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第二章 电磁场一般问题

电磁场的源. 场对源的作用. 麦克斯韦方程. 边值关系. 第二章 电磁场一般问题. 本构关系. 坡印廷定理. 虚拟源 ：磁荷、磁流 真实源 ：电荷、电流、. 电荷密度、电流密度. 正电荷：发出力线 负电荷：吸收力线. 电荷. 传导电流 I c ：固、液体导电媒质中的电流 , 服从欧姆、焦耳定理。 运流电流 I u ：气态媒介中的载流子电流 , 不服从欧姆、焦耳定理。 电源电流 I i ：流过电源的电流。 位移电流 I d ：由变化的电场产生，同样它也可产生磁场。. 电 流. 2.1 电磁场的源. 电荷与电流在空间的分布往往是不均匀的，因而引入.

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第二章 电磁场一般问题

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  1. 电磁场的源 场对源的作用 麦克斯韦方程 边值关系 第二章 电磁场一般问题 本构关系 坡印廷定理

  2. 虚拟源：磁荷、磁流 真实源：电荷、电流、 电荷密度、电流密度 正电荷：发出力线 负电荷：吸收力线 电荷 传导电流Ic：固、液体导电媒质中的电流,服从欧姆、焦耳定理。 运流电流Iu：气态媒介中的载流子电流,不服从欧姆、焦耳定理。 电源电流Ii：流过电源的电流。 位移电流Id：由变化的电场产生，同样它也可产生磁场。 电 流 2.1电磁场的源 电荷与电流在空间的分布往往是不均匀的，因而引入 Io = Ic+ Iu = dq/dt P96

  3. 体电荷密度 面电荷密度 线电荷密度 qδ( r-r0′) 点电荷密度 q D q=∫ ρ(r′) dl′ q=∫ ρ(r′) ds′ q=∫ ρ(r′) dV′ Dq dq DS′ dS′ Dq dq DV′ dV′ q DV′ Dq dq Dl′ dl′ ρl(r′) = —— = —— ρv(r′) = —— = —— ρv(r′) = —— = ρs(r′) = —— = —— l l v v s s lim Dl→0 lim Dv→0 lim Dv→0 lim Ds→0 电荷密度ρ:指电量q 对包含该电量的空间的变化率，是一标量 空间可以是体积、面积、线段、点，所以分别有： 电荷密度ρ反映了电荷在空间的分布 2.1、电磁场的源

  4. 电流密度J: 指垂直通过某面、线的电流对该面、线的变化率 ∵垂直通过即有方向性∴J是一矢量，方向为正电荷运动的方向 dI cos(ev,en)ds′ Jv = —————ev=ρvv ∧ τ′ en I=∫Jv·ds′ en θ S′ v θ dI cos(ev,en)ds′ dI=Jvcos(ev,en)ds′=Jv·ds′ ∧ Jv= ————— θ= even ∧ ∧ v dI cos(ev,en)dτ′ Js = —————ev=ρsv I=∫Js·dτ′ ∧ dV′ dτ′ dl′ 体电流密度Jv：正电荷在一定体积空间内以速度v沿某方向运动形成 体电流。Jv的大小等于体电流对垂直于ev的平面的变化率，方向为ev。 面电流密度Js：电荷只在一个薄层内流动时，形成的电流为面电流。Js的大小等于面电流对垂直于ev的线段′的变化率，方向为ev 。 τ′ 线电流当电荷只在一条线上内流动时，形成的电流 为线电流 ,也就是通常所说的电流(I)。 I= ρlv dS′ 电流密度J反映了电流在空间的分布

  5. I S ①电流的连续性方程 定义：某一时刻，流过某一封闭曲面的电流(I0),等于该曲面内电 量q对时间的负变化率。电流(I0)的参考方向如图。 方程积分形式：I0=∮J·dS =∫▽·J dv =-q/t ∵q =∫ρdv 则： I0=∫- ρ/t dv 方程微分形式:▽·J = - ρ/t ②电中性与电流 设：体内有二种不同性的电荷 ρ1和ρ2 ， 则：J = ρ1v1+ ρ2v2 若: ρ1= - ρ2 (电中性) 则：J = ρ1(v1- v2 ) 若: v1≠v2 则：J = ρ1(v1- v2)≠0 电流问题较为复杂,前面讨论了分类和密度,下面进一步讨论: 结论：反映电荷与电流相互依存的关系 结论：电中性的材料中也可能有电流存在

  6. 一个半径为a的球体内均匀分布总电荷量为Q的电荷，球体以均匀角速度 绕一直径旋转。 求：球内的电流密度 。 例题： 解： 建立球面坐标系。

  7. dV′ dS′ dl′ 2.2场对源的作用力 电场：①电场E对点电荷的作用力F：F =qE ②电场E对体电荷的作用力F ：dF = dq E ③电场力密度f : f =dF/dV′=ρE 磁场：①磁场B对点电荷的作用力F：F= q v×B ②磁场B对体电荷的作用力F：dF= dq v×B 线：dF = I dl′×B 面：dF =JsdS′×B 体：dF =JvdV′×B ③磁场B对电流元的作用力F J ④磁场力密度f : f =dF/dV′= J×B 洛仑兹力F：F=电场力+磁场力 ①对点电荷的作用力F：F =qE + q v×B ②洛仑兹力密度f : f =dF/dV′= ρE+J×B

  8. lim 电场强度E 的定义式： F q E = — q→0 q为试验电荷电量，F为试验电荷所受电场力。 注：对q取极限是避免引入试验电荷影响原电场 即：电场强度的大小与试验电荷q的电量无关。 知识回顾 电场 • 电场：在电荷周围形成的一种物质。 • 用符号E (称电场强度)表示电场的大小和方向。 • 重要特性：电荷在电场中会受到力(称电场力)的作用。 • 实验证明：电场力大小与电荷所在位置电场强度大小 成正比，即：F= qEq 为试验电荷电量 E 取决于源(带电体)的电量、形状及分布情况 点电荷产生的场及所受的力是计算其它复杂情况的基础

  9. 如图，电荷q1对电荷q2的作用力为： q1q2 4pe0R2 R F= ——— eR q 2 r r ' q q • 非真空时点电荷间的相互作用力为： 1 R = r-r′ O q1q2 4peR2 F= ——— eR P q 4peR2 R E= ——— eR S r r ' R = r-r′ 为真空中介电常数。 O e0=10－9/36p (F/m) 点电荷 1、两点电荷间的电场力 • 库仑定律描述了真空中两个点电荷间相互作用力的规律。 2、点电荷产生的场强：

  10. Fmax qv lim • 磁感应强度矢量B的定义式： B= —— q→0 B的方向与电荷受磁场力为零时的运动方向相同。 q为试验电荷电量，F为试验电荷所受磁场力。 对q取极限是避免引入试验电荷影响原磁场 即：磁场强度的大小与试验电荷q的电量无关。 知识回顾 磁场 • 磁场：在电流周围形成的一种物质。 • 磁感应强度矢量B:描述空间磁场的分布(大小和方向)。 • 重要特性：在磁场中运动的电荷(电流)会受到 力(称磁场力)的作用。 • 在磁场B空间中，若点电荷q以速度v运动则受到的力： F= q v×B dF = I dl × B B 取决于源(带电体)的电量、形状及运动分布情况

  11. C 1 C 2 I v R 2 I dl v 1 1 dl 2 r′ r Idl R R = r-r′ O r ' r O 为真空中的磁导率 0= 4p10－7/ (H/m) 电流元 1、两电流元间产生的磁场力dF • 安培力定律描述了真空中两个电流回路间相互作用力的规律 • 安培力：设真空中两电流回路C1,C2，载流分别为I1,I2， 则: C1上电流元dI1对C2上电流元 dI2磁场力为： • 非真空时两电流元间产生的磁场力dF： 2、电流元产生的dB(毕奥－萨伐尔定律)

  12. 2.3麦克斯韦方程 ∑I=∑(Io+Id)=∮H·dl =∫▽×H·dS =∫(J+D/ t)·dS s l s U=∮E·dl=∫▽×E·dS= - Φm/ t = -∫B/ t·dS l s s Φm =∮B·dS=∫▽·BdV= 0 s v s v s Φd =∮D·dS=∫▽·DdV= Q =∫ ρvdV  t I0=∮J·dS= -——∫ρdV v v v ∑I=∮H·dl =∫▽×H·dS=∫J·dS I U= - Φm/ t = -∫B/ t·dS ∮E·dl=0 一、形式 积分 微分 ▽×H= J+D/ t ▽×E= - B/ t ▽·B= 0， ▽·H= 0 ▽·D= ρv ▽·J = - ρ/t

  13. 二、意义 2.3麦克斯韦方程 2H t2 ▽2H－με——— = － ▽×Jc； 2E1 t2 ε Jc t ▽2E－με——— = μ—— + —▽ρ ① ▽·B= 0， ▽·H= 0 说明H是一个纯有旋无源场 ▽×H= J+D/ t 说明电流和时变电场都能产生H这个有旋场 ② ▽·D= ρv ，▽×E = - B/ t 说明E是一个合成场 即： E= E梯+ E旋 ，其中， E梯由ρv 产生， E旋由时变的磁场产生 时变电场生磁场、时变磁场生电场(即场生场)必为有旋场 ③ 将麦克斯韦方程进行运算，得以下波动方程： 该方程意味着信息可离开源以波动的形式在媒质中传播 结论：E是一个合成场、 H是一个纯旋度场 场生场必为有旋场可形成电磁波

  14. 2.4 本构关系及材料分类 一、本构关系 D=εE电容率ε(= εoεr )：是对电介质材料受外电场极化的量度。 B=μH磁导率μ(=μoμr)：是对物质受磁化的量度。 Jc=σE导电率σ：是对物质导电能力的量度。 一般情况下ε,μ,σ是空间、时间、频率、温度、场…的函数 不同的材料，ε,μ,σ 的表现是不同的： 有的对以上的各因素敏感、或部分敏感甚至不敏感… 一般来说，ε,μ,σ为常数都是在一定的条件下得到的且 即便是常数，不同的材料，ε,μ,σ的值也是不同的 根据材料的这些特点，将材料分类讨论可使问题简化

  15. DxεxxεxyεxzEx Dy=εyxεyyεyzEy DzεzxεzyεzzEz 二、材料分类 当材料为线性均匀各向同性时ε,μ,σ为常数 对于电介质材料可根据电容率ε的以下特性分类： 非线性: ε不仅是空间的函数，还是场的函数。 线性: ε只是空间的函数。若ε(r)则 非均匀：各 εij , εji , εii 都随r变化。 均匀： 各 εij ，εji 都为常数，但εij不一定等于εji 各向同性: εij =εji =0; εxx=εyy=εzz= ε(r) 各向异性: 各εij ≠0 对于导磁材料则可根据导磁率μ进行相似的分类(在此不重复)， 除此之外，另还可分为： 非铁磁体 μr≈1 铁磁体 μr=(几百～几百万) 材料的导电性能则由导电率σ来区分: 有耗 低损耗媒质 无耗媒质 媒质 电介质 良导体 理想介质 理想导体 σ＞1 σ＜10-4 (σ/ εω≤0.01) σ＞106 (σ/ εω≥100) σ = 0 σ = ∞

  16. 解： ∵位移电流密度(Jd)= D/ t 又∵D=εE 则： Jd = εE/ t ∴ Jd = εE/ t = ωεoEocosωt ∵传导电流密度 Jc=σE 则： Jc=σE ∴Jc=σE =σEosinωt， 故：其振幅比值为： 2π f ×10-9 36π× 5.8 × 107 Jd /Jc = ωεo/ σ = ——————— = 9.6×10-19 f 例题：计算铜中的位移电流密度和传导电流密度的比值。 设：铜中的电场为Eosinωt， 铜的电导率 σ =5.8×107s/m , ε ≈ εo

  17. 当空间 2为理想导体时： en·D= ρs en×H= Js 2.5 边值关系 标量 矢量 电场：D1n－ D2n= ρs en·(D1－ D2)= ρs E1t－ E2t= 0 en ×(E1－ E2)= 0 磁场：H1t－ H2t= Js en×(H1－ H2 )= Js B1n－ B2n= 0 en· (B1－ B2)= 0 en 1 2

  18. ∮D·dS =∫ρvdV=∫ρsds ⑴ ∮D·ds=∫D1·ds1+D2·ds2=∫D1cosθ1ds+D2 cos(-θ2)ds =∫(D1cosθ1－D2cosθ2)ds=∫(D1n－D2n)ds ⑵ ∮D·ds=∫D1·ds1+D2·ds2=∫D1·ends+D2·(-en )ds =∫ (D1－D2 )·en ds ⑶ 推导：根据麦克斯韦方程的积分形式 在交界面处作一小圆柱且设界面上有自由电荷Q，如图示。 ①证：D1n－ D2n= ρs en·(D1－ D2)= ρs ∵⊿z→0∴穿过小圆柱侧面的电通量可不计。因而有： en z ∴D1n－ D2n= ρs en·(D1－ D2)= ρs D1 θ1 ⊿s1 ②证：B1n－ B2n= 0 en· (B1－ B2)= 0 ⊿z 1 ⊿s2 2 ∮B·dS = 0 将此式与式⑴比较，可见只需将 上述结果中的D用B替代，ρs用0替代即可得证。 θ2 D2

  19. ∮E·dl =∫ B/t·dS= － ∮H·dl =∫(J+D/ t)·dS=∫J·dS+∫D/ t·dS=∫Js·dl(-ex) l s s s l ∮H·dl=∫H1·dl1+H2·dl2=∫H1·eydl－H2·eydl =∫(H1－H2)·eydl =∫(H1－H2)·(en×ex)dl =∫[ (H1－H2)×en]·exdl l l en l l z B/t ·⊿l⊿zex=0 -lim ⊿z→0 E1 θ1 l 1 ⊿z × × × ⊿l 2 Io θ2 E2 在交界面处作一小环且设界面上有电流Io向里流入，如图示。 证 ① en ×(E1－ E2)= 0 E1t－E2t= 0 （∵对于界面⊿z=0） ∮E·dl=∫E1·dl1+E2·dl2=∫E1cos(90o-θ1)dl+E2 cos(90o+θ2)dl =∫(E1sinθ1－E2sinθ2)dl=∫(E1t－E2t)dl =0 ∴en ×(E1－ E2)= 0 E1t－E2t= 0 证 ② en×(H1－ H2 )= Js H1t－ H2t= Js 对上两等式作比较：且将矢量式展开： ∴en×(H1－ H2 )= Js H1t－ H2t= Js

  20. 解：∵面电流分布和面电荷分布分别为Js 和ρs 又∵en·D= ρs en×H= Js 如图所示：en =ez ， 又由题意： ∴Js =Hosinaxcon(ωt-ay)ez ×ex=Hosinaxcon(ωt-ay)ey 又∵ : ▽·Js= - ρs /t 则： ρs= -∫ ▽·Jsdt 其中：▽·Js= Jy /y = aHosinaxsin(ωt-ay) en ∴ ρs= -∫▽·Jsdtρs= -∫aHosinaxsin(ωt-ay)dt = aHosinaxcos(ωt-ay)+C(x,y)/ ω z 1 2 例题： 设：z = 0 的平面为空气与理想导体的分界面， z＜0 一侧为理想导体，分界面的磁场强度为: H=Hosinaxcon(ωt-ay)ex， 求：理想导体面上的电流分布和电荷分布。

  21. - ∫(we+ wm)dv =∮p·ds+∫J·Edv  t 其中，p——坡印廷矢量(瞬时功率流密度，能流密度) p=E×H= endp/ds p =∮p·ds p — 瞬时功率 p — 平均有功功率流密度或平均能流密度 p= ∫pdt 1 T · · = E×H﹡ — 复功功率流密度 p p +jQ · p = · p S 1 电能密度we： we=εE2/2 磁能密度wm ：wm=μH2/2 V 2.6 坡印廷定理 一、定义： 体积V中总能量的下降率 =穿出封闭面S的电磁功率+体积V中的焦耳热耗功率 瞬时功率 坡印廷定理实质就是功率守恒

  22. A 1 A2 t 2 t A·—= — —— - ∫(we+ wm)dv =∮p·ds+∫J·Edv  t  t  t 由高斯定理及 = - ∫(εE2/2+ μH2/2)dv －∮(E×H)·ds = - ∫(we+ wm)dv －∮p·ds 二、推导 由麦克斯韦方程：J= ▽×H－D/ t ； ▽×E = - B/ t 由焦耳定理： pJ=∫J·Edv ∫J·Edv =∫(▽×H－D/t)·Edv =∫[(▽×H)·E－D/t ·E]dv 由旋度公式及 D=εE =∫[▽·(H×E) + H·(▽×E)－εE·E/t]dv 由：B=μH =∫[－▽·(E×H)－μH·H/t－εE·E/t]dv =－∮(E×H)·ds－∫[μH2/t+εE2/t]/2dv ∵we=εE2/2 ; wm=μH2/2 令： p=E×H 将上式移项整理，坡印廷定理即可得证：

  23. 第一章 小结 常用坐标系（正交系） 标量场和矢量场 坐标单位矢量、常矢、变矢 源点、场点、矢径、距离矢量 加、减、乘 坐标变换 初等运算 微分元 矢量场的微分 矢量场的积分 高等运算 梯度、散度、旋度 亥姆霍兹定理 场的图示法 场论

  24. 虚拟源：磁荷、磁流 真实源：电荷、电流、 第二章 小结 源 电荷密度、电流密度 电场：库仑力 场对源的作用力 + 洛仑兹力 磁场：安培力 微分 积分 形式 意义 辅助量 麦克斯韦方程 本构关系 材料分类 边值关系 瞬时值 平均值 复数 p 坡印廷定理 坡印廷矢量 - p · p

  25. ArAθAφ 2ArctgθAθ r rθ rsinθφr r =∫A·ds =∫▽·AdV s Ω ▽×A= (—— - ——)ex+ (—— - ——)ey + (—— - ——) ez Az AyAx AzAy Ax y z z x x y uuu r rθ rsinθφ 球：gradu= ——er + ——eθ+————ej 球：divA= ——+ ——+———— + —— + —— =▽·A ▽· (uA)= u▽·A+A·▽u ▽×(uA)= u▽×A－A×▽u =▽u 散度定理： ∫A·dl =∫▽× A·dS 斯托克斯定理: l s 直:ds=±dydzex±dxdzey±dxdyez ez=cosθer－sinθeθ 柱:ds=±ρdφdzeρ±dρdzej±ρdρdφez 球:ds=±r2sinθdφdθer±rsinθdrdφeθ±rdrdθej A·(B×C)=B·(C×A)=C·(A×B) ▽f (u)= f ′(u)▽u ▽×(uA)= u▽×A－A×▽u ▽·(A×B)=B·(▽×A)－A·(▽×B) A=Axex +Ayey +Azez =Aρeρ+Aφeφ+Azez=Arer+Aφeφ+Aθeθ

  26. 题2.19 解：⑴ ∵Jd=D/ t，而D=εE，则Jd=(εE)/t， 设：eE =ez 因而：E=720sin106πt ez 由题意 ∴ Jd=ε 720×106πcos106πt ez =0.02εrcos106πt ez 解：⑵ ∵▽×H=Jo+D/ t 若略去Ic则, ▽×H=D/ t =Jd 又∵▽×H⊥H∴ Hz =0 ∵H为涡旋场 ∴选柱坐标 H=Hρeρ+Hφeφ 若在两极板间以Z轴为轴心作一封闭的柱面(如图示)，因此有： ds=ρdφdzeρ±ρdρdφez (∵柱:ds=±ρdφdzeρ±dρdzej±ρdρdφez) 由Φm =∮H·dS= 0 s E 则有： ∮H·dS=∮(Hρeρ+Hφeφ )·dS= ∮Hρρdφdz=0 s s s侧 ez ∵S侧：ρdφdz≠0 ∴ Hρ=0，因此有： H=Hφeφ eρρej ez  ρ φ z HρρHφHz eρρej ez  ρ φ z 0 ρHφ0 柱： ▽×H= — — — = — — — =0.02εrcos106πt ez 1 — ρ 1 — ρ ρHφ ——— ρρ =0.02εrcos106πt ∫d(ρHφ)=∫ ρ0.02εrcos106πtdρ ρ 0 ∴H= ρ0.01εrcos106πt ez ρHφ=ρ20.01εrcos106πt

  27. 而：p=E×H= 证：p =∮p·ds =ui ∵i=∮H ·dl=2πaH ∴ H =eφ i/2πa ∵u=∫ E ·dl= E d ∴E= ezu/d 0 d p=E×H=ez×eφ iu/2πad =eρiu/2πad p =∮p·ds =∮ eρiu/2πad ·ds= eρiu/2πad ·∮ds =(iu/2πad )· 2πad =iu a ez i d u

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