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§2. 3 反函数、复合函数的求导法则

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  1. §2. 3 反函数、复合函数的求导法则 一、反函数的导数 基本初等函数的导数公式小结 二、复合函数的求导法则 三、求导法则小结 首页 上页 返回 下页 结束 

  2. 一、反函数的导数 如果函数x=j(y)在某区间Iy内单调、可导且j(y)0,那么它的反函数y=f(x)在对应区间Ix内也可导,并且 简要证明: 因为y=f(x)连续,所发当Dx0时,Dy0。 下页

  3. 一、反函数的导数 如果函数x=j(y)在某区间Iy内单调、可导且j(y)0,那么它的反函数y=f(x)在对应区间Ix内也可导,并且 例1.求(arcsin x)及(arccos x)。 解: 因为y=arcsin x是x=sin y的反函数,所以 下页

  4. 一、反函数的导数 如果函数x=j(y)在某区间Iy内单调、可导且j(y)0,那么它的反函数y=f(x)在对应区间Ix内也可导,并且 例2.求(arctan x)及(arccot x)。 解: 因为y=arctan x是x=tan y的反函数,所以 下页

  5. 基本初等函数的导数公式小结: (1) (C)=0, (2) (xm)=mxm-1, (3) (sin x)=cos x, (4) (cos x)=-sin x, (5) (tan x)=sec2x, (6) (cot x)=-csc2x, (7) (sec x)=sec x tan x, (8) (csc x)=-csc x cot x, (9) (ax)=axln a , (10) (ex)=ex, 上页

  6. 二、复合函数的求导法则 如果u=j(x)在点x0可导,函数y=f(u)在点u0=j(x0)可导,则复合函数y=f[j(x)]在点x 0可导,且其导数为 简要证明: 假定u=j(x)在x0的某邻域内不等于常数,则Du0,此时有 =f(u 0)j(x 0)。 下页

  7. 二、复合函数的求导法则 如果u=j(x)在点x0可导,函数y=f(u)在点u0=j(x0)可导,则复合函数y=f[j(x)]在点x 0可导,且其导数为 如果 u=j(x)在开区间 Ix内可导,y=f(u)在开区间 Iu内可导,且当xIx时,对应的uIu,那么复合函数y=f[j(x)]在区间Ix内可导,且下式成立: 下页

  8. 复合函数的求导法则: 解:函数y=lntan x是由y=ln u,u=tan x复合而成, 下页

  9. 复合函数的求导法则: 下页

  10. 复合函数的求导法则: 下页

  11. 复合函数的求导法则: 对复合函数求导法则比较熟练以后,就不必再写出中间变量。 下页

  12. 复合函数的求导法则: 下页

  13. 复合函数的求导法则: 复合函数求导法则可以推广到多个函数的复合。 下页

  14. 复合函数的求导法则: 下页

  15. 复合函数的求导法则: 解:y=(sin nx) sinnx + sin nx (sinnx) =ncos nxsinnx+sin nxn sinn-1x(sin x ) =ncos nxsinnx+n sinn-1x cos x =n sinn-1x sin(n+1)x。 上页

  16. 三、求导法则小结 函数的和、差、积、商的求导法则: (1) (uv)=uv, (2) (Cu)=Cu (C是常数), (3) (uv)=uv+uv, 反函数求导法: 复合函数的求导法则: 结束