Výukový materiál zpracován v rámci oblasti podpory 1.5 „EU peníze středním školám“

1. VY_32_INOVACE__04_PVP_197_Kli Výukový materiál zpracován v rámci oblasti podpory 1.5„EU peníze středním školám“

3. Pravděpodobnosti jevů

4. Pravděpodobnost jevu • je číselné vyjádření šance nebo možnosti, že tento jev nastane. • Úkol: Rozmyslete si, jakými různými způsoby lze vyjádřit pravděpodobnost, že při hodu kostkou padne líc. • Možnosti: • 1 : 2 (poměr, lze vyjádřit i zlomkem), • 0,5 (desetinné číslo od 0 do 1), • 50 % (v procentech od 0 % do 100 %). • Označení: pravděpodobnost jevu A zapisujeme P(A).

5. Klasická definice pravděpodobnosti • Jestliže má náhodný pokus n možných výsledků, které jsou všechny stejně pravděpodobné, je pravděpodobnost každého z nich . • Má-li náhodný pokus n možných výsledkůse stejnou pravděpodobností a jev A má n(A)příznivých výsledků, je pravděpodobnost jevu A definována jako podíl počtu příznivých výsledků jevu A a všech možných výsledků.

6. Určete počet všech možných výsledků Zadání Výsledek • Hod třemi různými mincemi. • Hod dvěma různými kostkami. • Tažení 6 čísel ze 49 (sportka). • Losování 2 otázek z 25. • Sestavení čtyřmístného kódu ze šesti číslic: • a) číslice se nemohou v kódu opakovat, • b) číslice se mohou v kódu opakovat.

7. Početní vyjádření pravděpodobnosti Počet všech možných výsledků a počet příznivých výsledků jsou vždy vyjádřeny pomocí přirozených čísel. Pravděpodobnost lze vyjádřit: • Zlomkem, kdy čitatel je vždy menší nebo roven jmenovateli. • Desetinným číslem z intervalu . • Pomocí procent (desetinné číslo vynásobíme 100). Poznámka: Pokud , popř. 0 % jedná se o jev nemožný. Pokud , popř. 100 %, jedná se o jev jistý.

8. Vypočtěte pravděpodobnost, že • A...Při hodu třemi různými mincemi padne na všech líc. Všech možných jevů je 8, příznivý je pouze jeden.Výpočet: • B...Při hodu dvěma různými kostkami padne součet 3. Všech možných jevů je 36, příznivé jsou 2.Výpočet: • C... Vyhraji ve sportce první pořadí (uhodnu 6 čísel).Výpočet:

9. Statistická definice pravděpodobnosti • vychází z opakování pokusu za nezměněných podmínek. Pokus opakujeme , přičemž jev A nastane . Tuto veličinu stejně jako ve statistice nazýváme četnost jevu a podíl relativní četností jevu. • Pokud bychom jev opakovali do nekonečna (což v praxi není možné), zjistili bychom, že relativní četnost jevu se blíží k hodnotě pravděpodobnosti, kterou spočítáme klasicky. Proto někdy v konkrétní úloze relativní četnost považujeme za pravděpodobnost.

10. Příklady využití statistické pravděpodobnosti • Pravděpodobnost narození chlapce či dívky v ČR lze určit pouze ze statistických údajů v průběhu let.Výsledek: pravděpodobnost narození chlapce je 0,516, tj. 51,6 %pravděpodobnost narození dívky je 0,484, tj. 48,4 % • Fyzikové experimentálně změřili rychlost světla ve vakuu (pokus nesčetněkrát opakovali a výsledky zaznamenali). Číslo, ke kterému se tyto hodnoty nejvíce přibližují, považují za pravděpodobnou rychlost světla ve vakuu. (299 792 458 metrů za sekundu) • Pokud podnik dlouhodobě sleduje poruchovost nějakého stroje (zaznamenává počet hodin bez poruchy a s poruchou), může vypočítat pravděpodobnost poruchovosti jako podíl hodin s poruchou a všech hodin.

11. Pravděpodobnost geometrická • Pokud množinou všech výsledků mohou být body v rovině nebo v prostoru, které tvoří například část roviny nebo prostoru a podmnožina A je také část roviny nebo prostoru, je pravděpodobnost přímo úměrná „velikosti“ této množiny. • Vzorec: , kde symbol vyjadřuje tzv. míru množiny. Touto mírou může být délka, obsah nebo objem tělesa.

12. Příklad Dva kamarádi se dohodnou, že si dají sraz mezi 8 a 9 hodinou na určitém místě. Budou na sebe čekat maximálně 10 minut a pak odejdou. Jaká je pravděpodobnost, že se potkají? Řešení: Okamžiků, kdy mohou přijít je teoreticky nekonečně mnoho v rozmezí 60 minut. Proto je nutné řešit geometricky. Na osách je zobrazena doba příchodu(každý na jedné ose). Vyšrafovaná částje prostor, ve kterém se sejdou, zbylé části, kdy se nesejdou. Pravděpodobnosturčíme jako poměr ploch.

13. Příklad Celá plocha: Vyšrafovaná plocha: Výpočet pravděpodobnosti: Odpověď: Pravděpodobnost, že se přátelé setkají je přibližně 30,6 %.

14. Použitá literatura: CALDA, Emil a DUPAČ, Václav. Matematika pro gymnázia. Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika. 5. vyd. Praha: Prometheus, 2008. 170 s. Učebnice pro střední školy. ISBN 978-80-7196-365-3. ROBOVÁ, Jarmila, HÁLA, Martin a CALDA, Emil. Komplexní čísla, kombinatorika, pravděpodobnost a statistika: matematika pro střední školy. 1. vyd. Praha: Prometheus, 2013. 235 s. Učebnice pro střední školy. ISBN 978-80-7196-425-4. Zdroje: Graf jsem vytvořila v programu Geogebra. Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu.