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ボース・アインシュタイン凝縮体 (BEC) における粒子生成:  曲った時空上の場の量子論とのアナロジー PowerPoint Presentation
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ボース・アインシュタイン凝縮体 (BEC) における粒子生成:  曲った時空上の場の量子論とのアナロジー

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ボース・アインシュタイン凝縮体 (BEC) における粒子生成:  曲った時空上の場の量子論とのアナロジー - PowerPoint PPT Presentation


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ボース・アインシュタイン凝縮体 (BEC) における粒子生成:  曲った時空上の場の量子論とのアナロジー. 栗田泰生(関学理工). 小林未知数(東大理) 石原秀樹(阪市理 ) 森成隆夫(京大基研) 坪田誠(阪市理). 共同研究者. 市大コロキウム  2008 年 5 月 23 日. 目次. 曲がった時空上の場の量子論(粒子生成) 時空のアナロジーとは何か? ボース・アインシュタイン凝縮体( BEC) BEC を用いたアナロジー 実験による検証を目指して まとめ. 1. Introduction. 研究背景. 曲った時空上の場の量子論.

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ボース・アインシュタイン凝縮体(BEC)における粒子生成: 曲った時空上の場の量子論とのアナロジーボース・アインシュタイン凝縮体(BEC)における粒子生成: 曲った時空上の場の量子論とのアナロジー

栗田泰生(関学理工)

小林未知数(東大理) 石原秀樹(阪市理)

森成隆夫(京大基研) 坪田誠(阪市理)

共同研究者

市大コロキウム 2008年5月23日

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目次
  • 曲がった時空上の場の量子論(粒子生成)
  • 時空のアナロジーとは何か?
  • ボース・アインシュタイン凝縮体(BEC)
  • BECを用いたアナロジー
  • 実験による検証を目指して
  • まとめ
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研究背景

曲った時空上の場の量子論

特徴: 時空がダイナミカルに変化 ⇒ 粒子生成

WMAPによるCMB

例1

・インフレーションなどの宇宙膨張

    ⇒ 量子ゆらぎの生成

例2

・星の重力崩壊でブラックホール形成

    ⇒ Hawking 輻射

曲がった時空上の場の理論が検証されたことは一度もない。

hawking

Introduction

Hawking 輻射
  • 古典的にはブラックホールからは外へは何も出てこない。
  • 量子論的には、熱輻射が出てくることがある。(Hawking 輻射)
  • 輻射の温度は、 (Hawking 温度)

(  はブラックホール表面での重力加速度)

で与えられる。

重力崩壊などのダイナミカルな過程で静的なブラックホールが形成されたとすると、

そのブラックホールは熱的なスペクトルの輻射(Hawking 輻射)を放出します。

hawking6

Introduction

Hawking 温度
  • 天文学的ブラックホールからの Hawking 輻射を見ることは絶望的

典型的な Hawking 温度

太陽質量

ブラックホール質量

実際に宇宙にあると考えられているブラックホールはもっと重い。

CMBの温度よりもずっと低い!

曲がった時空上の場の理論が検証されたことは一度もない。

slide7

Introduction

アナロジー

Unruh PRL (1981)

  • 曲った時空上の場は、流体上の励起場(音波)と似ている。
  • 調べてみると、従う方程式も同様である。
  • したがって、曲った時空上の場の理論の予言は、流体上の音波にも当てはまると期待される。

    ⇒ 流体を用いて、曲った時空上の場の量子論を検証しよう!

slide8
ブラックホール熱力学

Classical

  • 一般相対論を用いて調べると、ブラックホールは熱力学法則に類似した性質を持つ.

(0): ブラックホールの表面重力加速度  は、horizon上で一定.

(1):

(2): ブラックホールhorizonの面積 は減少しない.

  • 曲った時空上の場の量子論    Hawking 輻射

Quantum

: ブラックホールエントロピー

ブラックホールは熱的!

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粒子生成について:1

スカラー場  の運動方程式:

時空の情報が必要

方程式の解の中で

Klein-Gordon 内積に関して正規直交となる関数系    を用意する。

Klein-Gordon 内積:

量子場をモード関数   で展開

展開係数が生成・消滅演算子

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粒子生成について:2

初期の時空

時空がダイナミカルに時間発展

最終的な時空

初期の真空状態:

時間発展により時空計量は変化する

一般に終状態での number op.の期待値は

ゼロではない。

⇒ 解の自然な完全系も変わる。

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粒子生成について:3

終時刻での完全系で初期の完全系を展開:

Bogoliubov coefficients

初期真空状態:

Number op.

このように終状態では粒子が生成される!

slide13

analogy

完全流体でのアナロジー

Unruh PRL (1981)

  • 完全流体の式(渦なし):
  • 摂動場が従う方程式:

摂動場

背景流体

音速

音波(摂動場)は、曲った時空上の波動方程式に従うと見ることができる。

slide14

analogy

流体を用いたアナロジー
  • 曲がった時空上の場は、流体上を伝わる励起場(音波)と類似.
  • 流体上の音波(励起) と 時空上の場 は同様の方程式に従う.

時空(重力場)

流体

物質場(光など)

励起場(音波など)

流体上の音波は、曲がった時空上の場とみなせる。

曲がった時空上の場の理論的効果は、

流体上の励起場でも起こると期待される

slide15

analogy

超音速面がある場合
  • 亜音速と超音速が共にあるような

  流れを考えます。

  • 音波は、超音速面を超えて

  上流に伝わることが出来ません。

  • この音波の因果構造は

  ブラックホールに似ています。

  • このとき、超音速面は時空の意味での horizon に対応します。

Sonic horizon

アナロジー時空計量 :

unruh 1981

analogy

Unruh (1981)

Assumption for the state

  • 超音速面がある流体で、流体と共に超音速面に流れ落ちる観測者が場の状態を真空状態とみるような量子状態が実現したとすると、超音速面から熱輻射が放出される.
  • 期待される輻射の温度;

超低温!

系の典型的なスケール

古典流体では観測不可能

と思われる。

BECを考えよう!

bose einstein

BEC

冷却原子 Bose-Einstein 凝縮体
  • 複数のボース粒子は同じ状態を占めることができる。
  • 閉じ込めポテンシャルを用意して、束縛状態を作ると低温では多くのボース粒子が、基底状態に入る。 ⇒ 凝縮
  • 1995年頃から、希ガス原子を冷却して凝縮体を実験的に作る技術が開発・進展し続けている。

今では、百万個単位の原子を

凝縮可能。

また温度も 1nK以下まで

到達できそう。

400nK, 200nK, 50nK

gross pitaevskii

BEC

Gross-Pitaevskii 方程式

ボース粒子の

消滅演算子

ボース場を凝縮体部分とその他に分解:

凝縮体のダイナミクスを記述する方程式:

Trapping potential

Atomic interaction

とすると

連続の式

オイラー型の式

ここで

凝縮体の位相が速度ポテンシャル

gross pitaevskii20

BEC

Gross-Pitaevskii 方程式

ボース粒子の

消滅演算子

ボース場を凝縮体部分とその他に分解:

凝縮体のダイナミクスを記述する方程式:

Trapping potential

Atomic interaction

とすると

連続の式

オイラー型の式

ここで

凝縮体の位相が速度ポテンシャル

凝縮が起こったとき、

が満たされて、完全流体と同様になることがわかる。

slide21

BEC

BEC上の励起場
  • BEC上の励起場は、Bogoliubov-de Gennes (BdG) 方程式に従う.
  • BdG方程式:

の解で完全性

を満たす完全系で場を展開

より

凝縮体上に励起する場の量子論が構成される。

bogoliubov
Bogoliubov準粒子のスペクトル
  • 凝縮体が定常なときに励起場のスペクトルを調べると、

低エネルギー励起は、フォノン的!

小さなスケールで分散関係が変更

されるような理論になっている。

Bogoliubov 準粒子

bogoliubov24

Analogy in BEC

Bogoliubov準粒子の場の理論
  • 流体上に生成・消滅する Bogoliubov 準粒子の場の理論を、

  曲った時空上のスカラー場の理論のように書き換えることができる。

凝縮体波動関数:

Gross-Pitaevskii 方程式

励起場:

場の再定義:

Bogoliubov-de Gennes (BdG) 方程式

流速:

有効時空の計量

音速:

凝縮体の情報で決まっている!

bogoliubov25

Analogy in BEC

Bogoliubov 準粒子の場の理論2
  • 注目する場をBogoliubov 準粒子の生成消滅演算子を respect して展開

このとき展開関数は、Klein-Gordon 内積に関して正規直交になる!

の完全性と対応

Bogoliubov 準粒子は、曲った時空上の量子とみなすことが出来る。

(生成・消滅演算子レベルで対応)

bogoliubov26

Analogy in BEC

Bogoliubov 準粒子の場の理論2
  • 「BEC上のフォノン」 ~ 「アナロジー時空上の量子」
  • (生成消滅演算子を対応させることが出来る)
  • それぞれの理論がほぼ同じ.
  • (BdG方程式 ⇔ 曲った時空上の場の運動方程式)
  • 曲がった時空上QFTで知られている粒子生成の計算が可能
  •      (粒子生成が実際に起こると期待)
  • 注目する場をBogoliubov 準粒子の生成消滅演算子を respect して展開

このとき展開関数は、Klein-Gordon 内積に関して正規直交になる!

Bogoliubov 準粒子は、曲った時空上の量子とみなすことが出来る。

(生成・消滅演算子レベルで対応)

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Analogy in BEC

BECでの粒子生成
  • 注目する量子場を時間発展の前後で展開:
  • 相対論的な内積の下で完全系:

Bogoliubov 変換

initial

final

slide28

Analogy in BEC

最後のハミルトニアン対角化

終状態

B-dGを解くと時間発展がわかる。

dynamical evolution

初期状態

初期のハミルトニアン対角化

終時刻で   と   の内積を計算 ⇒ 粒子生成

ここで

終時刻での Klein-Gordon 内積

slide30
我々の戦略
  • 冷却原子BECを膨張  

  ⇒ 超音速面(ホライズン)が形成.

  • 超音速面から熱的なスペクトルのフォノンが生成と予想.
  • この熱輻射を冷却原子BECを用いて検証するという実験提案

  をしたい。

  • 膨張BEC中で生成されるフォノンのスペクトルを求めよう!.

Kurita, Morinari PRA 76 (2007) 053603

slide31
数値計算のセットアップ

簡単のため擬一次元系を考える

(ディスク型BEC)

(1)who = whoiにて定常状態を用意

(2) t = 0 において whof = 0.707 whoi としてBECを膨張・収縮

シミュレーションパラメーター:87Rb原子気体BEC

物理量のユニット

slide32

Kurita, Morinari PRA 76 (2007) 053603

膨張BECでの超音速面の形成

凝縮体の大きさ

(1)振動数who = whoiの

  閉込めポテンシャルで

  定常状態を用意

(2) t = 0 において

whof = 0.707 whoi として

BECを膨張・収縮

超音速面の位置

音速

slide33
粒子生成(数値計算結果)

初期状態には励起(フォノン)はなかった。

時間発展後、フォノンが生成される

preliminary

の時

プランク分布でフィットすると

1.4 nK の輻射

hawking34
Hawking 温度
  • Hawking輻射の温度(アナロジー時空での公式)

BEC上フォノンにとっての有効計量の言葉では

超音速面の位置

アナロジー時空(凝縮体)が準静的な場合の近似式

slide36
粒子生成のスペクトル再び

Hawking 温度と一致

preliminary

slide37
まとめ1
  • 曲った時空の場の量子論の検証という目的で、流体を用いたアナロジーを考えることができる。
  • 量子効果に興味がある場合、量子流体 ⇒ BECは有望
  • BECは実験技術的にも進歩が目覚しく、実際に実験できそう。(BEC中のフォノンは観測できる!)
slide38
まとめ2
  • BECを膨張 ⇒ 超音速面(ホライズン)が形成.
  • 曲がった時空上QFTとのアナロジーにより準静的な

   超音速面から熱的な輻射が放出されると期待.

  • 「曲がった時空上の量子」と「Bogoliubov準粒子」の対応関係を明確に定式化.

  ⇒ BdG方程式を解くことで粒子生成の計算が可能に.

  • 数値シミュレーションにより粒子生成を計算している段階
  • 今のところ、プランク分布でフィットしたときの温度が、Hawking温度と一致している.

研究の現状

slide39
今後
  • 膨張BECは、膨張宇宙のモデルにもなるので、膨張宇宙での粒子生成を議論できる。
  • BECの言葉で、Hawking 輻射とはどのような現象であるのか?について基礎研究ができないか? (微視的な理論がわかっている。)
  • 関連したエントロピーの起源は?
slide40
数値計算法

数値計算法:

空間:エリアジング完全除去の元でのチェビシェフ-ガラーキン法     (境界条件:ディリクレ境界条件)   時間:4次のルンゲ-クッタ法

1次元シミュレーション:

全格子点数:1024    空間刻み: Dx = 0.0625時間刻み: Dt = 1×10-8

チェビシェフ多項式波動関数の基底とし、2048個のチェビシェフ多項式で波動関数を展開する。そのうち1024個を実際の計算に用い、残り1024個をエリアジング除去に用いる。ハミルトニアンを対角化する際にも2048個の基底を用いる

境界条件を満たすチェビシェフ多項式

case 1

analogy

Case 1: 流速がない場合
  • 部屋の空気を流体と

 して考えましょう。

音波(速度ポテンシャル)が

従う式:

計量(   )で表される時空上の波動方程式

:sound velocity

2階対称テンソル

アナロジー時空は平坦時空

アナロジー時空計量

case 2

analogy

Case 2: 流速がある場合
  • 風(流速)がある状況を考えます。

音波(速度ポテンシャル)が従う式:

         :horizon

アナロジー時空計量

slide43
初期状態について

preliminary

  • BEC をダイナミカルにするために

  系のハミルトニアンを少し変更した。

  • 曲った時空上の場合、理論を

  変更しない。

  • ところで膨張・収縮 BECの場合、

系はほぼ周期的で一周期後の状態は

  ポテンシャルを変更する前の状態に

  非常に近い。

  • 初期に用意した真空と一周期後の

  の状態はほぼ同じ。

初期状態として一周期後の状態を選べば、

真空に近い状態から出発して、理論を変えずに議論できる。

slide44
膨張・収縮するBEC

凝縮体の大きさ

(1)振動数who = whoiの

  閉込めポテンシャルで

  定常状態を用意

(2) t = 0 において 、

  閉じ込めポテンシャルの

  振動数を

whof = 0.707 whoi

と変更