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正、余弦定理

正、余弦定理. 一、正余弦定理的表达式. 1 、正弦定理. 2 、余弦定理. a 2 =b 2 +c 2 -2bccosA. cosA=. b 2 =a 2 +c 2 -2accosB. cosB=. C 2 =a 2 +b 2 -2abcosC. cosC=. 二、解三角形. 1 、正弦定理. （ 1 ）已知两角和任意一边 （ 2 ） 已知两边和其一对角. 2 、余弦定理. （ 1 ）已知三边 （ 2 ）已知两边和夹角. 三、解的情况. （ 1 ）已知两角和任意一边 （ 2 ） 已知两边和其一对角. AAS ASA. （ 3 ）已知三边

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Presentation Transcript

  1. 正、余弦定理

  2. 一、正余弦定理的表达式 1、正弦定理 2、余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA cosA= b2=a2+c2-2accosB cosB= C2=a2+b2-2abcosC cosC=

  3. 二、解三角形 1、正弦定理 （1）已知两角和任意一边 （2） 已知两边和其一对角 2、余弦定理 （1）已知三边 （2）已知两边和夹角

  4. 三、解的情况 （1）已知两角和任意一边 （2） 已知两边和其一对角 AAS ASA （3）已知三边 （4）已知两边和夹角 SSS SAS

  5. （2） 已知两边和其一对角 已知：三角形ABC,a,b,A 当A是锐角时： a＜ bsinA, 无解 a=bsinA或 a≥ b 一解 b＞ a ＞ bsinA, 两解 当A是钝角，直角时： a＞ b 一解； a≤ b 无解。

  6. 例、1讨论下列各题解的情况 (1)b=30, c=15,C=260 (2)b=10,A=450,B=600 (3)a=60,c=48,B=600 (4)a=7,b=5,A=800 (5)a=14,b=16,A= 450 (6)A=1200,a=2,b=1 (7)A=900,a=3,b=4

  7. 四、正弦定理的变形 （2）asinB=bsinA （1） bsinC= csinB asinC=csinA

  8. （4） （3）边角分离 （5）a:b:c=sinA:sinB:sinC

  9. 五、三角形的面积及常用关系式 1，面积 (1) (2) (3) (4) r为△内切圆半径

  10. 2,常用关系式 (1)A+B+C=π (2) sin(A+B)=sinC cos(A+B)=－cosC (3)

  11. 六、已知△边角关系，判断其形状 例1，在△ABC 中，若 判断三角形的形状。 例2，在△ABC 中， 已知（a+b+c)(b+c-a)=3bc,且sinA=2sinBcosC,判断三角形的形状。

  12. 已知△边角关系，判断其形状 1，基本思想 （1）化边为角：在进行三角恒等变换，求出其他角之间的关系式。 （2）化角为边：再进行代数恒等变换，求出三边的关系。 2，应用知识 正余弦定理，三角形内角和定理 简称：“边角分离，三定理联合出击”

  13. 练习： 1，设△ABC 的三内角A，B，C成等差数列，三边a,b,c成等比数列，判断三角形的形状。 2，设a,b,c 分别是三角形ABC的角A， B，C，的对边，若方程： Bx2-(A+C)x+B=0,有两个相等的实根，且acosC=ccosA,判断三角形的形状。

  14. 七，已知三角形形状， 讨论边的取值范围。 2 △ABC为直角三角形（c>a>b）

  15. △ABC为钝角三角形（c>b>a） △ABC为锐角三角形（c>b>a） 任意△ABC为锐角三角形

  16. 例1，a ,a+1,a+2构成钝角三角形，求a 的取值范围。 例2，锐角三角形的三边长为2,x,3， 求x的取值范围。 练习： 三条线段长度为2,x,6 (1)求构成直角三角形时，x的取值范围 (2)求构成锐角三角形时，x的取值范围 (3)求构成钝角三角形时，x的取值范围

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