최단거리와 페르마의 점 탐구

최단거리와 페르마의 점 탐구 2013. 9. 5 영덕중학교 부설 영재학급

목 차 Ⅰ. 탐구 목적 Ⅱ. 이론 탐구 Ⅱ-1. 페르마의 점이란? Ⅱ-2. 페르마의 점 증명 Ⅱ-3. 비누막의 표면장력의 성질 Ⅲ. 실험 탐구 Ⅲ-1. [실험1] 평면도형 실험 Ⅲ-2. [실험2] 입체도형 실험 Ⅳ. 결론 Ⅴ. 탐구 후 아쉬운 점 Ⅵ. 참고문헌 - 1 -

Ⅰ. 탐구 목적 최단거리 문제는 우리 생활에 밀접한 관계를 가지고 있다. 여러 도시를 잇는 도로망이나 통신망의 설계에는 각 도시를 잇는 최단거리를 찾는 문제가 중요하다. 또한 석유를 한군데로 모으는 석유 파이프라인의 설계 시에도 이 비용을 최소화하기 위해 최단거리를 찾는 것이 필요하다. 평면 및 입체 다각형에서 거리의 합이 최소인 점을 찾는 것은 프랑스의 수학자 페르마(1601~1665)에 의해 제시되었다. 삼각형의 꼭지점을 최단거리로 연결하는 점을 페르마의 이름을 따서 페르마의 점(Fermat Point)이라고 불리며, 이 문제는 여러 수학자들의 지속적인 노력으로 해결되고 있다. 본 탐구에서는 페르마의 점의 증명과정을 이해하고 비누막실험을 통해 이론적 최단거리를 확인하고자 한다. 또한 비누막 실험과 수학용 프로그램인 GeoGebra를 이용하여여러 가지 도형에 따른 페르마의 점의 성질을 탐구하고자 한다. - 2 -

Ⅱ. 이론 탐구 Ⅱ-1. 페르마의 점이란? ▶ 페르마의 점이란 삼각형의 내부의 한 점에서 세 꼭지점에 이르는 거리의 합이 최소가 되는 삼각형의 내부의 한 점을 말한다. 이러한 페르마의 점은삼각형 외에도 여러 도형에서도 찾을 수 있다. ▶ 페르마의 점 그리기 (<그림1> 참조) 삼각형ABC의 세 변 위에 각각 정삼각형을 그렸을 때, 세 정삼각형의 외접 원의 교점G가페르마의 점이다. 삼각형의 세 꼭지점과 페르마의 점을 잇 는 세 선분이 이루는 각의 크기는 모두 120° 이다. 페르마의 점 <그림1> 페르마의 점 그리기 ▶ <그림2>과 <그림3>은 페르마의 점을 이용하여 최단거리 문제를 해결한 것이다. 각 점마다의 거리가 1이라고 가 정했을 때 각 점을 연결하는 최단거리는 (c)의 경우이다. 각 그림의 (c)에서 연결점이 페르마의 점이고 연결선분이 이루는 각은 모두 120°이다. <그림2> 세 점을 잇는 최단거리 <그림3> 네 점을 잇는 최단거리 - 3 -

Ⅱ-2. 페르마의 점 증명 (1) 삼각형에서의 페르마의 점 증명 [가설] <그림4>에서 A, B, C 세 점까지의 거리의 합이 최소인 페르마의점D가 존재하며, 이때 △ABC의 각 꼭지점과 연결되는 세 직선은 120˚를 이룬다. D [증명] ① <그림5>의 (a)에서 △ABC 내부에 임의의 점D를 잡는다. ② △ABD를 점B를 중심으로 반시계 방향으로 60˚회전 시킨다. ③ 선분 DB = DB, ∠PBD’= 60˚이므로 △DBD’는 정삼각형이다. ④ 선분 DA + DB + DC = DA + DD + DC 이고 최소가 되려면 C, D, D, A´가 일직선에 있어야 한다. 따라서 선분AC가 선분 DA + DB + DC 의 최솟값이다. ⑤ 이때 ∠BDC=120˚이고 ∠ADB = ∠ADB = 120˚이다. <그림4> 삼각형에서의 페르마의 점 60˚ (a) (b) <그림5> 삼각형에서의페르마의 점 증명 - 4 -

(2) 사각형에서의 페르마의 점 증명 [가설] 사각형의 네 꼭지점을 연결하는 할 때 최단거리가 되도록 하는 2개의 연결점이 존재한다. [증명] 60˚ <그림6> 사각형에서의페르마의 점 증명 60˚ <그림6>과 같이 사각형 ABCD의 내부에 임의의 두 점 E, F를 잡아 각 꼭지점과 연결시킨다. 이 때, AE + BE + EF + CF + DF의 최소값을 찾기 위해 △ABE, △CDF를 60° 회전이동 시키면 AE = A'E' (∵ △ABE ≡ △A'BE') CF = C'F' (∵ △CDF ≡ △C'DF') BE = EE' , DF = FF' (∵ 정삼각형) 따라서 AE + BE + EF + CF + DF = A'E' + EE' + EF + FF' + C'F' ≥ A'C' 그러므로, A'C‘가 가장 짧은 거리이다. - 5 -

Ⅱ-3. 비누막의 표면장력의 성질 ▶ 비누막 실험의 필요성 Ⅱ-1과 Ⅱ-2의 페르마의 점의 성질을 일반화해서 n각형의 꼭지점 위치에 있는 n개의 점을 연결하는 총 거리를 최단거 리로 연결하는 문제를 수식으로 계산하려면 매우 어렵고 복잡해진다. 그러나 비누막의 표면장력의 성질을 이용하면 쉽게 해결할 수 있다. 표면장력이란 액체의 표면이 가능한 한 넓이를 줄이려고 분자끼리 서러 잡아당기는 힘이다. ▶ 표면장력의 원리 액체를 구성하는 분자는 서로 끌어당기는 인력이 있다. 만약 인력이 없다면 액체는 유한한 크기를 가질 수 없다. 반대로 분자 사이의 거리가 특정 거리보다 작아지면 분자 사이에 반발력이 작용한다. <그림7>에서 A지점의 유체 분자는 인력과 척력이 평형상태에 있기 때문에 작용하는 알짜 분자력이0이다. 그러나 B지 점, 즉 표면에 있는 유체 분자에는 유체 내부로 향하는 방향으로 인력이 작용하지만 표면에서 바깥 방향으로 균형을 이룰 인력이 없다. 따라서 유체 내부로 향하는 알짜 분자력이 존재한다. 이렇게 내부로 향하는 분자력은 액체 표면을 팽팽히 잡아당긴다. 예를 들어, 거미줄에 매달려 있는 물방울의 모습, 작은 동전이나 소금쟁이가 물 위에 떠다니는 모습, 풀잎 위의 빗방울이 퍼지지 않고 굴러가는 모습을 보면 액체의 표 면은 팽팽히 잡아당겨진 막의 특성을 나타낸다. <그림7> 액체의표면장력 - 6 -

Ⅲ. 실험 탐구 Ⅲ-1. [실험1] 평면도형 실험 Ⅲ-1 -1. 실험방법 및 준비 평명 다각형의 페르마의 점에 대해 비누막 실험 결과와 GeoGebra로 작도 한 결과를 비교해 본다. (1) 준비물 [비누막 실험] - 투명 정육각형 아크릴판 : 2개 - 원형 자석 : 20개 - 자, 칼 - 비눗물 : 깨끗한 물 + 주방용 세제 + 물엿 - 수조, 스펀지(거품 제거용), 고무장갑 [GeoGbra작도] - GeoGbra소프트웨어 (2) 실험방법 ① 비눗물을 큰 수조에 붓는다. ② 원형자석으로 두 개의 아크릴판 사이에 공간이 생기면서 겹치도록 고정한다. 이때원형자석이 정삼각형, 정사각형 등과 같은 도형의 꼭짓점을 이루도록 배치시킨다. ③ 비눗물에 완전히 담근 후 수평상태를 유지한 상태에서 비눗물에서 꺼낸다. ④ 비눗물이 흘러내리면 원형자석들을 잇는 비누막이 형성된다. 이때 자석들 사이에 생기는 선분과 교점을 관찰하고 GeoGebra로 작도한 결과와 비교해 본다. ⑤ 정삼각형, 정사각형, 정오각형순으로만들어 실험해본다. <그림8> 평면도형 실험 준비물 - 7 -

Ⅲ-1 -2. 삼각형 비누막실험과 GeoGbra 작도 비누막 실험 ▶ 실험 과정 - 원형자석간의 거리가 10cm 인 정삼각형의 꼭지점으로 배열하여 실험함. ▶ 실험 결과 - 세 자석을 잇는 비누막과 세 비누막의 연결점이 나타남. 이 점이 세 꼭지점을 잇는 최단거리가 되게 하는 페르마의 점임을 알 수 있다. - 실제 길이 측정 결과 예상 거리 : (a)+(b)+(c) 측정 거리 : (a)+(b)+(c) X 10 (a) 120˚ 약5.5+약5.5+약5.4 = 약 16.4 (cm) 10cm = 약 17.3 (cm) (c) (b) (c) (a) (b) 페르마의 점 <그림9> 삼각형 비누막 실험 결과 <그림10> 실제 최단거리 측정 - 8 -

(2)삼각형의 페르마의 점 GeoGebra작도 (a)세 내각 < 120˚인 경우 ▶ 세 내각 모두가 120˚보다 작을 경우페르마의점은 삼각형 내 부에 위치하며페르마의점과 꼭지점을 잇는 선분들이 이루는 각은 120°이다. 페르마의 점 (b)한 내각 = 120˚인 경우 ▶ 삼각형의 한 각이 120°인 경우 페르마의 점은 그 각의 꼭지점에 위 치한다. 페르마의 점 (c)한 내각 > 120˚인 경우 ▶ 삼각형의 한 각이 120°보다 큰 경우 페르마의 점은 삼각형 외부에 놓인다. 페르마의 점 <그림11> 삼각형에서 페르마의 점 작도 - 9 -

Ⅲ-1-3. 사각형 비누막실험과 GeoGebra작도 비누막 실험 ▶ 실험 과정 - 원형자석을 사각형의 꼭지점으로 배열하여 실험함. ▶ 실험 결과 - 4개의 꼭지점을 잇는 비누막과페르마의 점이 2개 나타남. <그림12> 사각형 비누막 실험 결과 페르마의 점 (2)사각형의 페르마의 점 GeoGebra작도 페르마의 점 페르마의 점 <그림13> 사각형에서 페르마의 점 작도 - 10 -

Ⅲ-1-4. 오각형에서 페르마의 점GeoGebra작도 Ⅲ-1-5. 육각형에서 페르마의 점GeoGebra작도 ▶ 페르마의 점이 3개 생긴다. ▶ 페르마의 점이 4개 생긴다. 페르마의 점 페르마의 점 페르마의 점 <그림14> 오각형에서 페르마의 점 작도 <그림15> 육각형에서 페르마의 점 작도 Ⅲ-1-6. 평면도형 탐구 결과 다각형의 종류 삼각형 사각형 오각형 육각형 발생된페르마의 점 개수 1 2 3 4 분석 방법 비누막 실험 및 Geogebra작도 비누막 실험 및 Geogebra작도 Geogebra작도 Geogebra작도 육각형까지 페르마의 점을 구해 본 결과, n각형에서 페르마의 점은 n-2개 발생함을 알 수 있었다. - 11 -

Ⅲ-2. [실험2] 입체도형 실험 Ⅲ-2-1. 실험방법 및 준비 (1) 준비물 - 가는 나무막대(산적꽂이) - 고무찰흙 - 비눗물 : 깨끗한 물 + 주방용 세제 + 물엿 - 수조, 스펀지(거품 제거용), 고무장갑 (2) 실험방법 ① 나무막대와 고무찰흙으로 다양한 입체도형을 만든다. <그림16> 입체도형 비누막 실험 준비물 <그림17> 정사면체 <그림18> 정육면체 <그림19> 정팔면체 ② 비눗물을 큰 수조에 붓는다. ③ 입체도형을 비눗물에 완전히 담근 후 수평상태를 유지한 상태에서 비눗물에서 꺼낸다. ④ 비눗물이 흘러내리면 꼭지점과 모서리를 잇는 비누막이 형성된다. 이때 생기는 비누막 선분과 교점을 관찰한다. <그림20> 비눗물에 입체도형 담그기 - 12 -

Ⅲ-2-2. 입체도형 실험결과 <그림21> 정사면체 실험결과 <그림22> 정육면체 실험결과 <그림23> 정팔면체 실험결과 109˚ 페르마의 점 정육면체의 경우처럼 가운데에 정사각형 모양이 형성된다. (각측정은 구조가 너무 복잡하고 다양한 각이 나오므로 측정 생략함.) 가운데에 페르마의 점이 1개 생기며, 페르마의점을 중심으로 하는 각의 크기는 109˚로 측정된다. 가운데에 정사각형이 생기면서 페르마의 점은 4개가 형성된다. 페르마점과꼭짓점을 이은 선분들이 이루는 각도는 109˚로 측정된다. 정사각형 109˚ ▶ 평면도형에서 120˚이상의 각이 있을 때 도형 내부에 페르마의 점이 생성되지 않는 것처럼 입체도형에서도 한 내각이 일정각도를 넘어서면 페르마의 점이 없어지는 경향이 추정된다. - 13 -

Ⅳ. 결론 삼각형의 꼭지점의 최단거리는 페르마의 점 이론에 의한 값(17.3cm)과 비누막 실험의 측정값(16.4cm)으로 거의 일치한다.(5%의 차이는 실험 및 측정 오차라고 판단 됨.) (2) 삼각형의 모든 각이 120˚이하 일 때는 페르마의 점이 내부에 생기고, 한 각이 120˚ 이상 일 때는 그 꼭지점 또는 외부에 생긴다. (3) 육각형까지 페르마의 점을 구해 본 결과, n각형에서 페르마의 점은 n-2개 발생한 다. (4) 평면도형에서 페르마의 점이 생기게하는비누막의 안정된 각도가 120˚임을 확인 할 수 있었고,입체도형에서는 비누막의 안정된 각도는 109˚로 추정된다. - 14 -

Ⅴ. 탐구 후 아쉬운 점 ▶ 오각형 이상의 비누막 실험에서 거품 때문에 페르마의 점이 잘 나타나지 않아 GeoGebra로 구해야 했다. 원형 자석의 자력이나 접착제의 접착력이 약해 꼭지점에서 두 아크릴 판 고정이 완전히 안되어나타나는 현상인 것 같다. 제대로 실험이 진행되었다면 n각형의 페르마의 점이 n-2가 되는 이론을 비누막 실험으로도 확인할 수 있었을텐데 아쉽다. 다음 탐구에선 나사와 너트 같은 것으로 완전 고정해야 할 것 같다. <그림24> 오각형 비누막 실험에서의 거품 문제 ▶ 입체도형의 경우비누막 실험에서 나타나는 연결점이 표면장력의 성질로 보아 최단거리 연결점 즉 페르마의 점임을 알 수 있었다. 그러나 이론적 즉 수학적 이론으로 이를 해석하고 증명하기 위해서는 공부를 더 해야겠다는 생각이 들었다. - 15 -

Ⅵ. 참고문헌 ◎ 교사 김영관의 홈페이지(http://user.chollian.net/~badang25/index.htm) ◎ 앗, 이런 곳에도 수학이!, 아키야마 진 외 1인,다산북스,2013년 - 16 -

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