第四章根轨迹法

第四章根轨迹法 闭环系统的稳定性和性能指标主要由闭环系统的极点在复平面的位置决定，因此，分析或设计系统时确定出系统闭环极点的位置是十分有意义的。 1948年，伊文斯(W. R. Evans)提出了根轨迹法，这种方法是根据系统的开、闭环传递函数之间的关系，根据一些准则，直接由开环传递函数的零、极点求出闭环极点（闭环特征根）。

4.1 根轨迹的基本概念 一、根轨迹的定义根轨迹：是指系统开环传递函数中某个参数(如开环增益K)从零变到无穷时，闭环特征根在s平面上移动所画出的轨迹。常规根轨迹：当变化的参数为开环增益时所对应的根轨迹。广义根轨迹：当变化的参数为开环传递函数中其它参数时所对应的根轨迹。

系统的传递函数 其闭环传递函数则闭环特征方程为

解之，得闭环特征根表达式为 取K为不同值代入s1,2表达式，得

二、根轨迹与系统的性能 稳定性：只要K>0，则根轨迹在s平面的左半平面，因此，系统是稳定的。稳态性能：有一个开环极点在坐标原点处，所以该系统是I型系统，则K为静态速度误差系数。

动态性能： ①当0<K<0.5时，系统的闭环极点位于负实轴上，二阶系统处于过阻尼状态，单位阶跃响应为非周期过程。 ②当K=0.5时，二阶系统处于临界阻尼状态，单位阶跃响应也为非周期过程。 ③当K>0.5时，系统具有一对共轭复数极点，处于欠阻尼状态，单位阶跃响应为具有阻尼的振荡过程。

控制系统的结构图 其闭环传递函数式中G(s)H(s)为系统的开环传递函数。三、根轨迹方程 1. 开、闭环传递函数的零、极点表达式

将开环传递函数用其分子、分母多项式方程根的因式来表示，得将开环传递函数用其分子、分母多项式方程根的因式来表示，得开环传递函数开环传递函数的零、极点表达式 pi 为分母多项式方程的根，称作开环传递函数的极点。 zj 为分子多项式方程的根，称作开环传递函数的零点。 K* 称作根轨迹增益。

闭环传递函数 闭环传递函数的零、极点表达式 • 式中： • si 为闭环传递函数的极点，亦即闭环特征根。 • zj闭环传递函数的零点。 • K*称作闭环根轨迹增益。

2. 根轨迹方程 根轨迹是所有闭环特征根的集合。闭环系统的特征方程为 1+G(s)H(s) = 0 G(s)H(s) = -1 或写成上式就是根轨迹方程。

相角方程： 模值方程：

看出：模值方程与K*有关，而相角方程与K*无关。因此，相角方程是决定闭环根轨迹的充分必要条件，而模值方程是用来确定根轨迹上各点对应的K*值。看出：模值方程与K*有关，而相角方程与K*无关。因此，相角方程是决定闭环根轨迹的充分必要条件，而模值方程是用来确定根轨迹上各点对应的K*值。

4.2 绘制根轨迹图的基本法则 法则1 根轨迹的分支数： n 阶系统根轨迹有 n 条分支。法则2 根轨迹的对称性：根轨迹是关于实轴对称的。法则3 根轨迹的起点、终点：根轨迹起于开环极点 pi，终止于开环零点 zj(m条)，或趋于无穷远点(n-m条)。

证明：由根轨迹方程，得 令K* =0，得故

令，得 当，设，则

法则4 根轨迹在实轴上的分布： 实轴上根轨迹区段右侧的开环零点与开环极点数目之和为奇数。相反，如果右侧(实)零点与(实)极点数目之和为偶数，则试探点 si 所在区段不属于根轨迹。

证明：根据相角方程

法则5 根轨迹的渐近线： 当 n>m 时，将有(n-m)条根轨迹沿渐近线趋于无穷远处，其渐近线与实轴正方向的夹角为，与实轴交点坐标为。

常见 n-m＝1,2,3,4时渐近线的图像:

观察发现：渐近线条数为(n-m)条，而这些渐近线将s平面以 为中心进行等分，几个渐近线之间的夹角为，这样只要求出某一条渐近线与实轴的夹角，就很容易求出其它渐近线的位置。

法则6 根轨迹的分离点(或会合点)坐标sd： 两条或两条以上根轨迹在s平面上相遇后又立即分开的点，称为分离点。分离点满足方程：

根轨迹起始于开环极点，而终于开环零点。一般情况下，如果实轴上两相邻极点之间的线段属于根轨迹，那么这两个极点之间至少存在一个分离点；根轨迹位于实轴上两相邻开环零点之间(或其中一个零点是无穷远零点)，则两零点之间也至少存在一个分离点。

首先判断是否有分离点，然后确定分离点可能处的大概位置： • 实轴上 • 以共轭形式出现在复平面上一般是指位于实轴上的两条根轨迹的分离点。注意：开环零、极点位置的变化影响根轨迹的形状，要仔细把握。属于根轨迹区段上的点，才是分离点，否则舍掉。

证明：系统的闭环特征方程 根轨迹有分离点，说明闭环特征方程有重根。因此，

将上面两式相除，整理得

实轴上分离点的分离角为 ；实轴上会合点的会合角为。法则7 根轨迹的分离角(与会合角)：分离角是指根轨迹离开分离点处的切线与实轴正方向的夹角。会合角是指根轨迹进入会合点处的切线与实轴正方向的夹角。

分离角计算公式： 式中，sd－分离点坐标 zj－原系统的开环零点 si－K=Kd时除l个重极点外，其它(n-l)个原系统的闭环极点，即新系统的开环极点 l －分离点处根轨迹的分支数

式中，sd－分离点坐标 pi－原系统的开环极点 si－新系统时除l个重极点外，其它(n-l)个开环极点(原系统的闭环极点) l －分离点处根轨迹的分支数会合角计算公式：

一般情况下，两条根轨迹相遇又分开时，它们的会合角和分离角分别是０º、180º和90º、-90º，或者相反。这一规律具有一般性。可以证明： (1) 若分离角，则会合角 (2) 若分离角，则会合角

法则：若有l条根轨迹进入sd点，必有l条根轨迹离开sd点；l条进入sd点的根轨迹与l条离开sd点的根轨迹相间隔；任一条进入sd点的根轨迹与相邻的离开sd点的根轨迹方向之间的夹角为/l 。因此只要确定sd点的附近一条根轨迹方向，由上述规律就可以方便地确定sd点附近所有的根轨迹的方向。

法则8 根轨迹的起始角与终止角： 起始角是指根轨迹在起点处的切线与实轴正方向的夹角。终止角是指根轨迹进入开环零点处的切线与实轴正方向的夹角。

起始角的计算公式： 终止角的计算公式：

法则9 根轨迹与虚轴交点及临界根轨迹增益 根轨迹与虚轴相交，意味着闭环极点中有一对共轭虚根。因此，将 s=j 代入特征方程中就可求得 和K*，即根轨迹与虚轴交点的坐标及交点所对应的临界根轨迹增益Kcr。

将 s=j 代入特征方程中，得 1＋G(j )H(j ) = 0 令由上面的方程组，就可求得 和K*。

并设它的n个根为 法则10 闭环极点(根)的和与积设系统的闭环特征方程可写成则根据代数方程的根与系数的关系可知，有

把系统的传递函数写成

如果开环零、极点的数目满足n-m 2，则闭环特征方程为当m = 0，即没有开环零点时，上式左端最后一项应为

由此得到，系统闭环极点之和为 即闭环极点之和等于开环极点之和。系统闭环极点之积为或

[教材P126]例4-2 单位负反馈系统的开环传递函数为试绘出K*由0变动的根轨迹。 (1) 系统开环极点： p1=0, p2,3=-0.5j1, p4=-2.5 系统开环零点：z1=-1.5, z2,3=-2  j 解： (2) 实轴上(-1.5, 0)，(-, -2.5)为根轨迹段。

(4) 起始角与终止角： 同理，开环极点p3处的起始角： (3) 渐近线：由n-m=1可知，有一条根轨迹趋于无穷远处。

开环零点z2处的终止角： 同理，开环零点z3处的终止角：

例负反馈系统的开环传递函数 试作K(由0)变动的系统闭环根轨迹。解： • 开环极点：p1=0，p2= -1，p3= -2 • 无开环零点。

(2) n = 3 ，根轨迹有3条分支； (3) K = 0时，根轨迹起始于p1 ， p2 ，p3 K 时，皆趋于无穷远处； (4) 实轴上的根轨迹区段： (-1, 0)，(-, -2)

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