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第 6 讲

( 必修 1) 第二章 基本初等函数 (Ⅰ). 第 6 讲. 对数与对数函数. 理解对数的概念及其运算性质；了解对数换底公式，能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数的概念；理解对数函数的性质，会画指数函数的图象；了解指数函数与对数函数互为反函数. 1. log 2 sin +log 2 cos 的值为 ( ). D. A.-4 B.4 C.2 D.-2.

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第 6 讲

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  1. (必修1) 第二章 基本初等函数(Ⅰ) 第6讲 对数与对数函数

  2. 理解对数的概念及其运算性质；了解对数换底公式，能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数的概念；理解对数函数的性质，会画指数函数的图象；了解指数函数与对数函数互为反函数.理解对数的概念及其运算性质；了解对数换底公式，能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数的概念；理解对数函数的性质，会画指数函数的图象；了解指数函数与对数函数互为反函数.

  3. 1.log2sin +log2cos 的值为( ) D A.-4 B.4 C.2 D.-2 2.函数f(x)=logax(a>0,a≠1),若f(x1)-f(x2)=1,则f(x12)-f(x22)等于( ) A A.2 B.1 C.12 D.loga2 由f(x)=logax知f(x12)-f(x22)=2[f(x1)-f(x2)]=2.

  4. 3.函数y=log (x2-2x)的定义域是 ,单调递减区间 是. (-∞,0)∪(2,+∞) (2,+∞) 4.函数f(x)=ax+loga(x+1)在[0,1]上的最大 值和最小值之和为a,则a的值是. 由已知得,a0+loga1+a1+loga2=a loga2=-1 a= .

  5. 5.已知f(x)=|log3x|，则下列不等式成立的是( ) C A.f( )>f(2) B.f( )>f(3) C.f( )>f( ) D.f(2)>f(3) 作函数f(x)=|log3x|的图象，可知f(x)在（0，1）上单调递减，选C.

  6. 1.对数 (1)一般的，如果ax=N(a>0且a≠１)，那么数x叫做①，记作②,其中a叫做对数的③,N叫做④. (2)以10为底的对数叫做⑤,记作⑥. (3)以e为底的对数叫做⑦,记作⑧. 以a为底N的对数 x=logaN 底数 真数 常用对数 lgN 自然对数 lnN

  7. 11 12 13 0 (4)负数和零没有对数;loga1=⑨, logaa=⑩. 2.对数的运算性质 (1)如果a>0且a≠１,M>0,N>0,那么 ①loga(M·N)= ; ②loga = ; ③logaMn= . 1 logaM+logaN logaM-logaN nlogaM

  8. 14 15 (2)对数的换底公式及恒等式 ①logab= (a>0且a≠１,c>0 且c≠１,b>0); ②alogaN=N(a>0且a≠１)； ③loganbm= logab(a>0且a≠１,m、n∈N*). 3.对数函数 一般的,我们把函数 (a>0且a≠１)叫做对数函数,其中x是自变量，函数的定义域为 . y=logax (0,+∞)

  9. 4.对数函数的图象与性质

  10. 16 17 18 19 20 21 y<0 y>0 y>0 y<0 增函数 减函数

  11. 22 23 5.反函数 指数函数y=ax(a>0且a≠１)与对数函数y=logax(a>0且a≠１)互为 ,它们的图象关于直线 对称，指数函数y=ax(a>0且a≠１)的定义域为{x|x∈R}，值域为{y|y>0},对数函数y=logax(a>0且a≠１)的定义域为{x|x>0}，值域为{y|y∈R}. 反函数 y=x

  12. 题型一 指数、对数函数的运算问题 例1 指数、对数函数的运算问题 ( )x(x≥4) f(x+1) (x<4),则f(log23)= ; (2)设3a=4b=36,则 + = . (1)设函数f(x)= 1

  13. （1）因为log23<2， 所以f(log23)=f(1+log23)=f(2+log23)= f(3+log23)=( )3+log23=( )3·( )log23= × = . （2）由3a=4b=36得a=log336,b=log436,再根据换底公式得 a=log336= ,b=log436= . 所以 + =2log363+log364=log36(32×4)=1.

  14. 题型二 对数函数的性质问题 例2 已知函数f(x)=lg (k∈R且k>0)，若函数f(x)在［10,+∞)上单调递增，求k的取值范围. 这是一道含参数的对数结构的复合函数问题，根据函数f(x)的增减性，分析出真数的范围，转化为对数函数的大小比较问题.

  15. 1 10 因为函数f(x)在［10,+∞)上单调递增, 所以 >0，即k> . 又f(x)=lg =lg(k+ ), 对任意的x1、x2,当10≤x1<x2时,有f(x1)<f(x2), 即lg(k+ )<lg(k+ ), 得 < ,即(k-1)( - )<0, 又因为 > ,所以k<1. 故k的取值范围为( ,1).

  16. 题型三 指数、对数函数的综合问题 设f(x)=log 为奇函数，a为常数. （1）求a的值； （2）求证：f(x)在(1,+∞)内单调递增； （3）若对于[3,4]上的每一个x的值，不等式f(x)>( )x+m恒成立，求实数m的取值范围. 例3

  17. (1)因为f(x)是奇函数，所以f(-x)=-f(x) log =-log  = >0 1-a2x2=1-x2 a±1. 经检验，a=-1（a=1舍去）. （2）定义法. 任取x1>x2>1，所以x1-1>x2-1>0， 所以0< <  < log >log ,即f(x1)>f(x2)，所以f(x)在（1，+∞)上单调递增.

  18. （3）对于[3,4]上的每一个x的值，不等式f(x)>( )x+m恒成立 f(x)-( )x>m恒成立. 令g(x)=f(x)-( )x， 由（2）知，g(x)在[3,4]上是单调递增函数， 所以m<g(3)=- ,即m的取值范围是(-∞,- ).

  19. 1.比较两个对数的大小的基本方法是构造相应的对数函数，若底数不相同时，可运用换底公式化为同底数的对数，还要注意与0比较或与１比较.1.比较两个对数的大小的基本方法是构造相应的对数函数，若底数不相同时，可运用换底公式化为同底数的对数，还要注意与0比较或与１比较. 2.把原函数作变量代换化归为二次函数，然后用配方法求指定区间上的最值是指数函数与对数函数的常见题型.

  20. 3.解含对数的函数问题时要首先考虑定义域，去掉对数符号要注意其限制条件，注意在等价转化的原则下化简、求解，对含参数问题注意分类讨论.3.解含对数的函数问题时要首先考虑定义域，去掉对数符号要注意其限制条件，注意在等价转化的原则下化简、求解，对含参数问题注意分类讨论.

  21. 课后再做好复习巩固. 谢谢！ 再见！

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