Zeros de Funções - PowerPoint PPT Presentation

zeros de fun es n.
Download
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
Zeros de Funções PowerPoint Presentation
Download Presentation
Zeros de Funções

play fullscreen
1 / 29
Zeros de Funções
285 Views
Download Presentation
ardice
Download Presentation

Zeros de Funções

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript

  1. Zeros de Funções

  2. Métodos Iterativos - Zeros • Método da Bissecção OK • Método da Posição Falsa OK • Método do Ponto Fixo • Método de Newton-Raphson • Método da Secante

  3. Método do Ponto Fixo (MPF) • Seja contínua em , intervalo este contendo uma raiz da equação . • O MPF consiste em transformar esta equação em uma equação equivalente e a partir de um gerar uma seqüência de aproximações para através da relação =>Processo Recursivo

  4. Método do ponto fixo (MPF) • Exemplo1. Considere a equação • Possíveis funções de iterações

  5. Método do ponto fixo (MPF) • Forma geral das funções de iteração: com a condição . Exemplo:

  6. Método do ponto fixo (MPF) • As raízes da equação são e . Consideremos e a função de iteração . Tomando , temos não está convergindo para

  7. Método do ponto fixo (MPF) x2 x1 x0 y=6-x2

  8. Método do ponto fixo (MPF) • Consideremos agora a função de iteração com está convergindo para

  9. Método do ponto fixo (MPF) x2 x1 x0 x0 x1

  10. Método do ponto fixo (MPF) • Teorema: Seja uma raiz da equação , isolada num intervalo I centrado em . E seja uma função de iteração de . Se (i) e são contínuas em I, (ii) e (iii) , então converge para .

  11. Método do ponto fixo (MPF) • Demonstração do teorema MPF: • 1ª parte: se , então . Se , então: . Do Teorema do Valor Médio, se é contínua e diferenciável, então: Obs: O intervalo seguinte é menor e centrado em .

  12. Método do ponto fixo (MPF) • Demonstração do teorema MPF: • 2ª parte:Provar que . Obs: Como , então .

  13. Estudo da Convergência do MPF • Estudo da raiz da equação quando consideramos a função de iteração • A- e contínuas. • B- . Não existe intervalo em torno de que satisfaça a condição do teorema MPF.

  14. Estudo da Convergência do MPF • Estudo da raiz da equação quando consideramos a função de iteração • A- e contínuas se . Em torno de condição satisfeita. • B- No intervalo em torno de a condição do teorema MPF é satisfeita.

  15. Método do ponto fixo (MPF) • Critérios de Parada do MPF Critério 1: Critério2:

  16. Método do ponto fixo (MPF) • Exemplo do critério de parada do MPF • Seja a função com equação equivalente , e .

  17. Método do ponto fixo (MPF) • Ordem de convergência Seja uma seqüência que converge para e seja o erro na iteração . Se existir um número e uma constante , tais que Então é chamada de ordem da convergência e é a constante assintótica.

  18. Método do ponto fixo (MPF) • Ordem de convergência do MPF Vimos que no MPF para que haja convergência. Obs1: O MPF converge linearmente. Obs2: A convergência é mais rápida quanto menos for o valor de .

  19. Método Newton-Raphson (MNR) Vimos que no MPF, para que haja convergência, 1: e 2: a convergência é mais rápida quanto menos for o valor de . O MNR é MPF com convergência acelerada. Consiste em escolher tal que .

  20. Método Newton-Raphson (MNR) Temos para o Método de Newton-Raphson

  21. Método Newton-Raphson (MNR) Exemplo do Método de Newton-Raphson. Seja a função com . Seja . Do MNR devemos escolher a função equivalente Obtemos • A convergência do MNR é mais rápida que aquela do MPF

  22. Método Newton-Raphson (MNR) Teorema: Sejam contínuas num intervalo que contem a raiz de . Suponha que , então existe um intervalo contendo a raiz , tal que se , a seqüência gerada pela fórmula recursiva , convergirá para a raiz.

  23. Método Newton-Raphson (MNR) • Ordem de convergência do MNR Suponha que o MNR gere uma seqüência que converge para . A ordem de convergência do MNR é quadrática. Comentário: A ordem de convergência do MPF é linear, mas o fato da exigência de , faz a convergência do MNR ser quadrática.

  24. Método da Secante No método de Newton há a necessidade de calcular e o seu valor numérico a cada Iteração. Esta é uma desvantagem do MNR. O Método da Secante substitui a derivada pela secante. Assim Note que são necessárias duas aproximações para iniciar o Método da Secante.

  25. Método da Secante Exemplo do Método da Secante Seja a função com . Seja e . Do Método da Secante obtemos a seqüência

  26. Método da Secante Ordem de Convergência do Método da Secante Mostra-se que a ordem de convergência do Método da Secante é maior que aquela do MPF (p=1) e menor que aquela do MNR (p=2). Verifica-se que a ordem de convergência do Método da Secante é p=1.618 ...

  27. Comparação dos Métodos • O MPF, MNR e MS têm convergência mais rápida que os Métodos da Bissecção e da Posição Falsa, considerando apenas o número de iterações. • Por outro lado, o MNR é aquele que efetua o maior de operações, pois calcula o valor da derivada de f(x) a cada iteração. • O esforço computacional depende do número de operações efetuadas a cada iteração, a complexidade destas operações, de número de decisões lógicas, do número de avaliações de funções a cada iteração e do número de iterações.

  28. Comparação dos Métodos No caso geral, não há método melhor!!!!! Obs: Se o cálculo da derivada de f(x) não for muito elaborado, o MNR é indicado, caso contrário o MS é aconselhável.

  29. Exercícios Resolver os seguintes exercícios do capítulo 2 2, 5, 10, 16, 19