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数学在欧洲的复兴. 一、走出中世纪 . 在 6 世纪至 11 世纪之间的四五百年里，西方世界处在中世纪阴影之中。一位阿拉伯地理学家曾描写到： 那些人身材高大，性格粗暴，举止粗鲁，智力低下， …… 生活在最北方的人们特别的愚笨、粗鲁和野蛮。（罗伯特 .E. 勒纳等 《 西方文明史 》I ，第 266 页）
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一、走出中世纪 在6世纪至11世纪之间的四五百年里，西方世界处在中世纪阴影之中。一位阿拉伯地理学家曾描写到： 那些人身材高大，性格粗暴，举止粗鲁，智力低下，……生活在最北方的人们特别的愚笨、粗鲁和野蛮。（罗伯特.E.勒纳等《西方文明史》I，第266页） 这就是中世纪早期西欧文明的真实写照。但是在经历漫长的等待后，大约在公元1300年左右，西欧突然一跃而起成为强大的力量，其政治、经济、文化的繁荣只有遥远的中国能与其相称。历史学家把大约从1050年到1300年的这一时期称为中世纪盛期，这是西欧第一次从落后状态变成世界上强大力量的时期。
中世纪全盛时期在知识方面取得了四项相互联系但又各不相同的重要成就，它们是：中世纪全盛时期在知识方面取得了四项相互联系但又各不相同的重要成就，它们是： （1）基础教育和扫盲的发展； （2）大学的诞生和发展； （3）获得古典希腊和伊斯兰的知识； （4）西方人在思想上的进步。 它们中的任何一个在西方学术史上都具有重要意义，而当它们合在一起，就标志西方知识重占优势的时代开始了。 --这四项成就与数学有着密切的关系！
教会学校的知识结构 “智慧女神”一手持着字母表引导孩子走向“学术塔”，另一手在用钥匙打开“学术塔”的大门。“学术塔”的底层是基本的课程，向上的第一层的三个窗口上分别写着“逻辑”、“修辞”和“文法”；再上一层的三个窗口上分别写着“音乐”、“几何”和“天文”，其三个代表人物依次是毕达哥拉斯、欧几里得和托勒密；塔顶上端坐主教模样的人，左右两侧分别写着“神学”与“形而上学”。
“我们不应该轻视数学，在《圣经》的许多篇章中都可以发现数学的存在，它对那位细致的解释者具有显著的帮助，如果没有道理，也不会用数学来赞美上帝：您用数字、大小和重量安排了世间万物。”“我们不应该轻视数学，在《圣经》的许多篇章中都可以发现数学的存在，它对那位细致的解释者具有显著的帮助，如果没有道理，也不会用数学来赞美上帝：您用数字、大小和重量安排了世间万物。” 圣·奥古斯丁
“1与2之比无疑是从数目3而起，因为1+2=3。但这三者全加起来等于6；这个数目被称为完美的数目，因为它由它的部分，即由它的三个部分组成，其中一个是它的1/6，一个是它的1/3，一个是它的1/2；除此之外再也没有别的可构成它的分数的部分了。……《圣经》向我们显示了它的完美，宣告上帝是在6天内完成创造，并在第6天照着自己的形象造了人。”“1与2之比无疑是从数目3而起，因为1+2=3。但这三者全加起来等于6；这个数目被称为完美的数目，因为它由它的部分，即由它的三个部分组成，其中一个是它的1/6，一个是它的1/3，一个是它的1/2；除此之外再也没有别的可构成它的分数的部分了。……《圣经》向我们显示了它的完美，宣告上帝是在6天内完成创造，并在第6天照着自己的形象造了人。” 圣·奥古斯丁：《论三位一体》 （399-420AD） 第2章
图中表示算术的女神手持算板端坐中间, 表明数学在四科、三文中的重要地位。
1、斐波那契：欧洲数学的新起点 斐波那契（约1170～1250），生于比萨。父亲为商人，曾任海关总督。他随父亲到北非，幼年受教于伊斯兰学校。后来在地中海沿岸旅行，留心各国数学。经过观察、比较，他认为阿拉伯的记数法及其算术很好，于是著述介绍阿拉伯、印度的数学，先后写成 《计算之书》（Liber Abaci） 1202年 《几何实践》（Practica Geometriae） 《平方数书》(Liber Quadratorum) 《花朵》(Flos)
……那些对来自印度的九个数字的精妙解说，令我如此着迷，远远胜过别的任何东西。我向所有精于这方面学识的先生们学习，学习他们各种各样的方法，他们来自埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗斯旺。为了更深入地学习，我后来在这些商贸地区四处周游，在相互辨难中所获甚丰。……那些对来自印度的九个数字的精妙解说，令我如此着迷，远远胜过别的任何东西。我向所有精于这方面学识的先生们学习，学习他们各种各样的方法，他们来自埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗斯旺。为了更深入地学习，我后来在这些商贸地区四处周游，在相互辨难中所获甚丰。 总的来说，对照着印度的方法，我纠正了旧式运算法则，甚至是毕达哥拉斯的数字分节中的大量错误。于是，准确地引入印度方法，专注于对它的研究，间或加入自己的阐述，当然更多的是来自精妙的欧几里得几何体系，尽可能把我的理解融入其中，终究汇成这部十五章的书稿，其中几乎我所加入的每一部分都给出了证明。因此，这些方法远远胜过其它。应该给那些渴望学习的人讲授这门学科，这对拉丁世界的人们来说尤其重要，因为到目前为止他们对算术尚不甚了了。 斐波那契《计算之书》自序
笨拙的罗马数字 I II III IV V VI VII VIII IX X XX XXX XL L(50) LX LXX LXXX XC C(100) CC CCC CD D(500) DC DCC DCCC CM M(1000) M DCC LX IV + CM VIII ？
“计算比赛” 左侧身着时髦为波依休斯（Boethius），使用阿拉伯数码进行计算；左侧装束老派为毕达哥拉斯，使用罗马串珠算盘。显然，新式的阿拉伯算术赢得了胜利。
Allegory of Arithmetic Hieronymous Kock or Cock (1510-1570)，Antwerp
“算术的寓意”（Allegory of Arithmetics）,法国画家Laurent de La Hyre绘于1650年，画中的女士在用阿拉伯数字进行加减和乘法运算。演算板的顶端写有PYTHGROS(毕达哥拉斯)。
第一章印度记数法 • 第二章整数的乘法 • 第三章 论整数的加 • 第四章大数减小数的减法 • 第五章整数的除法 • 第六章整数与分数的乘法 • 第七章带分数的加法、减法和除法，以及将部分分数化为单位分数 • 第八章“三率法”求解商品的价钱 • 第九章物物交易、货币交易以及类似问题 • 第十章公司投资人的利润分配 • 第十一章合金钱币的配制 • 第十二章数学杂题 • 第十三章 “双假设算法”以及如何用这一方法解决几乎所有的数学问题 • 第十四章平方根、立方根及其乘、除、减法运算；讨论二项线、余线及其根式 • 第十五章论几何法则，以及还原与对消问题
《计算之书》中的“中国元素” 《张邱建算经》中的“百鸡问题”：今有鸡翁一，直钱五，鸡母一，直钱三，鸡雏三，直钱一。凡百钱买鸡百只。问鸡翁、母、雏各几何？ 《计算之书》的“买鸟问题”。其中一题是： 某人买30只山鹑、鸽子和麻雀，共花30第纳尔。一只山鹑值3第纳尔，一只鸽子值2第纳尔，两只麻雀值1第纳尔，即一只值1/2第纳尔。问每种鸟各买几只？
《孙子算经》：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？《孙子算经》：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？ 《计算之书》第12章的第八部分的“余数问题”： 让他把所选的数分别除以3、除以5、除以7，并告诉你每次除法的余数是什么，对于被3除得的余数，每一整数单位保留70；对于被5除得的余数，每一整数单位保留21；对于被7除得的余数，每一整数单位保留15。一但总数超过105，就舍去105，当舍去所有的105之后，便得到所选的数。
“Elchatayn算法”和盈不足术 《计算之书》第13章：“讨论双假设法，以及如何用这一方法解决几乎所有的数学问题” 本章开篇指出 “阿拉伯语elchataym被翻译为‘双假设法’（the method of double false position)”，斐波那契给出的算理解释是“四项比例”。
斐波那契给出的另一种“Elchatayn算法”，被称为“增损术”(the augmented and diminished method)。 “在这一方法中，‘试错’被置于它们的假令之下，第一次‘试错’与第二次假令相乘，第二次‘试错’与第一次假令相乘。如果两个‘试错’都是负数，或都是正数，从前述较大的乘积中减去较小者，所得差数除以两次‘试错’的差，从而得到问题的解。如果一个‘试错’是正数，另一个是负数，相应的乘积应该相加，所得和除以两次‘试错’的和。”
（1）minus （2）plus （3）plus,minus 两不足 两盈 盈、不足 “盈不足术”：重置其位，交叉相乘。
中国古代数学在欧洲的传播与影响 美国数学史家L.Karpinski就曾指出： “1202年斐波那契巨著中出现的许多算术问题，其东方源泉不容否认。不仅问题的类型与早期中国及印度相同，常常其所用数字也完全相同，因此东方根源是显然的。这些算题后来为意大利算术家接受，之后又为其他欧洲国家选用。沿着这一渠道，古代中国和印度的算题也传入了美国的教科书中。” Louis C. Karpinski.The History of Arithmetic. New York：Russell & Russell Inc. 1965，p.30.
《计算之书》中一个有趣的问题被称为“斐波那契的兔子”，即“假定大兔子每月生一对小兔，而小兔在两个月后长成大兔子，也开始生小兔子。那么问：自一对兔子开始，一年后可繁殖多少对兔子？”这个问题引出了著名的“斐波那契数列”：《计算之书》中一个有趣的问题被称为“斐波那契的兔子”，即“假定大兔子每月生一对小兔，而小兔在两个月后长成大兔子，也开始生小兔子。那么问：自一对兔子开始，一年后可繁殖多少对兔子？”这个问题引出了著名的“斐波那契数列”： 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ……
2、纳皮尔与对数的发明 15世纪起，欧洲进入了快速扩张时期。在许多知识领域中，数值计算变得非常重要，例如，天文学、航海学、商业贸易、工程和军事，它们对计算速度和准确性的要求可以说是与日俱增。在数学的历史上，这些增长的要求由于四项重要的发明而逐步得到满足。这四项发明是：印度-阿拉伯数码，十进小数，对数和计算机。现在我们介绍第三个，即17世纪早期由纳皮尔完成的对数的发明。
纳皮尔（John Napier, 1550-1617）出生于苏格兰的一个贵族家庭，在小的时候就表现出引人注目的天才和丰富的想象力。比如，他预言将来会有许多威力强大的军事机械，而且还设计了它们的示意图，其中有一种枪炮，它能清除方圆几公里内所有超过一英尺高大动物；还有一种水下航行器；另一种是一种战车，它有“一张大嘴”，能“毁灭前进路上的任何东西”。在第一次世界大战期间，他的这些理想实现了：机关枪、潜水艇和坦克车。然而，真正引发数学计算的一场革命，确是他的对数的发明。
纳皮尔的对数表最早出现在1614年的著作《奇妙的对数法则的说明》（左图），这部著作中仅包含了一个如何使用对数表的简要介绍。纳皮尔去世两年后，他关于对数的第二部著作《奇妙的对数法则的构造》于1619年出版（右图）。这部书阐述了他的对数造表所依据的理论。纳皮尔的对数表最早出现在1614年的著作《奇妙的对数法则的说明》（左图），这部著作中仅包含了一个如何使用对数表的简要介绍。纳皮尔去世两年后，他关于对数的第二部著作《奇妙的对数法则的构造》于1619年出版（右图）。这部书阐述了他的对数造表所依据的理论。
请注意下面两行数列： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 …… 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 …… 现在计算16×64，在第一行找到它们相应的数4与6，计算4+6=10，10在第二行中对应的数1024就是我们要计算的乘积。对于除法，只要把“和”改为“差”。这种化“乘除”为“加减”的方法，正是纳皮尔对数的精髓。
纳皮尔对数的定义：“AZ为有限线段，A’Z’为无限直线。点Q沿直线A’Z’做匀速运动，A’Q=x；点P沿线段AZ运动，它在任何一点的速度值与 它尚未经过的距离（PZ=y）成正比（假令比值为1）。令P与Q同时分别从A、A’出发，那么，定义x为y的对数。” （x以算术级数增加，y以几何级数减少）
英国数学家布里格斯(Briggs，1561—1630年)最先认识到对数的重要性．他于1616年专程去苏格兰拜访纳皮尔，并提出改良对数的建议，以便于应用．第二年纳皮尔逝世，布里格斯以全部精力继承纳皮尔的事业，于1624年出版《对数算术》一书，公布了以10为底的十四位对数表，这种对数被称为常用对数．布里格斯还用“首数”这个术语来称呼对数的整数部分．而“对数尾数”一词是由英国牛津大学教授华里斯(Wallis)首先使用的(1693年)．英国数学家布里格斯(Briggs，1561—1630年)最先认识到对数的重要性．他于1616年专程去苏格兰拜访纳皮尔，并提出改良对数的建议，以便于应用．第二年纳皮尔逝世，布里格斯以全部精力继承纳皮尔的事业，于1624年出版《对数算术》一书，公布了以10为底的十四位对数表，这种对数被称为常用对数．布里格斯还用“首数”这个术语来称呼对数的整数部分．而“对数尾数”一词是由英国牛津大学教授华里斯(Wallis)首先使用的(1693年)．
上面的对数公式是每位中学生都十分熟悉的，而今天谁又能想到，在当时正是这一简单的性质，却以其节省劳力而延长了天文学者的寿命！所以，对数发明后，不到一个世纪，几乎传遍了世界，成为不可缺少的计算工具。伽利略甚至说：“给我空间、时间和对数，我即可创造一个宇宙！”上面的对数公式是每位中学生都十分熟悉的，而今天谁又能想到，在当时正是这一简单的性质，却以其节省劳力而延长了天文学者的寿命！所以，对数发明后，不到一个世纪，几乎传遍了世界，成为不可缺少的计算工具。伽利略甚至说：“给我空间、时间和对数，我即可创造一个宇宙！”
曾几何时，放在皮盒里挂在身上的对数计算尺，是大学校园里学习工程的学生的标志。而现在，袖珍计算器的普及，却使它们都被送进了博物馆了。但是，对数的活力却依然未减。因为对数函数和指数函数的关系是分析学的关键部分。因此，它们在数学教育中占有重要的地位。曾几何时，放在皮盒里挂在身上的对数计算尺，是大学校园里学习工程的学生的标志。而现在，袖珍计算器的普及，却使它们都被送进了博物馆了。但是，对数的活力却依然未减。因为对数函数和指数函数的关系是分析学的关键部分。因此，它们在数学教育中占有重要的地位。 这里顺便指出，现在对数普遍地被认为是来源于指数。例如，如果 ，我们说 x是 n 的以b为底的对数。事实上，纳皮尔在创立对数概念的时候，并没有指数的概念。十八世纪，瑞士数学家欧拉(Euler，1707—1783年)才发现指数与对数的天然联系，他指出“对数源出于指数”。对数的建立先于指数，这是数学发展史上的一件趣闻。
3、笛卡儿与解析几何 笛卡尔 René Descartes 1596-1650
Cogito ergo sum “我们在长大成人之前当过儿童，对呈现在我们感官面前的事物作过各种各样的判断，而那时我们还没有充分运用自己的理性，所以有很多先入的偏见阻碍我们认识真理，因此我们要摆脱这些偏见的束缚，就必须在一生中有一次对一切稍有怀疑之处的事情统统加以怀疑”。“这并不是模仿怀疑学派，学他们为怀疑而怀疑……，而是为了得到确信的根据，把浮土和沙子挖掉，以便找出硬土和磐石。”
What way of life should I follow ? • 第一个梦：笛卡尔被邪恶的风从教堂中吹到一个宁静的场所； 第二个梦：他自己正用不带迷信的科学眼光，观察着凶猛的风暴，当他看透风暴是怎么回事，风暴骤然停息；第三个梦：他在背诵一首诗—“我将遵循什么样的生活道路?” • 正是这三个梦改变了笛卡尔生命的整个进程。据笛卡尔说，这三个梦向他揭示了“一门了不起的科学”和“一项惊人的发现”，从而使他决定献身于那一崇高的事业。
《谈谈方法》 “我好像一个在黑暗中独自摸索前进的人似的，下决心慢慢地走，每一样东西都仔细摸它一摸，这样做虽然进步不大，至少保得住不摔倒。……” 笛卡尔对传统逻辑与几何学的批判
我早年在哲学方面学过一点逻辑，在数学方面学过一点几何分析和代数。这三门学问似乎应当对我的计划有所帮助。可是仔细一看，我发现在逻辑方面，三段论式和大部分其他法则只能用来向别人说明已知的东西，……并不能求知未知的东西。这门学问虽然确实包含很多非常正确、非常出色的法则，其中却也混杂着不少有害或者多余的东西，……。至于古代人的分析（-即几何）和近代人的代数，都是只研究非常抽象、看来毫无用处的题材。此外，前者始终局限于考查图形，因而只有把想象力累得疲于奔命才能利用理解力；后者一味拿规则和数字来摆布人，弄的我们只觉得纷乱晦涩、头昏脑胀，得不到什么培养心灵的学问。就是为了这个缘故，我才想到要去寻找另外一种方法，包含这三门学问的长处，而没有它们的短处。……我早年在哲学方面学过一点逻辑，在数学方面学过一点几何分析和代数。这三门学问似乎应当对我的计划有所帮助。可是仔细一看，我发现在逻辑方面，三段论式和大部分其他法则只能用来向别人说明已知的东西，……并不能求知未知的东西。这门学问虽然确实包含很多非常正确、非常出色的法则，其中却也混杂着不少有害或者多余的东西，……。至于古代人的分析（-即几何）和近代人的代数，都是只研究非常抽象、看来毫无用处的题材。此外，前者始终局限于考查图形，因而只有把想象力累得疲于奔命才能利用理解力；后者一味拿规则和数字来摆布人，弄的我们只觉得纷乱晦涩、头昏脑胀，得不到什么培养心灵的学问。就是为了这个缘故，我才想到要去寻找另外一种方法，包含这三门学问的长处，而没有它们的短处。…… ----笛卡尔：《谈谈方法》（1637） 中译本第15页
笛卡尔的《谈谈方法》（左），第三个附录是《几何学》（右）笛卡尔的《谈谈方法》（左），第三个附录是《几何学》（右）
当我想弄清楚这条曲线属于哪一类时，我要选定一条直线，比如AB，作为曲线上所有点的一个参照物；并在AB上选定一个点A，由此出发开始研究。……当我想弄清楚这条曲线属于哪一类时，我要选定一条直线，比如AB，作为曲线上所有点的一个参照物；并在AB上选定一个点A，由此出发开始研究。…… 然后，我在曲线上任取一点，比如C，我们假设用以描绘曲线的工具经过这个点。我过C画直线CB平行于GA。因CB和BA是未知的和不确定的量，我称其中之一为y，另一个为x。……
转折点！ • 这样，笛卡尔就把传统数学中对立着的两个研究对象“数”与“形”统一了起来，并在数学中引入了变量的思想，这是数学史上的一个划时代的变革。 • 恩格斯对此给予了高度评价，他说：“数学中的转折点是笛卡尔的变数。有了变数，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学；有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了，而它们也立刻就产生了，……”。
1644年笛卡尔出版了他的《哲学原理》（Principia Philosophiae），这部书使他在欧洲获得了很高的赞誉，同时也引起瑞典女王的兴趣。当时年轻的瑞典女王克利斯蒂娜才19岁，是一个充满男子气的女孩，骑马狩猎，但更希望成为一个古典学者，她仰慕笛卡尔的声望与学术成就，邀请笛卡尔做她的宫廷哲学家，但笛卡尔一直没有接受，但是，1649年春天，笛卡尔被女王派的海军大臣强请入宫。年轻的女王认为清晨5点钟是一天记忆力最好的时候，所以笛卡尔每天都要冒着寒冷到宫里为女王上课。受过军旅锻炼的笛卡尔熬了过来，可他的朋友得了肺炎，为了照看朋友，笛卡尔受到传染，发起高烧，于1650年2月11日不治身亡，享年54岁。就这样，一位卓越的哲学家、数学家成为了一个任性女王虚荣心的牺牲品。
笛卡尔的生命驿站 （左）阿姆斯特丹笛卡尔故居； （中）斯德哥尔摩弗里德克教堂（the Adolf Fredriks Kyrka）内的笛卡尔纪念碑； （右）巴黎笛卡尔大街；
1799年法国大革命后，笛卡儿的骨灰被送到了法国历史博物馆。人们在他的墓碑上刻下了这样一句话：“笛卡儿，欧洲文艺复兴以来，第一个为人类争取并保证理性权利的人。”1799年法国大革命后，笛卡儿的骨灰被送到了法国历史博物馆。人们在他的墓碑上刻下了这样一句话：“笛卡儿，欧洲文艺复兴以来，第一个为人类争取并保证理性权利的人。”
本周论坛 1 阿拉伯数字传入欧洲后产生了什么影响？ 2 Fibonacci《计算之书》在东西方数学交流中有什么意义？ 3 为什么说笛卡儿建立的“解析几何”是传统数学迈向近代数学的“转折点”？
下周做个人展示的同学 • 谭兴龙 • 周俊 • 周智恺 • 徐妍 • 姜鲁 • 于卓立 • 陈杭 • 林明博 • 段达君 • 司梦维
