもっと重い。 CMBの温度よりもずっと低い! 曲がった時空上の場の理論が検証されたことは一度もない。

Introduction アナロジー Unruh PRL (1981) • 曲った時空上の場は、流体上の励起場（音波）と似ている。 • 調べてみると、従う方程式も同様である。 • したがって、曲った時空上の場の理論の予言は、流体上の音波にも当てはまると期待される。　　　　⇒　流体を用いて、曲った時空上の場の量子論を検証しよう！

ブラックホール熱力学 Classical • 一般相対論を用いて調べると、ブラックホールは熱力学法則に類似した性質を持つ． (0): ブラックホールの表面重力加速度　　は、horizon上で一定． (1): (2): ブラックホールhorizonの面積は減少しない． • 曲った時空上の場の量子論　　　Hawking 輻射 Quantum : ブラックホールエントロピーブラックホールは熱的！

粒子生成について：１ スカラー場　　の運動方程式：時空の情報が必要方程式の解の中で Klein-Gordon 内積に関して正規直交となる関数系　　　　を用意する。 Klein-Gordon 内積：量子場をモード関数　　　で展開展開係数が生成・消滅演算子

粒子生成について：２ 初期の時空時空がダイナミカルに時間発展最終的な時空初期の真空状態：時間発展により時空計量は変化する一般に終状態での number op.の期待値はゼロではない。 ⇒ 解の自然な完全系も変わる。

粒子生成について：３ 終時刻での完全系で初期の完全系を展開： Bogoliubov coefficients 初期真空状態： Number op. このように終状態では粒子が生成される！

２．アナロジー

analogy 完全流体でのアナロジー Unruh PRL (1981) • 完全流体の式(渦なし)： • 摂動場が従う方程式：摂動場背景流体音速音波（摂動場）は、曲った時空上の波動方程式に従うと見ることができる。

analogy 流体を用いたアナロジー • 曲がった時空上の場は、流体上を伝わる励起場（音波）と類似． • 流体上の音波（励起）と時空上の場は同様の方程式に従う．時空（重力場）流体物質場（光など）励起場（音波など）流体上の音波は、曲がった時空上の場とみなせる。曲がった時空上の場の理論的効果は、流体上の励起場でも起こると期待される

analogy 超音速面がある場合 • 亜音速と超音速が共にあるような　　流れを考えます。 • 音波は、超音速面を超えて　　上流に伝わることが出来ません。 • この音波の因果構造は　　ブラックホールに似ています。 • このとき、超音速面は時空の意味での horizon に対応します。 Sonic horizon アナロジー時空計量 :

analogy Unruh (1981) Assumption for the state • 超音速面がある流体で、流体と共に超音速面に流れ落ちる観測者が場の状態を真空状態とみるような量子状態が実現したとすると、超音速面から熱輻射が放出される. • 期待される輻射の温度; 超低温! 系の典型的なスケール古典流体では観測不可能と思われる。 BECを考えよう！

３. Bose-Einstein 凝縮体（BEC）

BEC 冷却原子 Bose-Einstein 凝縮体 • 複数のボース粒子は同じ状態を占めることができる。 • 閉じ込めポテンシャルを用意して、束縛状態を作ると低温では多くのボース粒子が、基底状態に入る。　⇒　凝縮 • 1995年頃から、希ガス原子を冷却して凝縮体を実験的に作る技術が開発・進展し続けている。今では、百万個単位の原子を凝縮可能。また温度も 1nK以下まで到達できそう。 400nK, 200nK, 50nK

BEC Gross-Pitaevskii 方程式ボース粒子の消滅演算子ボース場を凝縮体部分とその他に分解：凝縮体のダイナミクスを記述する方程式： Trapping potential Atomic interaction とすると連続の式オイラー型の式ここで凝縮体の位相が速度ポテンシャル

BEC Gross-Pitaevskii 方程式ボース粒子の消滅演算子ボース場を凝縮体部分とその他に分解：凝縮体のダイナミクスを記述する方程式： Trapping potential Atomic interaction とすると連続の式オイラー型の式ここで凝縮体の位相が速度ポテンシャル凝縮が起こったとき、が満たされて、完全流体と同様になることがわかる。

BEC BEC上の励起場 • BEC上の励起場は、Bogoliubov-de Gennes (BdG) 方程式に従う． • BdG方程式：の解で完全性を満たす完全系で場を展開より凝縮体上に励起する場の量子論が構成される。

Bogoliubov準粒子のスペクトル • 凝縮体が定常なときに励起場のスペクトルを調べると、低エネルギー励起は、フォノン的！小さなスケールで分散関係が変更されるような理論になっている。 Bogoliubov 準粒子

4. Analogy in BEC

Analogy in BEC Bogoliubov準粒子の場の理論 • 流体上に生成・消滅する Bogoliubov 準粒子の場の理論を、　　曲った時空上のスカラー場の理論のように書き換えることができる。凝縮体波動関数： Gross-Pitaevskii 方程式励起場：場の再定義： Bogoliubov-de Gennes (BdG) 方程式流速：有効時空の計量音速：凝縮体の情報で決まっている！

Analogy in BEC Bogoliubov 準粒子の場の理論２ • 注目する場をBogoliubov 準粒子の生成消滅演算子を respect して展開このとき展開関数は、Klein-Gordon 内積に関して正規直交になる！の完全性と対応 Bogoliubov 準粒子は、曲った時空上の量子とみなすことが出来る。（生成・消滅演算子レベルで対応）

Analogy in BEC Bogoliubov 準粒子の場の理論２ • 「BEC上のフォノン」　～　「アナロジー時空上の量子」 • （生成消滅演算子を対応させることが出来る） • それぞれの理論がほぼ同じ． • (BdG方程式 ⇔ 曲った時空上の場の運動方程式) • 曲がった時空上QFTで知られている粒子生成の計算が可能 • 　　　　　（粒子生成が実際に起こると期待） • 注目する場をBogoliubov 準粒子の生成消滅演算子を respect して展開このとき展開関数は、Klein-Gordon 内積に関して正規直交になる！ Bogoliubov 準粒子は、曲った時空上の量子とみなすことが出来る。（生成・消滅演算子レベルで対応）

Analogy in BEC ＢＥＣでの粒子生成 • 注目する量子場を時間発展の前後で展開： • 相対論的な内積の下で完全系： Bogoliubov 変換 initial final

Analogy in BEC 最後のハミルトニアン対角化終状態 B-dGを解くと時間発展がわかる。 dynamical evolution 初期状態初期のハミルトニアン対角化終時刻で　　　と　　　の内積を計算　⇒　粒子生成ここで終時刻での Klein-Gordon 内積

５．実験による検証に向けて

我々の戦略 • 冷却原子ＢＥＣを膨張　　　⇒　超音速面(ホライズン)が形成． • 超音速面から熱的なスペクトルのフォノンが生成と予想． • この熱輻射を冷却原子ＢＥＣを用いて検証するという実験提案　　をしたい。 • 膨張BEC中で生成されるフォノンのスペクトルを求めよう！. Kurita, Morinari PRA 76 (2007) 053603

数値計算のセットアップ 簡単のため擬一次元系を考える (ディスク型BEC) (1)who = whoiにて定常状態を用意 (2) t = 0 において whof = 0.707 whoi としてBECを膨張・収縮シミュレーションパラメーター：87Rb原子気体BEC 物理量のユニット

Kurita, Morinari PRA 76 (2007) 053603 膨張BECでの超音速面の形成凝縮体の大きさ（１）振動数who = whoiの　　閉込めポテンシャルで　　定常状態を用意（２） t = 0 において whof = 0.707 whoi として BECを膨張・収縮超音速面の位置音速

粒子生成（数値計算結果） 初期状態には励起（フォノン）はなかった。時間発展後、フォノンが生成される preliminary の時プランク分布でフィットすると 1.4 nK の輻射

Hawking 温度 • Hawking輻射の温度（アナロジー時空での公式） BEC上フォノンにとっての有効計量の言葉では超音速面の位置アナロジー時空（凝縮体）が準静的な場合の近似式

粒子生成のスペクトル再び preliminary

粒子生成のスペクトル再び Hawking 温度と一致 preliminary

まとめ１ • 曲った時空の場の量子論の検証という目的で、流体を用いたアナロジーを考えることができる。 • 量子効果に興味がある場合、量子流体　⇒　ＢＥＣは有望 • ＢＥＣは実験技術的にも進歩が目覚しく、実際に実験できそう。（ＢＥＣ中のフォノンは観測できる！）

まとめ２ • ＢＥＣを膨張　⇒　超音速面(ホライズン)が形成． • 曲がった時空上QFTとのアナロジーにより準静的な　　超音速面から熱的な輻射が放出されると期待． • 「曲がった時空上の量子」と「Bogoliubov準粒子」の対応関係を明確に定式化．　　⇒ BdG方程式を解くことで粒子生成の計算が可能に. • 数値シミュレーションにより粒子生成を計算している段階 • 今のところ、プランク分布でフィットしたときの温度が、Hawking温度と一致している．研究の現状

今後 • 膨張ＢＥＣは、膨張宇宙のモデルにもなるので、膨張宇宙での粒子生成を議論できる。 • BECの言葉で、Hawking 輻射とはどのような現象であるのか？について基礎研究ができないか？（微視的な理論がわかっている。） • 関連したエントロピーの起源は？

数値計算法 数値計算法：空間：エリアジング完全除去の元でのチェビシェフ－ガラーキン法　　　　　（境界条件：ディリクレ境界条件）　　　時間：４次のルンゲ－クッタ法１次元シミュレーション：全格子点数：1024　　　空間刻み： Dx = 0.0625時間刻み： Dt = 1×10-8 チェビシェフ多項式波動関数の基底とし、２０４８個のチェビシェフ多項式で波動関数を展開する。そのうち１０２４個を実際の計算に用い、残り１０２４個をエリアジング除去に用いる。ハミルトニアンを対角化する際にも２０４８個の基底を用いる境界条件を満たすチェビシェフ多項式

analogy Case 1: 流速がない場合 • 部屋の空気を流体と　して考えましょう。）））音波（速度ポテンシャル）が従う式：計量（　　　）で表される時空上の波動方程式：sound velocity 2階対称テンソルアナロジー時空は平坦時空アナロジー時空計量

analogy Case 2: 流速がある場合 • 風（流速）がある状況を考えます。）））音波（速度ポテンシャル）が従う式：　　　　　　　　：horizon アナロジー時空計量

初期状態について preliminary • BEC をダイナミカルにするために　　系のハミルトニアンを少し変更した。 • 曲った時空上の場合、理論を　　変更しない。 • ところで膨張・収縮 BECの場合、系はほぼ周期的で一周期後の状態は　　ポテンシャルを変更する前の状態に　　非常に近い。 • 初期に用意した真空と一周期後の　　の状態はほぼ同じ。初期状態として一周期後の状態を選べば、真空に近い状態から出発して、理論を変えずに議論できる。

膨張・収縮するBEC 凝縮体の大きさ（１）振動数who = whoiの　　閉込めポテンシャルで　　定常状態を用意（２） t = 0 において、　　閉じ込めポテンシャルの　　振動数を whof = 0.707 whoi と変更

ボース・アインシュタイン凝縮体 (BEC) における粒子生成： 曲った時空上の場の量子論とのアナロジー