slide1 n.
Download
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
טריגונומטריה - חישובים במרחב PowerPoint Presentation
Download Presentation
טריגונומטריה - חישובים במרחב

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 87

טריגונומטריה - חישובים במרחב - PowerPoint PPT Presentation


  • 252 Views
  • Uploaded on

טריגונומטריה - חישובים במרחב. שיעור מס. 1 udiomer@netvision.net.il. תפריט. סוגי גופים במרחב. משפטים. הגדרות. מנסרה ישרה. המישור. ישר ומישור. תיבה. שני מישורים. מנסרה משולשת. משופעים והיטלים. פירמידה ישרה. הגדרות. מישור. הגדרת המישור.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about 'טריגונומטריה - חישובים במרחב' - aradia


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
slide1

טריגונומטריה - חישובים במרחב

שיעור מס. 1

udiomer@netvision.net.il

slide2
תפריט

סוגי גופים במרחב

משפטים

הגדרות

מנסרה ישרה

המישור

ישר ומישור

תיבה

שני מישורים

מנסרה משולשת

משופעים והיטלים

פירמידה ישרה

slide5
הגדרת המישור

המישור הוא חלק מהמרחב. המישור מוגדר בעזרת תכונותיו:

  • כל ישר המחבר שתי נקודות הנמצאות במישור, נמצא כולו בתוך במישור
  • המישור איננו מוגבל
  • המישור מחלק את המרחב לשני חלקים, כך שלא ניתן לעבור מחלק אחד לחלק שני מבלי לחתוך את המישור

B

A

slide6

A

B

A

C

C

B

D

A

C

B

A

C

D

B

קביעת המישור

המישור נקבע באופן חד-ערכי בעזרת אחת מהדרכים הבאות:

slide7
המצב ההדדי של שני ישרים
  • מקבילים – שני ישרים שאינם חוצים זה את זה ואשר נמצאים במישור אחד
  • נחתכים – שני ישרים שחותכים זה את זה ואשר נמצאים במישור אחד
  • מצטלבים – שני ישרים שנמצאים על מישורים מקבילים , אך הישרים עצמם אינם מקבילים זה לזה.
slide8

עקב

המצב ההדדי של ישר ומישור

האפשרויות היחידות למצב ההדדי בין ישר למישור הן:

  • ישר מקביל למישור – לישר ולמישור אין אף נקודה משותפת
  • ישר החותך את המישור – לישר ולמישור נקודה משותפת אחת, הקרויה עקב הישר על המישור
  • הישר שייך למישור – כל נקודות הישר נמצאות על מישור
slide9
סימון מישורים
  • בדומה לאותיות, מישורים מסומנים ע"י אותיות לטיניות גדולות. (בדר"כ ע"י אותיות "מרוחקות" יותר ב-ABC)
  • ישרים מסומנים ע"י צמד אותיות או ע"י אות לטינית קטנה

S

R

P

Q

A

a

B

slide10
המצב ההדדי של שני מישורים

S’

R’

  • מישורים מקבילים – לשני המישורים אין אף נקודה משותפת
  • מישורים נחתכים – לשני המישורים ישר משותף, הנקרא ישר החיתוך של המישורים.

S

R

P’

Q’

P

Q

R’

S

R

Q’

Q

P

slide12

q

B

B

E

E

A

A

O

C

p

המצב ההדדי של שני מישורים – משפט 1

אם לשני מישורים יש נקודה משותפת, אזי יש להם ישר משותף.

q

O

p

slide13

A

A

C

C

B

B

מקבילים במרחב – משפט 2

דרך כל נקודה שמחוץ לישר נתון, אפשר להעביר רק ישר מקביל אחד לישר הנתון.

x

x

A

A

A

A’

C

B

B

B’

P

P

P

מצטלב

מקביל

חותך

slide14
מקבילים במרחב- משפט 3

שני ישרים המקבילים כל אחד לישר שלישי, מקבילים זה לזה.

C

אם AB||CD וגם AB||EF

אזי: CD||EF

F

B

D

P

Q

A

E

slide15
***משפט 4: מקבילים במרחב

ע"י בניית העזר יוצרים שני משולשים וחופפים אותם

ע"פ צ.צ.צ

שלבי החפיפה:

מוכיחים שקיבלנו3 מקביליות

ABCD

AEBF

CDEF

שתי זוויות במרחב ששוקיהן מקבילות בהתאמה, שוות זו לזו או משלימות זו את זו ל-°180

C

E

אם a||c וגם b||d

אזי: <A = <B

b

a

A

F

D

d

c

B

slide17
משפט 5 (גם ההפוך נכון)

אם ישר שאינו שייך למישור מקביל לאחד הישרים במישור, אזי הישר מקביל למישור

D

נתון: p, AB במישור p

אם CD||AB

אזי: CD||p

Q

P

B

C

A

slide18

D

***משפט 6

ישר מחוץ למישור, המאונך לשני ישרים במישור העוברים דרך עקבו, מאונך לכל הישרים העוברים דרך עקבו.

A

אם:

AO┴OB , AO┴OC

אז:

AO┴OD

O

C

B

slide19
הגדרה: ישר מאונך (ניצב) למישור

ישר, החותך את המישור, ומאונך לכל ישר במישור העובר דרך עקבו, נקרא ישר מאונך (ניצב) למישור

ישר

מישור

P

תנאי הכרחי ומספיק לישר מאונך למישור - הישר מאונך לשני ישרים במישור העוברים דרך עקבו (משפט 6)

slide20
***משפט 7

כל האנכים לישר באחת מנקודותיו נמצאים במישור אחד.

אם :

a┴b, a┴c , a┴d

a, b, c, d נחתכים בנקודה O.

אז:

b, c, d נמצאים במישור אחד

a

d

O

b

c

P

מסקנה: דרך כל נקודה שעל קו ישר, אפשר להעביר רק מישור אחד המאונך לישר

slide21

P

משפט 8

דרך כל נקודה שמחוץ לישר, אפשר להעביר רק מישור אחד המאונך לישר.

A

a

slide22

B

C

משפט 8 - הוכחה

דרך כל נקודה שמחוץ לישר, אפשר להעביר רק מישור אחד המאונך לישר.

P

A

Q

a

נניח שאפשר להעביר שני מישורים מאונכים לישר. נקבל ש-a┴AB ו- a┴AC ומכאן תתקבל סתירה עקב שתי זוויות ישרות במשולשABC.

slide23
משפט 9

בכל נקודה במישור, אפשר להעלות רק אנך אחד למישור זה.

a

c

A

P

slide24
משפט 9 - הוכחה

בכל נקודה במישור, אפשר להעלות רק אנך אחד למישור זה.

Q

b

a

c

A

P

נניח ש-a ו-b מאונכים למישור P בנקודה A. מתקבל ש-a ו-b מאונכים לישר c בסתירה למשפט בהנדסת המישור שאומר שבכל נקודה על הישר ניתן להעלות רק אנך אחד.

slide25
*** משפט 10

אם אחד משני ישרים מקבילים מאונך למישור, גם הישר השני מאונך למישור זה.

C

A

H

F

D

B

G

E

P

כלומר, אם AB┴p ו- AB||CDאזיCD┴p.

(הוכחה עפ"י משפט 4 – זוויות במרחב ששוקיהן מקבילות בהתאמה שוות או משלימות ל-180)

slide26
משפט 11

דרך כל נקודה שמחוץ למישור, אפשר להעביר רק אנך אחד למישור.

A

C

B

P

בדרך השלילה מתקבלת סתירה. כלומר, אם AB┴p ו-AC┴p אזי במשולש ABC שתי זוויות ישרות.

slide27
*** משפט 12

שני ישרים המאונכים למישור אחד, מקבילים זה לזה.

C

A

D

B

P

כלומר, אם AB┴p ו-CD┴p אזי AB||CD.

slide28
*** משפט 12 - הוכחה

שני ישרים המאונכים למישור אחד, מקבילים זה לזה.

C

A

E

D

B

P

הוכחה על דרך השלילה. נניח ש-CD אינו מקביל ל-AB.

בניית עזר: CE||AB. עפ"י משפט 10 CE┴p.

מתקבל משולש CDE בעל שתי זוויות ישרות – סתירה.

slide30

אנך

משופע

משופע למישור

הגדרה:

משופע למישור - ישר החותך מישור ואינו מאונך לו.

מישור

slide31

אנך

היטל הנקודה A

היטל של נקודה על המישור

הגדרה:

היטל של נקודה על המישור - נקודת החיתוך (העקב) של האנך היורד מן הנקודה הנתונה אל המישור.

A

מישור

slide32

אנך

היטל הישר על המישור

הגדרה:

היטל של ישר על המישור – האוסף כל ההיטלים של נקודות הישר על המישור

משופע

היטל

מישור

היטל הישר על המישור מתקבל ע"י הורדת אנך למישור מקצה המשופע וחיבור עקב המשופע עם עקב האנך.

slide33
משפט 13

לשני משופעים שווים, היוצאים מנקודה אחת, יש היטלים שווים, ולהיפך, אם ההיטלים שווים, המשופעים שווים.

A

P

C

O

B

כלומר, אם AB=AC, אזי OB=OC(עפ"י צ,צ,זווית מול הצלע הגדולה)

ולהיפך, אם OB=OC, אזי AB=AC(עפ"י צ.ז.צ)

slide34
*** משפט 14

הזווית שבין משופע לבין היטלו על המישור, קטנה מכל זווית אחרת שיוצר המשופע עם ישרים במישור העוברים דרך עקבו.

A

P

O

B

כלומר, אם AB משופע למישור, ו-BO הוא היטלו על המישור, אזי ABO קטנה מכל הזוויות האחרות הנוצרות בין AB לבין ישרים במישור העוברים דרך הנקודה B.

slide35

C

*** משפט 14 - הוכחה

הזווית שבין משופע לבין היטלו על המישור, קטנה מכל זווית אחרת שיוצר המשופע עם ישרים במישור העוברים דרך עקבו.

A

P

BC = BO

AB = AB

AC > AO

<=ABC > ABO

O

B

slide36

אנך

זווית בין ישר (משופע) למישור

הגדרה:

הזווית (החדה) שבין ישר המשופע למישור, לבין היטלו במישור, נקראת הזוית בין הישר (משופע) למישור.

משופע

הזווית

היטל

מישור

slide37
*** משפט 15 - שלושת האנכים (הניצבים)

ישר העובר במישור דרך עקבו של משופע ומאונך להיטלו של המשופע במישור זה – מאונך גם למשופע.

A

B

C

מישור

D

כלומר, אם CB הוא היטל AB על המישור ו-DB┴CB , אז DB┴AB

slide38
*** המשפט ההפוך

ישר העובר במישור דרך עקבו של משופע ומאונך למשופע – מאונך גם להיטלו של המשופע במישור.

A

B

C

P

D

כלומר, אם CB הוא היטל AB על המישור ו-DB┴AB , אז DB┴CB

slide39

אנך

הזווית

אנך

זווית בין שני מישורים

הגדרה:

הזווית שבין שני אנכים לישר החיתוך המשותף של המישורים (היוצאים מנקודה משותפת על ישר החיתוך, אחד בכל מישור) נקראת הזווית שבין שני המישורים.

ישר החיתוך

slide40
מישורים ניצבים

הגדרה:

אם הזווית בין שני המישורים היא זווית ישרה, המישורים נקראים מישורים ניצבים זה לזה.

אנך

אנך

ישר החיתוך

slide42
גופים במרחב - הגדרות
  • גוף – חלק מהמרחב המוגבל מכל צדדיו
  • פאון - גוף החסום ע"י רק על ידי משטחים מישוריים
  • פאה – כל אחד מהמצולעים המגבילים את הפאון
  • מקצוע – ישר החיתוך של שתי פאות

מקצוע

פאה

מקצוע

slide43

גוף המוגבל ע"י משטחים

שחלקם אינם מישוריים

פאון

גוף המוגבל ע"י משטחיםמישוריים

...

חרוט

גליל

כדור

פירמידה

פאון בעל בסיס אחד שכל פאותיו משולשים

מנסרה

פאון בעל שני בסיסים (תחתון ועליון)

חופפים ומקבילים

...

פירמידה ישרה

פירמידה שעקב קודקודה במרכז

המעגל החוסם של הבסיס

...

מנסרה ישרה

מנסרה שכל פאותיה מלבניות

ומאונכות לבסיסים

מנסרה

משולשת

...

פירמידה

משולשת

מנסרה

מרובעת

פירמידה

מרובעת

...

...

משוכללת

ש"ש

ישרה

משוכללת

ש"ש

ישרה

מנסרה מלבנית

(תיבה)

...

פירמידה

מלבנית

מנסרה ריבועית

(קוביה)

פירמידה

ריבועית

גוף

חלק מהמרחב המוגבל מכל צדדיו

...

slide44

בסיס עליון

מקצוע צדדי

בסיס תחתון

מקצוע בסיס

מנסרה ישרה

הגדרה:

פאון החסום על ידי שני מצולעים חופפים ומקבילים ועל ידי מספר מלבנים המאונכים למצולעים והעוברים דרך צלעות המצולעים

slide45
מנסרה ישרה
  • המקצועות הצדדיים ניצבים לבסיסים
  • אנך לבסיס המנסרה נקרא גובה המנסרה
  • גובה המנסרה שווה לאורך המקצוע הצדדי
  • כל פאות המנסרה יחד נקראות מעטפת המנסרה – סכום שטחיהן נקרא שטח מעטפת המנסרה
  • המעטפת ושני הבסיסם נקראים פני המנסרה – סכום שטחיהם נקרא שטח הפנים של מנסרה
  • נפח המנסרה שווה למכפלת שטח הבסיס בגובה המנסרה

V = S · h

slide46
מנסרה משוכללת

הגדרה:

מנסרה שבסיסה הוא מצולע משוכלל נקראת מנסרה משוכללת

כל הפאות הצדדיות של מנסרה משוכללת הן מלבנים חופפים

slide50

B’

B

C’

C

A’

A

D’

D

זווית בין אלכסון התיבה לפאה

הזווית בין אלכסון B’DלפאהDD’C’C

slide51

B’

B

C’

C

A’

A

D’

D

זווית בין אלכסון התיבה לבסיס העליון

הזווית בין אלכסון B’Dלבסיס העליוןA’B’C’D’

slide52

B’

B

C’

C

A’

A

D’

D

זווית בין אלכסון התיבה לבסיס התחתון

הזווית בין אלכסון B’Dלבסיס התחתוןABCD

slide53

B’

B

C’

C

A’

A

D’

D

זווית בין אלכסון התיבה לפאה האחורית

הזווית בין אלכסון B’DלפאהBB’C’C

slide54

B’

B

C’

C

A’

A

D’

D

זווית בין אלכסון התיבה לפאה הקדמית

הזווית בין אלכסון B’DלפאהAA’D’D

slide55

B’

B

C’

C

A’

A

D’

D

זווית בין אלכסון התיבה לפאה צדדית

הזווית בין אלכסון B’DלפאהAA’BB’

slide56

B’

B

C’

C

A’

A

D’

D

זווית בין אלכסון הפאה לבסיס

הזווית בין אלכסון הפאה B’Aלבסיס התחתוןABCD

slide57

B’

B

C’

C

A’

A

D’

D

זווית בין אלכסון לבסיס

M’

M

הזווית בין AM’לבסיס התחתוןABCD

slide58

B’

B

C’

C

A’

A

D’

D

זווית בין אלכסון לפאה

O

הזווית בין ODלפאה DCC’D’

slide59

B’

B

C’

C

A’

A

D’

D

זווית בין אלכסון לבסיס

הזווית בין ODלבסיס התחתוןABCD

slide60

B’

B

C’

C

A’

A

D’

D

זווית בין מישור לבסיס

הזווית בין מישור BA’D לבין מישור הבסיס ABCD

slide61

B’

B

C’

C

A’

A

D’

D

הזווית בין אלכסוני התיבה

B’

C’

A’

D’

B

C

A

D

slide62

B’

B

C’

C

A’

A

D’

D

זווית בין אלכסון לבסיס העליון

M’

הזווית בין AM’ לבסיס העליון A’B’C’D’

slide66

A’

B’

C’

B

A

C

זווית בין מישור לפאה

D

הזווית בין BC’ לבין הפאה ABB’A’

slide67
זווית בין מישורים

C’

D

A’

B’

C

B

A

הזווית בין A’B לבין הפאה BCC’B’

slide68
זווית בין מישור לבסיס

C’

A’

B’

C

A

B

הזווית בין A’C לביןהפאה A’B’BA

slide69

A’

B’

C’

B

A

C

זווית בין מישורים

E’

E

הזווית בין מישור EC’CE לביןהמישור A’ACC’

slide70

A’

B’

C’

B

A

C

זווית בין מישורים

הזווית בין מישור ABB’A’ לביןהמישור BCC’B’

ab bc

A’

B’

C’

B

A

C

זווית בין מישור לבסיסבמנסרה משולשת שבסיסה משו"ש AB=BC

D

הזווית בין מישור A’BC לביןהבסיס ABC

slide73

S

D

C

A

B

פירמידה

הגדרה:

פאון המורכב ממצולע ומספר משולשים העוברים כל אחד דרך צלע אחת של המצולע ונפגשים בנקודה אחת הנמצאת מחוץ למישור המצולע.

קודקוד / ראש הפירמידה

מקצוע צדדי

פאה

גובה

מקצוע בסיס

בסיס

slide74
פירמידה ישרה

הגדרה:

פירמידה ישרה היא פירמידה שעקב הגובה שלה הוא מרכז המעגל החוסם את בסיס הפירמידה.

S

גובה

D

C

בסיס

A

B

slide75

S

D

C

גובה

בסיס

A

B

פירמידה ישרה

משפט:

בפירמידה ישרה כל המקצועות הצדדיים שווים.

כלומר, SA=SB=SC=SD

slide76
פירמידה ישרה
  • כל פאות הפירמידה יחד נקראות מעטפת הפירמידה – סכום שטחיהן נקרא שטח מעטפת הפירמידה
  • המעטפת ושני הבסיסים נקראים פני פירמידה – סכום שטחיהם נקרא שטח הפנים של פירמידה
  • נפח הפירמידה שווה לשליש מכפלת שטח הבסיס בגובה הפירמידה
  • פירמידה שבה הבסיס מצולע משוכלל נקראת פירמידה משוכללת

V = (S · h) / 3

slide78

S

D

C

O

A

B

הזוית בין פאה צדדית לבסיס
  • הזווית שבין מישורי הפאות למישור הבסיס היא הזווית שבין הגובה של הפאה הצדדית לבין היטלו על מישור הבסיס.
slide79
הזוית בין מקצוע צדדי לבסיס
  • הזווית שבין מקצוע צדדי למישור הבסיס היא הזווית שבין המקצוע הצדדי לבין היטלו על מישור הבסיס (היושב על אלכסון הבסיס).

S

D

C

O

A

B

slide81
פירמידה שבסיסה ריבוע – הזוית בין שתי פאות צדדיות סמוכות

S

D

C

A

B

slide83
פירמידה שבסיסה משולש ישר זוית - הזוית בין פאה צדדית לבסיס

S

B

A

C

slide84
פירמידה שבסיסה משולש שווה שוקיים - הזוית בין פאה צדדית לבסיס

S

B

A

C

slide85
פירמידה שבסיסה משולש שווה שוקיים - הזוית בין מקצוע צדדי לבסיס

S

B

A

C

slide86
פירמידה משולשת ישרה משוכללת –הזוית בין מקצוע צדדי לפאה ממול

S

B

A

C