离散数学

1. 离散数学 武夷学院数学与计算机系教授 张廷枋 14

2. 第六章 几种典型的代数系统 6.3 交换群、循环群与置换群 一、交换群 1. 定义：如果群 中的运 算 是可交换的，则称该群为交换 群，或称为阿贝尔（Abel）群。 例：

3. 第六章 几种典型的代数系统 6.3 交换群、循环群与置换群 一、交换群 2. 定理：设 是一个群，则 是交换群的充分必要条件是：对 ，有 证明：

4. 第六章 几种典型的代数系统 6.3 交换群、循环群与置换群 二、循环群 1. 定义：设 是一个群， 若 中存在一个元素 ，使得 中任意元素都是 的幂，即对 都有整数 n 使 ，则称 为循环群，元素 称为循环群 的生成元。 例：

5. 第六章 几种典型的代数系统 6.3 交换群、循环群与置换群 二、循环群 2. 定理：任何一个循环群都是 交换群。 证明：

6. 第六章 几种典型的代数系统 6.3 交换群、循环群与置换群 二、循环群 3. 定理：设 是由一个元素 生成的有限循环群，如果 则 ，且 其中 是 的幺元。 证明：

7. 第六章 几种典型的代数系统 6.3 交换群、循环群与置换群 三、置换群 1. 定义：设 是一个非空有限集合， 从 到 的一个双射称为 的一个置换。 例：置换的表示 2. 置换的乘法与逆置换： 置换的乘法运算 就是映射的合成。 例：

8. 第六章 几种典型的代数系统 6.3 交换群、循环群与置换群 三、置换群 对于一个具有 n 个元素的集合 ，将 上所有 个不同的置换所组成的集合记 为 。 因为置换是 上的双射变换，所以它 们都有逆变换，并且也是置换，置换 的逆 置换记为 。 例：

9. 第六章 几种典型的代数系统 6.3 交换群、循环群与置换群 三、置换群 3. 定理： 是一个群，称为 n 次对 称群，其中 是置换的复合运算。 证明： 4. 置换群 定义： 的任何一个子群称为集 合 上的一个置换群。 例：

10. 第六章 几种典型的代数系统 6.3 交换群、循环群与置换群 三、置换群 5. 置换的轮换分解 （1）轮换的定义：设 为 n 元置换， ， 称为 m 阶轮换，记为 ， 的映射关系是 而其它的元素 都有 。 例：

11. 第六章 几种典型的代数系统 6.3 交换群、循环群与置换群 三、置换群 5. 置换的轮换分解 （2）不相交轮换的定义： 设 的两个轮换 称为不相交的，如果 和 都不相同。

12. 第六章 几种典型的代数系统 6.3 交换群、循环群与置换群 三、置换群 5. 置换的轮换分解 （3）定理：设 和 是不相交的轮换， 则其乘法满足交换律，即有 。 （4）定理：任一个 n 元置换 可唯一地分 解成不相交轮换的乘积。 例：

13. 第六章 几种典型的代数系统 6.3 交换群、循环群与置换群 三、置换群 6. 置换的对换分解 （1）定义：设 是一轮换， 则称 为该轮换的长度。特别地，长度为 2 的轮换称为对换。 任一个轮换都可以写成 个对换的乘积：

14. 第六章 几种典型的代数系统 6.3 交换群、循环群与置换群 三、置换群 6. 置换的对换分解 （2）推论：任一个置换都可以分解成（但 未必是唯一分解成）一些对换的乘积。 证明：

15. 第六章 几种典型的代数系统 6.3 交换群、循环群与置换群 三、置换群 6. 置换的对换分解 （3）奇置换与偶置换： ① 定义：设 n 元置换 表为 个不相交 轮换的乘积（计 时包刮长度为 1 的轮换在 内）。如果 为奇数，则称 为奇置换； 如果 为偶数，则称 为偶置换。 例：

16. 第六章 几种典型的代数系统 6.3 交换群、循环群与置换群 三、置换群 6. 置换的对换分解 （3）奇置换与偶置换： ② 定理：每个置换都能分解为对换的乘 积，但奇置换只能分解为奇数个对换的乘积， 偶置换只能分解为偶数个对换的乘积。

17. 第六章 几种典型的代数系统 6.3 交换群、循环群与置换群 三、置换群 6. 置换的对换分解 （3）奇置换与偶置换： ③ 定理：设 的元数为 n （n>1）， 则奇置换的个数与偶置换的个数相等，都 等于 。 例：

18. 第六章 几种典型的代数系统 作业：P152, 习题六 6.11、6.12 • 预习：第6章 §6.4 §6.5

19. 谢谢！Thank you!