第一章初等函数

第一章初等函数

第一节实数 • 一、集合 • 一个集合S是包括指某些个体的总和. 集合S中每一个个体称为集合S的元素. • 若a是S的元素,则称a∈S,读作“a属于S”. • 如果a不是集合S的元素,记为aS，读作“a不属于S”. • 集合的表示方法一般有列举法和描述法. • 例:考察下列元素0,1,2,3,4,5组成的集合 • 用列举法可以表示成S={0,1,2,3,4,5}. • 用描述法可以表示成S={小于6的非负整数}.

我们应当注意: • (1)集合中的每一个元素只能出现一次,不考虑顺序. • (2)空集与集合{}是两个不同概念. • (3){a}与单个元素a也是两个不同概念. • 前面我们说到元素与集合之间是属于关系，而集合与集合之间是包含与被包含的关系. • 例如:集合A={1,2},集合B={1,2,3,4}.每个A中元素都属于B,则称A包含于B,或B包含A.记作.或.又称A是B的子集.

空集是不包含任何元素的集合,记作.它是任何集合的真子集.空集是不包含任何元素的集合,记作.它是任何集合的真子集. • 对于A,B两个集合,由这两个集合中的所有元素组成的集合称为A与B的并集.记作A∪B.若A,B集合中所有公共元素构成的集合称为A与B的交集.记作A∩B. • 例如:{1,2,3,5}∪{1,3,5,7,9}={1,2,3,5,7,9} • {1,2,3,5}∩{1,3,5,7,9}={1,3,5}

二、实数与数轴 • 数轴是研究实数的重要工具，实数的许多性质通过数轴表现出来，对于任意一个实数，均可在数轴上找到唯一的一个点与它对应，反之数轴上的每一个点也唯一的与每一个实数相对应，即存在一一对应的关系.实数这种能与数轴上的点一一对应的特点称之为实数的连续性,而任何整数在数轴上有点与其对应,但数轴上的点并不都是整数,这说明整数是不连续的. • 数轴的建立,我们一般可先在一条水平直线上找一点0,称为原点,在直线右端加一箭头表示数轴的正方向,再取一单位长度并在数轴上标明刻度.

对于实数我们一般分为有理数与无理数，人们将所有能够表示成（是整数，互质）的实数称之为有理数,而其余不能如此表示的实数称之为无理数.例如:，等这样的无限不循环小数是无理数.而有限小数及无限循环小数等属于有理数.对于实数我们一般分为有理数与无理数，人们将所有能够表示成（是整数，互质）的实数称之为有理数,而其余不能如此表示的实数称之为无理数.例如:，等这样的无限不循环小数是无理数.而有限小数及无限循环小数等属于有理数. • 通常我们用R表示全体实数集,表示全体有理数集, 表示全体无理数集,表示全体整数集,表示全体自然数集.

三、实数的绝对值 • 实数的绝对值是数学中经常用到的概念,设一实数,用记的绝对值,其定义如下:

四、区间与邻域

第二节函数

一、函数的概念 • 1. 函数的定义 • 定义1设x与y是某一变化过程中的两个变量，D是一个非空数集，如果对于任意的，按照某个对应关系f，变量y总有唯一确定的值与其对应，则称f是定义在数集D上的x的函数，或简称y是x的函数，记作

f: D→R或 y = f (x)，x∈D • 数集D称为函数的定义域，x叫做自变量，y叫做因变量. • 当自变量x取某一个确定的数值x0时，因变量y所得到的确定值称为函数y = f(x)在x0点的函数值，表示为f (x0). 图1.1 • 当自变量x在定义域内取遍每个数值时，对应函数值的集合称为函数的值域，记作M={ y | y=f (x)，}.

2.确定函数的两个要素 • 确定函数的两个要素有函数的定义域D和对应法则f. 只有当两个函数的定义域和对应法则都相同时，才认为两个函数是相同的，而与自变量或因变量用什么字母表示无关. 因此，在研究函数时，除了确定的对应法则之外，还要明确函数的定义域.

如y = x2，x ∈(0，+∞)与g = t2，t∈(0，+∞)表示同一函数，它们的定义域均为全体正数，对应法则都是将自变量的取值进行平方运算. • 确定两个函数是否为同一函数关键应抓住： • 定义域：自变量的变化范围D应相同; • 对应法则：因变量与自变量的对应法则应相同; • 若以上两点有任一一点不成立时,那么这两个函数一定不会是同一函数. • 当然有时也应可以考虑值域，若值域不同，则这两个函数也不是同一函数. • 值域和定义域都相同时并不能确定这两个函数是否为同一函数.

在通常情况下，函数的定义域并不明确标出，此时函数的定义域是使相应的数学表达式有意义的自变量取值的集合. • 求函数的定义域时应遵守以下规则： • （1）代数式中的分母不能为零； • （2）偶次根式内表达式非负； • （3）对数运算中真数的表达式大于零； • （4）反正弦函数和反余弦函数符号后的表达式要在[-1，1]之间取值； • （5）表示实际问题的解析式应该符合实际意义.

二、函数的表示 • 我们已经知道，根据问题的不同特点，函数可以用公式法、表格法、图示法等方法来表示. 为了研究方便，不同表示法还可以组合使用. 在高等数学中，函数还有以下的表示方式.

2.分段函数 • 在自变量的不同取值范围内，对应关系用不同的解析式来表示的函数称为分段函数.

例旅客乘坐火车可免费携带不超过20kg的物品，超过20kg而不超过50kg的部分每1 kg交费a元，超过50kg的部分每1 kg交费b元，求运费与携带物品质量的函数关系. • 解设物品质量为x kg，运费为y元，依题意，y与x的函数关系应考虑3种情况： • （1）物品质量不超过20kg时， • y =0，0≤x≤20 • （2）物品质量超过20kg而不超过50kg时， • y =a(x-20)，20＜x≤50 • （3）物品质量超过50kg时， • y =a(50-20)+b(x-50)，x∈(20，50]

三、函数的几种特性 • 在研究函数的变化规律时，经常需要考虑函数的部分性质，这些性质都与函数的几何图形有关，有时也称为函数的几何特性.

1.有界性 • 定义2若存在正数M，使得函数f (x)在区间I上恒有|f (x)| ≤M，则称函数f (x)在区间I上有界；否则，若不存在这样的正数M，则称函数f (x)在区间I上无界. • 在定义域内有界的函数称为有界函数， • 如等都是有界函数.

图1.3 • 函数f (x)在（a, b）内有界，在图形上表现为f(x)在（a, b）内的一段图像必介于两条平行线y =-M和y =M之间，如图1.3所示.

2. 单调性 • 定义3 对于函数f(x)在区间I上的任意两点x1,x2，当x1＜x2时， • 若有，则称在区间上单调递增； • 若有，则称在区间上单调递减.

3.奇偶性 • 定义4设函数在关于原点对称的区间上有定义， • 若满足，则称为奇函数； • 若满足，则称为偶函数. • 奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称.

性质1 设所考虑的函数在上有定义,则有 • (1)两个偶函数之和、之积为偶函数; • (2)两个奇函数之和为奇函数之积为偶函数; • (3)一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数.

4.周期性 • 定义5对于函数，如果存在一个非零常数，对一切均有，则称函数为周期函数，并把称为的周期. 通常讲的函数周期指的是函数的最小正周期. • 例如，在三角函数中，y = sin x、 y = co s x都是以为周期的周期函数，而、则是以为周期的周期函数. 常数函数是以任意正数为周期，且没有最小正周期.

四、基本初等函数 • 定义6幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数统称为基本初等函数.

5.反三角函数 • 反三角函数包括反正弦函数、反余弦函数、反正切函数及反余切函数. • 基本初等函数在高等数学中占有非常重要的地位，是进一步学习高等数学的基础，我们应该熟练掌握这些函数的定义形式、简单性质和函数图像. • 将基本初等函数和常数进行有限次四则运算所得到的函数称为简单函数.

五、反函数

因此反函数有下列性质 • (1)反函数的定义域为原函数的值域,反函数的值域是原函数的定义域; • (2)原函数与反函数单调性相同; • (3)原函数与反函数的图像在同一坐标系内是关于直线对称的.

六、复合函数 • 定义8设函数y = f(u)的定义域为U1，u=g(x)的值域为U2，如果U1 ∩U2≠Φ，对于变量x，通过函数u=g(x)和y=f(u)，则有确定的y与之对应，从而得到一个以x为自变量、以y为因变量的函数，称其为由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的复合函数，记为 • y = f [g(x)]. • 称变量u为中间变量, u=g(x)叫做内层函数, y=f(u)为外层函数.

如y = u2和u=sin x复合而成的复合函数为y = sin2 x，而y= sin u和u = x2复合而成的复合函数为y = sin x2. • 注意，并不是任意两个函数都可以构成复合函数. 例如，函数y = 与u=2+x2就不能复合成一个复合函数，因为y=的定义域为[-1，1]，而u=2+x2的值域为[2，+∞）.

在可能的情况下，更多的函数也可以构成复合函数，此时的中间变量为两个或更多. • 对于复合函数，应该明确其复合与分解的过程. 函数的复合就是把中间变量依次代入的过程，而分解就是把复合函数分解为几个简单函数，而这些简单函数往往都是基本初等函数，或者是基本初等函数与常数的四则运算的形式.

七、初等函数

八、非初等函数举例

第一章 初 等 函 数