第三章函数

第三章函数 3.1 函数的概念 • 函数是一种多对一的二元关系，即该类关系中定义域的任何元素仅与值域中的某个元素发生关系。 [函数]  为集合X到集合Y的函数当且仅当： ① 为X到Y的二元关系,记为  ：X Y ②Dom() = X , Ran()  Y ③ (x)(y)(y)(xXy,yYxyxy y=y)

3.1 函数的概念 • 函数 ：XY 也称为映射。 • 通常用 (x)=y 表示 xy (或y= (x)) • 此时 y= (x) 也称 x 为自变量，y 为x在下的像，x 为 y在下的原像。 • 对函数 ：XY，AX，定义 [A]={y|(x)(xAy= (x))}为A在下的像。

3.1 函数的概念 [例]1 = {<x1,x2>|x1,x2N 且 x1+x2<10} 2 = {<y1,y2>|y1,y2R且 y22=y1} 3 = {<z1,z2>|z1,z2N,z2 为小于z1的素数个数} 上述中，1，2 不是函数，3 是函数。

3.1 函数的概念 [函数相等] 设函数f：AB, g：CD。若 A=C, B=D,且对所有xA,有 f(x)=g(x)，则称 f 和 g 相等，记作 f= g 。 [满射] 设函数f : XY, 称 f是一个满射,若Ran(f)=Y。 [单射] 设函数f : XY，称 f 是一个入射(或单射)，若对任意x1,x2X，有 x1 x2  f(x1)  f(x2) 。 [双射] 设函数f : XY，称 f 是一个双射，若 f 既是满射又是入射。

3.1 函数的概念 • 若干常用的函数：常函数、恒等函数、单调函数、严格单调函数、特征函数、自然映射。 [常函数] 函数 f : XY 称为常函数  (y0)(y0YRan(f)={y0}) [恒等函数] 函数 Idx：XY 称为X上的一个恒等函数  XY  Idx(x) = x • X=Y时，Idx记为 Ix

3.1 函数的概念 [单调函数] 函数 f : RR (R为实数)称为R上的单调递增函数 (x)(y)(x,yRxyf(x) f (y)) 函数 f : RR (R为实数)称为R上的严格单调递增函数 (x)(y)(x,yRx<yf(x) < f (y)) [自然映射] 设R是X上的等价关系，令 f：XX/R 定义为 f(x)=[x]R，则 f 是函数，称之为从X到X/R的自然映射。

3.1 函数的概念 [定义] 设有集合A、B，BA = { | 为函数且  : A  B } (从A到B的所有函数的集合) [问题] B= {T, F}, BB包含多少个不同的函数？

3.2 逆函数 • 符合函数定义的关系的逆关系不一定能定义一个逆函数。 [定理]设f：X  Y 是一个双射函数，则其逆关系 f 1：Y  X 也构成一个双射函数。 [证明] (1) f 1符合函数的定义； (2) f 1是满射； (3) f 1是入射。

3.2 逆函数 [逆函数] 设 f：XY是一个双射函数，则其逆关系 f 1：YX构成的双射函数称为其逆函数（或反函数），记为f 1。 [例]A={1,2,3}, B={a,b,c}, f：AB f = {<1,a>,<2,b>,<3,c>} f 1 = {<a,1>,<b,2>,<c,3>}为 f 的逆函数。 [定理] 设 f：XY是一个双射函数，则 f 1 f=IB， f f 1 =IA。

3.3 复合函数 [函数复合] 设函数 f : XY, g: WZ,且Ran(f)W, 令 g◦ f = {<x,z>|xXzZ(y)(yYy=f(x)z=g(y)} 称 g 在 f的左边复合。 [定理]上述 g◦ f是一个函数。 g ◦ f ：X  Z。 [证明] 按照函数定义的3个要点逐一证明。 (1) g ◦ f是X  Z的二元关系 (2) dom(g ◦ f )=X (3) 设有 xX, z1,z2Z, 且z1= (g◦ f)(x), z2= (g◦ f)(x) 证明 z1 = z2

3.3 复合函数 • g◦ f 的另外定义：设 g, f分别如上所述，可定义 g ◦ f = f  g (关系的复合) [定理]设 g◦ f是一个复合函数，则 ① 若g和f 是满射的，则g ◦ f 也是满射的。 ② 若 g和f是入射的，则g ◦ f也是入射的。 ③ 若 g和f 是双射的，则g ◦ f也是双射的。 [问题]上述命题的逆是否成立？

3.3 复合函数 [定理]设函数 f：XY ，则 f = f ◦Ix = Iy ◦f 。 [定理] 设函数 f：XY 存在逆函数 f 1：YX，则 f- 1 ◦f = Ix， f ◦ f 1 = Iy 。 [定理] 设双射函数 f：XY ，则 (f1)1= f 。 [定理] 设双射函数 f：XY ， g：YZ 则 (g ◦ f )1= f 1 ◦g1。

1 若 xA 0 若 xA A(x) = 3.4 特征函数 [特征函数] 当 AB时，函数 A: B  {0,1} 定义为：称函数 A: B{0,1} 为集合A (关于B)的特征函数。 [定理] 有集合B，F：P (B)  {0,1}B 定义为：对 A  P (B) ，F(A)= A，则 F是双射函数。 [证明] (1) 是函数；(2) 是入射；(3) 是满射。

3.5 可数集、无穷集的比较 [等势]两个集合能够建立一一对应，则称两个集合等势。记作 A ~ B。 [可数集]与自然数集N等势的集合称为（无穷）可数集。可数集，又称可列集，可枚举集，意即集合中的元素可以列举：a0,a1,a2,…, an,… [例] 可数集的例子：所有素数的集合，有理数集，ＮＮ。实数集Ｒ，无理数集，任何实数区间是不可数集。

3.6 递归函数 [例] 阶乘的计算： n! = n  (n-1)  … 1 用 f(n) 记 n! 则 f(n) = n  (n-1)! 一个定义在自然数集上的函数称为递归的，如果它的定义中使用了它本身。例 f (0) = 1 f (n+1) = (n+1)* f(n)

3.6 递归函数 [例]Fibonacci 序列：1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … 初始条件：f1 = 1, f2 = 2; 递归关系：fn=fn1+ fn2 , n3 一般地，递归函数定义格式为 f(0) = g -- 递归基 f(n+1) = h(n, f(n)) -- 递归步

A B C A B C 3.6 递归函数 [例] 汉诺塔（Tower of Hanoi Puzzle，Lucas）。如图，A柱上从小到大套着n个圆盘，利用B柱将圆盘搬到C柱，要求：每次只能移动一个圆盘；只有处于最顶端的圆盘才能被移动；在操作过程中，不能将较大尺寸的圆盘放在较小尺寸的圆盘上面。

3.6 递归函数 归约为三个需要解决的子问题：

3.6 递归函数 即：1. 将A柱上部的n1个圆盘搬到B柱； 2. 将A柱剩下的最大圆盘移到C柱； 3. 将B柱的n1个圆盘搬到C柱。设完成问题要求需要移动圆盘的次数为Cn，则由上述讨论得到：Cn= Cn1 +1+ Cn1 = 2Cn1 +1 初始条件：C1= 1 （只有一个圆盘时）可以证明， Cn = 2n1。当 n = 64 时， C６４ 1.61019

3.7 归纳集inductively defined sets 自然数集N的归纳定义： • 0是自然数； • 如果n是自然数，那么n的后继n’也是自然数; • 所有的自然数都可以利用规则1，2有限次得到。如果我们用1表示0’，2表示1’，…, 则自然数集N= {0，1，2，3，…}

3.7 归纳集 许多集合都是归纳定义的。 [例] 命题公式集合WFF的定义。假定存在一个命题变元的无穷集P0={p0,p1,…}. • T, F 是命题公式； • 任意命题变元pi是命题公式； • 如果p, q 是命题公式，则p, pq, pq是命题公式。 • 所有的命题公式都可以通过有限次利用规则(1),(2),(3)得到。

3.7 归纳集 [例]二叉树集合BT的归纳定义： • 空树Nil是二叉树； • 如果t1, t2时二叉树，则Node t1 t2 是以t1,t2为左右子树的二叉树。 • 所有的二叉树都可以利用以上规则得到。

3.6 归纳集 归纳集合上的函数往往是递归函数。 [例] 定义一个命题公式的复杂度为其中包含的连接词个数： degree (T) = 0 degree (F) = 0 degree (p) = 0 p P0 degree(p) = 1+degree (p) degree(pq) = degree(p) + degree(q) degree(pq) = degree(p) + degree(q)

3.7 归纳集 [例] 定义二叉树的结点数number和二叉树的高度height： number (Nil) = 0 number(Node t1 t2) = 1+ number(t1) + number(t2) height(Nil) = 0 height(Node t1 t2) = 1 + max(height(t1), height(t2))

3.7 归纳集 [结构归纳法] 假定归纳集S的定义是 • s0  S; • 如果t1, t2, …, tmS, 则 R(t1, t2, …, tm)S; • S所有的元素有规则(1),(2)生成。那么S上的一个性质(xS) P(x)的证明可以使用S上的结构归纳法： • 归纳基：证明P(s0)成立； • 归纳步：如果P(t1), P(t2), …,P( tm )成立，则P(R(t1, t2, …, tm)) 成立。

3.7 归纳集 [例] 证明对于任意二叉树t: height(t)  number(t) [证明]：归纳基： height(Nil) = 0 , number(NIL0 = 0 故 height(Nil)  number(Nil) 归纳步：假设height(t1)  number(t1); height(t2)  nubmer(t2) 则height(Node t1 t2) = 1 + max(height(t1),height(t2)  1 + number(t1) + number(t2) = number(Node t1 t2)

习题 • 设有函数f:A->B, g: B->C . 证明： • 如果g◦ f 是单射，则f是单射； • 如果g◦ f 是满射，则g是满射。 • 构造N与NN之间的一一对应。 • 写出A={a,b,c}的所有子集的特征函数。 • 构造P(A)与{0，1}A之间的一一对应。

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