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科学编制习题 提高解题教学的能力

科学编制习题 提高解题教学的能力. 宝应县教育局教研室 周斌. 作为数学教师，在备课、教学、考试命题和从事教学研究的过程中，经常需要改造旧题，创造新题，编制出各种例题、练习题和试题，进行变式训练，从而达到提高学生的解题能力和思维能力。. 教师的命题过程本身也是把握教材、理解教材，实现教学目标的过程，通过对习题的编制，检验自己的知识教学和能力培养的目标达成度，以指导自己今后更好的进行教学活动。. 一、试题的设计要科学无误.

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科学编制习题 提高解题教学的能力

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  1. 科学编制习题 提高解题教学的能力 宝应县教育局教研室 周斌

  2. 作为数学教师，在备课、教学、考试命题和从事教学研究的过程中，经常需要改造旧题，创造新题，编制出各种例题、练习题和试题，进行变式训练，从而达到提高学生的解题能力和思维能力。

  3. 教师的命题过程本身也是把握教材、理解教材，实现教学目标的过程，通过对习题的编制，检验自己的知识教学和能力培养的目标达成度，以指导自己今后更好的进行教学活动。

  4. 一、试题的设计要科学无误 应当说模仿成功的命题方法或一道良好的试题的基本结构模式是快速编制试题的一种有效的方法，但在学业考试这种高利害关系的试题编制中则需要审慎而行，特别是原创题，就更要深入思考，反复斟酌，以免出错。

  5. 一、试题的设计要科学无误 题目1：如图1,点A在反比例函数 上， 且OA=2，过A作AC⊥x轴，垂足为C，OA的垂直平分线交OC于B， 则△ABC的周长为（ ） A. B.5 C. D.

  6. 一、试题的设计要科学无误 l=AC+BC+AB=AC+OC=

  7. 一、试题的设计要科学无误 根据勾股定理可得OA2=OC2+AC2，即， 化简得 . 而△=（－4）2－4×9=－20< 0，即该方程无解.故此题无解.

  8. 一、试题的设计要科学无误 设反比例函数 上任意一点A（x，），则 |OA|= ， 即 ； ∴ ，也就是说反比例函数上任意一点到原点的距离都不小于 .

  9. 一、试题的设计要科学无误 题目2：探索n×n的正方形钉子板上(n是钉子板每边上的钉子数)，连接任意两个钉子所得到的不同长度值的线段种数：

  10. 当n=2时，钉子板上所连不同线段的长度值只有1与 ，所以不同长度值的线段只有2种，若用S表示不同长度值的线段种数，则S=2； 当n=3时，钉子板上所连不同线段的长度值只有1， ，2， ，2 五种，比n=2时增加了3种，即S=2+3=5。 2

  11. (1)观察图形，填写下表： (2)写出(n－1)×(n－1)和n×n的两个钉子板上，不同长度值的线段种数之间的关系；(用式子或语言表述均可) (3)对n×n的钉子板，写出用n表示S的代数式。

  12. 解（1）4，2＋3＋4＋5（或14）…4分 （2）类似以下答案均给满分： （i）n×n的钉子板比(n－1)×(n－1)的钉子板中不同长度的线段种数增加了n种； （ii）分别用a，b表示n×n与(n－1)×(n－1)的钉子板中不同长度的线段种数，则a=b＋n。……8分 （3）S=2＋3＋4＋…＋n……12分

  13. 分析图形、探究规律

  14. 从图形上，不难看出（1）的答案是4，2+3+4+5（或14）；但是（2）和（3）答案，表面上像是后者比前者多n种；S=2+3+4+…+n，实则不然。从图形上，不难看出（1）的答案是4，2+3+4+5（或14）；但是（2）和（3）答案，表面上像是后者比前者多n种；S=2+3+4+…+n，实则不然。 错因探究 但n=6时比n=5时多的不是6种，而是5种。在n=6时，因为5= ，重复一条线段，这样此规律只能在n≤5时成立，故（n-1）×（n-1）和n×n的两个钉子板上，不同长度值的线段种数就无法进行比较了，当然不存在具有一般性结论。（2）和（3）两个问题的答案也就不成立。

  15. 一、试题的设计要科学无误 题目3：如图，在 中， ，D是AB的中点，以DC为直径的⊙O交 的三边，交点分别是G,F,E点．GE,CD的交点为M，且 ， ． （1）求证： ． （2）求⊙O的直径CD的长． （3）若 ，以C为坐标原点，CA,CB所在的直线分别为X轴和Y轴，建立平面直角坐标系，求直线AB的函数表达式．

  16. 题意分析： 条件： D是AB的中点 DC为直径 结论： 求⊙O的直径CD的长 求直线AB的函数表达式．

  17. 错误发现： 一方面，连接DE， 则∠DEC=90°，因为DC=DA，所以EC=EA（同理BF=CF）, 由第（3）题解答结果可知，EA=16， 而∠AGE=∠DCA=∠A， 所以EG=EA=16； 另一方面由相交弦定理MD·MC=MG·ME，即4×16= ×MG，求得MG= ，所以 EG= ，这与EG=16矛盾。

  18. 原因分析： 第（3）题中的条件“cos B=0.6”与题干中的条件“MD∶CO=2∶5”矛盾，换句话说，由条件MD∶CO=2∶5就可以确定cos B的值，求得cos B= ，解答如下： 设BC=2a，AB=2c，那么上式变成， 解得：GD= 。 由割线定理得BF·BC=BG·BD，即 ，所以 ，即cos B= 。

  19. 题目4： 设a是一个负数，则数轴上表示数-a的点在（ ） 一、试题的设计要科学无误 （A）原点的左边 （B）原点的右边 （C）原点的左边或原点的右边 （D）无法确定

  20. 一、试题的设计要科学无误 题目5：已知 ，求 的值。 已知可知x≠0，y≠0，x+y≠0，则去分母得：y (x+y)+x (x+y)=xy，化简得： ，配方得： ∴ y=0，∴x=y=0.这与已知式中隐含的x≠0，y≠0，x+y≠0条件不相符。

  21. 换一个角度： 也可以把看作关于x的一元二次方程 ， 于是有 ， ∴方程没有实数解，说明本题不得在实数范围内考虑。因此，在初中数学范围内出这道题是不恰当的。

  22. 二、试题的表述要规范、严谨 试题的内容与结构应当科学、题意明确，试题的表述应准确、规范，要避免因文字阅读困难而造成的解题障碍。

  23. A D B E C F 二、试题的表述要规范、严谨 题目6：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，DE∥AB，AF∥DC．且四边形AEFD是平行四边形． （1）AD与BC有何等量关系？请说明理由； （2）当AB＝DC时，求证：□AEFD是矩形．

  24. 题目7：（2）如图2，以O为圆心、OC为半径画弧交OA于点，若直线GH与弧CD所在的圆相切于矩形内一点F，求直线GH的函数关系式；题目7：（2）如图2，以O为圆心、OC为半径画弧交OA于点，若直线GH与弧CD所在的圆相切于矩形内一点F，求直线GH的函数关系式； 二、试题的表述要规范、严谨

  25. M S M A H G K A B B O C G O F C D H F N E Q N E 图1 图2 图3 图4 二、试题的表述要规范、严谨 题目8：如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”．只用没有刻度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出长度为的线段__________条.

  26. 三、试题题型要选用得当 不同的题型有不同的功能，要达到合理的考查目的，选择适当的题型也非常重要，这在命题时要有所考虑。 题目9：关于x的不等式2x—a≤ -1的解集如图所示，则a的取值是（ ） （A）0 （B）-3 （C）-2 （D）-1

  27. 题型分析： 其一，学生先解出带参数的不等式后，再观察图形，求解方程以确定a的取值，那么就较好地考查了几方面的知识、技能与某些思想方法，是有价值的； 其二，学生将备选的数据逐个代入验证以得出答案，就仅仅考查了解简单不等式的技能。

  28. 再举一例： 题目10：已知实数x满足 ， 则 的值是（ ） （A）0或-1 （B）1或-2 （C）-1或2 （D）-2

  29. 三、试题题型要选用得当 选择题由一个题干和四个备选答案组成，答题时要求学生根据题干的内容选择答案。它具有评分客观、统一，易掌握的特点，但学生答题时有猜测的成分。 选择题的命制要求： 1、题干表达清楚，并以一个问题呈现。 2、选项与题干应保持一致。 3、干扰项应具有一定的迷惑性。

  30. 三、试题题型要选用得当 题目11：如图，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形面积为（ ） A、10cm2 B、20cm2 C、40cm2 D 、80cm2

  31. 三、试题题型要选用得当 题目13：两个完全相同的长方体的长、宽、高分别是5cm、4cm、3cm，把它们按不同方式叠放在一起分别组成新的长方体，在这些新长方体中表面积最大的是( ) A、158cm2 B、176cm2 C、164cm2 D、188cm2

  32. 三、试题题型要选用得当 题目14：期中考试后，学习小组长算出该组5位同学数学成绩的平均分为M，如果把M当成另一个同学的分数，与原来的5个分数一起，算出这6个分数的平均值为N， 那么M：N为（　　） A、 B、1 C、 D、2

  33. 三、试题题型要选用得当 填空题由不完整的陈述句构成，要求学生填入简单的词句、数字或符号等。填空题平分只看结论，不看过程，故对区分度有一定的影响。 填空题的命制要求： 1、不单纯考概念、公式，防止死记硬背。 2、填写答案的要求要具体、简洁，避免歧义和含糊不清。 3、各空格赋分要一致，各题的空格数应统一。

  34. 三、试题题型要选用得当 题目15：有五张分别印有圆、等腰三角形、矩形、菱形、正方形图案的卡片（卡片中除图案不同外，其余均相同），现将有图案的一面朝下任意摆放，从中任意抽取一张，抽到有中心对称图案的卡片的概率是。 本例注意在知识的交汇点编制试题，把几何知识和概率知识有机组合在一起，这是中考命题的一个发展趋势。

  35. 题目16：如图，一个机器人从O点出发，向正东方向走3米到达A1点，再向正北方向走6米到达A2点，再向正西方向走9米到达A3点，再向正南方向走12米到达A4点，再向正东方向走15米到达A5点、题目16：如图，一个机器人从O点出发，向正东方向走3米到达A1点，再向正北方向走6米到达A2点，再向正西方向走9米到达A3点，再向正南方向走12米到达A4点，再向正东方向走15米到达A5点、 按如此规律走下去， 当机器人走到A6点时， 离O点的距离是米．

  36. 一、注重变式，深化对知识本质的理解 就现实的中考而言，“注重对知识本质的考查”已是大势所趋，注重变式，多面考查，事物的本质才会水落石出。简单机械的重复训练，充其量只能加深学生对知识的字面记忆，因此在编制习题时，教师应加强对已有题目的变式，尤其是课本的例、习题，有意识地把知识的本质融入到灵活多样的情境之中，从而较好地诱发认知冲突，诱导学生在螺旋式的反复训练中“去粗取精、去伪存真”，对知识本质进行正确而富有个性的理解和把握。

  37. 对于“方程的解”这个概念，在常规题型的基础上，不妨进行如下变式。题组17：对于“方程的解”这个概念，在常规题型的基础上，不妨进行如下变式。题组17： （1）请你写出一个解为2的一元一次方程： （2）请你写出一个解大于3且小于4的一元二次方程___________。（变封闭性问题为开放性问题） （3）当m=____时，关于x的方程x2+x+m=0的一个解为-5。（变顺向思维为逆向思维） （4）如果关于y的方程ky2-2y+3=0有实数根，求k的取值范围。（变粗放型问题为分类讨论问题） （5）下列各点中，在y=x+1的函数图象上的是（ ） A（0，2） B（1，3） C（-1，0） D（-2，3）（变纯代数问题为数形结合问题） （6）若实数a、b分别满足条件a2-3a+1=0， b2-3b+1=0， 试求代数式 的值。（变直接条件为隐含条件问题）

  38. 二、返璞归真，注重数学思想方法立意 数学思想方法是从数学内容中提炼出来的数学学科的精髓，是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它源于数学发展本身，发展于数学应用实践之中，是将数学知识转化为数学能力的桥梁。所谓数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中，经过思维活动而产生的结果，它是对数学事实与数学理论的本质认识。所谓数学方法，是指人们在某一数学活动中，为了达到某种目的而采取的手段、途径和行为方式中所包含的可操作的规则或模式。

  39. “函数及其图像”举例说明： 题组18：如图1，⊙O是半径为1的单位圆，P为⊙O上一点， 且∠xOP=150°， 那么点P的坐标是__________ （融合平面直角坐标系和解直角三角形知识，渗透数形结合思想方法）；

  40. （2）点P（a，b）在第二象限，则直线y=ax+b不经过第________象限（融合平面直角坐标系和一次函数的图象知识，渗透数形结合法和特殊化思想方法）（2）点P（a，b）在第二象限，则直线y=ax+b不经过第________象限（融合平面直角坐标系和一次函数的图象知识，渗透数形结合法和特殊化思想方法） （3）已知二次函数的图象 如图2，那么下列判断中 错误的是（ ） （A） （B） （C） （D）

  41. （4）反比例函数的图象上一点A是直线y=x和y= -x+4的交点，求k的值（融合反比例和一次函数的图象与性质，渗透数形结合思想方法和待定系数法）。

  42. 三、重视“过程方法”立意 新一轮数学课改已把“过程”作为一条重要的理念，新课标把“过程与方法”列为“三维目标”之一，近年来中考试题中“过程与方法”立意的试题已屡见不鲜，且备受专家学者们的关注和肯定。

  43. 以“平行四边形、矩形、菱形、正方形”的知识为载体的一道试题以“平行四边形、矩形、菱形、正方形”的知识为载体的一道试题 根据课本习题知：题目19：过平行四边形纸片的一个顶点，作一条线段，沿这条线段剪下这个三角形纸片，将它平移到右边的位置，平移距离等于平行四边形的底边长a，可得到一个矩形（如图1）。 （1）在图2的纸片中，按上述方法，你能使得所得的四边形是菱形吗？如果能，画出这条线段及平移后的三角形（用阴影部分表示）；如果不能，请说明理由。 （2）什么样的平行四边形纸片按上述方法，能得到正方形？画出这个平行四边形，并说明理由。

  44. 解答：①如图3，作AE=AD=a，将ΔABE平移至ΔDCF的位置，则四边形AEFD是菱形。解答：①如图3，作AE=AD=a，将ΔABE平移至ΔDCF的位置，则四边形AEFD是菱形。 ②当平行四边形的一边长等于这边上的高时，如图4中的a=h，则按上述方法得到的四边形是正方形。

  45. “数学活动过程”考查的主要方面包括： 数学活动过程中所表现出来的思维方式、思维水平，对活动对象、相关知识与方法的理解深度；从事探究与交流的意识、能力和信心等；能否通过观察、实验、归纳、类比等活动获得数学猜想，并寻求证明猜想的合理性；能否使用恰当的数学语言有条理地表达自己的数学思考过程。

  46. 四、深研课本，就地取材 “源与教材，高于教材”是多年来备受命题者推崇的命题理念，也是中考命题的成功经验之一，我们在编制中考复习题时不宜舍本求末，舍近求远，而应就地取材，注重应用新课程理念，对课本例、习题进行“再创造”，推陈出新，点石成金。

  47. 苏科版《数学》八年级（下）P．109习题10.5中的第5题苏科版《数学》八年级（下）P．109习题10.5中的第5题 题目20：如图1，在ΔABC中，AD是高，矩形PQMN的顶点P、N分别在AB、AC上，QM在边BC上。若BC=a，AD=h，且PN=2PQ，求矩形PQMN的长和宽（用含a、h的代数式表示）。

  48. 1、在原题的条件下，挖掘所求的结论 例1 如图1，一块铁皮呈锐角三角形，它的边BC=80 cm，高AD=60 cm，要把它加工成矩形零件，使矩形的长、宽之比为2∶1，并且矩形长的一边位于BC上，另两个顶点分别在边AB、AC上。 求:（1）这个矩形的周长；（2）这个矩形的面积；（3）ΔAPN的面积。

  49. 2、在改变原题的条件下，充分挖掘所 求结论 例2 如图2，一块铁皮呈锐角三角形，∠BAC=90°，要把它加工成矩形零件，使矩形长的一边位于BC上，另两个顶点分别在边AB、AC上。试问：PQ、BQ、CM之间有何关系？为什么？

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