第一节 分拆的计数 第二节 完备分拆

1. 第五章 整数的分拆 第一节 分拆的计数 第二节 完备分拆

2. 学习指导 第一节 分拆的计数 学习完本节内容，你会了解以下内容： 1．清楚与整数的分拆问题等价的问题及类似的三个问题及其求解； 2．理解整数的分拆的定义；掌握分拆计数的两个递推公式及证明； 3．会求部分数为1，2，3，4等情况的分拆个数； 4．会将某些特殊的整数分拆问题转化成一般的整数分拆问题.

3. 1．问题的引入 问题1：把 个相异的小球放到 个相异的盒子里， 使得无一个盒子空，有多少种不同的放法数？ 个相同的盒子里， 问题2：把 个相异的小球放到 使得无一个盒子空，有多少种不同的放法数？ 问题3：把 个相同的小球放到 个相异的盒子里， 使得无一个盒子空，有多少种不同的放法数？ 个相同的小球放到 个相同的盒子里， 问题4：把 使得无一个盒子空，有多少种不同的放法数？

4. 问题1：把 个相异的小球放到 个相异的盒子里， 使得无一个盒子空，有多少种不同的放法数？ 问题2：把 个相异的小球放到 个相同的盒子里， 使得无一个盒子空，有多少种不同的放法数？ 问题3：把 个相同的小球放到 个相异的盒子里， 使得无一个盒子空，有多少种不同的放法数？ 个相同的小球放到 个相同的盒子里， 问题4：把 使得无一个盒子空，有多少种不同的放法数？ 答案：

5. 2．问题的一般化 问题1：把 个相异的小球放到 个相异的盒子里， 使得无一个盒子空，有多少种不同的放法数？ 个相同的盒子里， 问题2：把 个相异的小球放到 使得无一个盒子空，有多少种不同的放法数？ 问题3：把 个相同的小球放到 个相异的盒子里， 使得无一个盒子空，有多少种不同的放法数？ 个相同的小球放到 个相同的盒子里， 问题4：把 使得无一个盒子空，有多少种不同的放法数？

6. 问题1：把 个相异的小球放到 个相异的盒子里， 使得无一个盒子空，有多少种不同的放法数？ 方法：先分组再排列（第一章）；或容斥原理(第二章，P48)；或指数生成函数(第四章，P140)等. 答案：

7. 个相同的盒子里， 问题2：把 个相异的小球放到 使得无一个盒子空，有多少种不同的放法数？ 参见第二类Stirling数的组合意义(第三章，P108). 答案： 注：问题2与问题1的联系.

8. 问题3：把 个相同的小球放到 个相异的盒子里， 使得无一个盒子空，有多少种不同的放法数？ 此问题等价于不定方程 的正整数解的个数. 参见不定方程的正整数解数的计数公式(第一章，P20). 或者用常生成函数的方法求（第四章，P121-125). 答案：

9. 与问题1，2，3相关的练习题 • 把10个师范大学毕业生分到3所中学实习，使得每所学校至少3人，有多少种不同的分法？ • 把8个人分成3组，每组至少2人，有多少种不同的分法？ • 把15个一样的（即不可分辩的）足球分给3个小朋友，每人至少3个，有多少种不同的分法？

10. 3．问题4的等价问题 使得 选取 个正整数 求不同的选取方法数. 个相同的小球放到 个相同的盒子里， 问题4：把 使得无一个盒子空，有多少种不同的放法数？ 此问题等价于不定方程 的无序正整数解的个数. 或等价于研究如下的整数分拆问题：

11. 4．正整数分拆的定义 个正整数， 定义5.1：设 是 如果 则称分解式 称为该分拆 一个部分数为r的n-分拆， 以 表示部分数为r的n-分拆的个数. 为n的一个恰有r个部分的（无序)分拆，或称其为 的一个部分.

12. 对定义的理解 • 1．求部分数为3且没有一个部分等于1的15－分拆的个数. • 2．把24颗水果糖分成5堆，每堆至少有3颗糖，有多少种分法？

13. 5．两个递推公式

14. 作业： • 把10件彼此相异的物件分给3个人，使得每人至少分得3件物件，有多少种不同的分法？ • 把8个人分成3组，每组至少2人，有多少种不同的分法？ • 把15个一样的（即不可分辩的）足球分给3个小朋友，每人至少3个，不同的分法共有多少种？ • 部分数为3且没有等于1的部分的15-分拆的个数是多少？ • 求 的值.