טריגונומטריה - חישובים במרחב

1. טריגונומטריה - חישובים במרחב שיעור מס. 1 udiomer@netvision.net.il

2. תפריט סוגי גופים במרחב משפטים הגדרות מנסרה ישרה המישור ישר ומישור תיבה שני מישורים מנסרה משולשת משופעים והיטלים פירמידה ישרה

3. הגדרות

4. מישור

5. הגדרת המישור המישור הוא חלק מהמרחב. המישור מוגדר בעזרת תכונותיו: • כל ישר המחבר שתי נקודות הנמצאות במישור, נמצא כולו בתוך במישור • המישור איננו מוגבל • המישור מחלק את המרחב לשני חלקים, כך שלא ניתן לעבור מחלק אחד לחלק שני מבלי לחתוך את המישור B A

6. A B A C C B D A C B A C D B קביעת המישור המישור נקבע באופן חד-ערכי בעזרת אחת מהדרכים הבאות:

7. המצב ההדדי של שני ישרים • מקבילים – שני ישרים שאינם חוצים זה את זה ואשר נמצאים במישור אחד • נחתכים – שני ישרים שחותכים זה את זה ואשר נמצאים במישור אחד • מצטלבים – שני ישרים שנמצאים על מישורים מקבילים , אך הישרים עצמם אינם מקבילים זה לזה.

8. עקב המצב ההדדי של ישר ומישור האפשרויות היחידות למצב ההדדי בין ישר למישור הן: • ישר מקביל למישור – לישר ולמישור אין אף נקודה משותפת • ישר החותך את המישור – לישר ולמישור נקודה משותפת אחת, הקרויה עקב הישר על המישור • הישר שייך למישור – כל נקודות הישר נמצאות על מישור

9. סימון מישורים • בדומה לאותיות, מישורים מסומנים ע"י אותיות לטיניות גדולות. (בדר"כ ע"י אותיות "מרוחקות" יותר ב-ABC) • ישרים מסומנים ע"י צמד אותיות או ע"י אות לטינית קטנה S R P Q A a B

10. המצב ההדדי של שני מישורים S’ R’ • מישורים מקבילים – לשני המישורים אין אף נקודה משותפת • מישורים נחתכים – לשני המישורים ישר משותף, הנקרא ישר החיתוך של המישורים. S R P’ Q’ P Q R’ S R Q’ Q P

11. משפטים

12. q B B E E A A O C p המצב ההדדי של שני מישורים – משפט 1 אם לשני מישורים יש נקודה משותפת, אזי יש להם ישר משותף. q O p

13. A A C C B B מקבילים במרחב – משפט 2 דרך כל נקודה שמחוץ לישר נתון, אפשר להעביר רק ישר מקביל אחד לישר הנתון. √ x x A A A A’ C B B B’ P P P מצטלב מקביל חותך

14. מקבילים במרחב- משפט 3 שני ישרים המקבילים כל אחד לישר שלישי, מקבילים זה לזה. C אם AB||CD וגם AB||EF אזי: CD||EF F B D P Q A E

15. ***משפט 4: מקבילים במרחב ע"י בניית העזר יוצרים שני משולשים וחופפים אותם ע"פ צ.צ.צ שלבי החפיפה: מוכיחים שקיבלנו3 מקביליות ABCD AEBF CDEF שתי זוויות במרחב ששוקיהן מקבילות בהתאמה, שוות זו לזו או משלימות זו את זו ל-°180 C E אם a||c וגם b||d אזי: <A = <B b a A F D d c B

16. ישר ומישור

17. משפט 5 (גם ההפוך נכון) אם ישר שאינו שייך למישור מקביל לאחד הישרים במישור, אזי הישר מקביל למישור D נתון: p, AB במישור p אם CD||AB אזי: CD||p Q P B C A

18. D ***משפט 6 ישר מחוץ למישור, המאונך לשני ישרים במישור העוברים דרך עקבו, מאונך לכל הישרים העוברים דרך עקבו. A אם: AO┴OB , AO┴OC אז: AO┴OD O C B

19. הגדרה: ישר מאונך (ניצב) למישור ישר, החותך את המישור, ומאונך לכל ישר במישור העובר דרך עקבו, נקרא ישר מאונך (ניצב) למישור ישר מישור P תנאי הכרחי ומספיק לישר מאונך למישור - הישר מאונך לשני ישרים במישור העוברים דרך עקבו (משפט 6)

20. ***משפט 7 כל האנכים לישר באחת מנקודותיו נמצאים במישור אחד. אם : a┴b, a┴c , a┴d a, b, c, d נחתכים בנקודה O. אז: b, c, d נמצאים במישור אחד a d O b c P מסקנה: דרך כל נקודה שעל קו ישר, אפשר להעביר רק מישור אחד המאונך לישר

21. P משפט 8 דרך כל נקודה שמחוץ לישר, אפשר להעביר רק מישור אחד המאונך לישר. A a

22. B C משפט 8 - הוכחה דרך כל נקודה שמחוץ לישר, אפשר להעביר רק מישור אחד המאונך לישר. P A Q a נניח שאפשר להעביר שני מישורים מאונכים לישר. נקבל ש-a┴AB ו- a┴AC ומכאן תתקבל סתירה עקב שתי זוויות ישרות במשולשABC.

23. משפט 9 בכל נקודה במישור, אפשר להעלות רק אנך אחד למישור זה. a c A P

24. משפט 9 - הוכחה בכל נקודה במישור, אפשר להעלות רק אנך אחד למישור זה. Q b a c A P נניח ש-a ו-b מאונכים למישור P בנקודה A. מתקבל ש-a ו-b מאונכים לישר c בסתירה למשפט בהנדסת המישור שאומר שבכל נקודה על הישר ניתן להעלות רק אנך אחד.

25. *** משפט 10 אם אחד משני ישרים מקבילים מאונך למישור, גם הישר השני מאונך למישור זה. C A H F D B G E P כלומר, אם AB┴p ו- AB||CDאזיCD┴p. (הוכחה עפ"י משפט 4 – זוויות במרחב ששוקיהן מקבילות בהתאמה שוות או משלימות ל-180)

26. משפט 11 דרך כל נקודה שמחוץ למישור, אפשר להעביר רק אנך אחד למישור. A C B P בדרך השלילה מתקבלת סתירה. כלומר, אם AB┴p ו-AC┴p אזי במשולש ABC שתי זוויות ישרות.

27. *** משפט 12 שני ישרים המאונכים למישור אחד, מקבילים זה לזה. C A D B P כלומר, אם AB┴p ו-CD┴p אזי AB||CD.

28. *** משפט 12 - הוכחה שני ישרים המאונכים למישור אחד, מקבילים זה לזה. C A E D B P הוכחה על דרך השלילה. נניח ש-CD אינו מקביל ל-AB. בניית עזר: CE||AB. עפ"י משפט 10 CE┴p. מתקבל משולש CDE בעל שתי זוויות ישרות – סתירה.

29. משופעים והיטלים

30. אנך משופע משופע למישור הגדרה: משופע למישור - ישר החותך מישור ואינו מאונך לו. מישור

31. אנך היטל הנקודה A היטל של נקודה על המישור הגדרה: היטל של נקודה על המישור - נקודת החיתוך (העקב) של האנך היורד מן הנקודה הנתונה אל המישור. A מישור

32. אנך היטל הישר על המישור הגדרה: היטל של ישר על המישור – האוסף כל ההיטלים של נקודות הישר על המישור משופע היטל מישור היטל הישר על המישור מתקבל ע"י הורדת אנך למישור מקצה המשופע וחיבור עקב המשופע עם עקב האנך.

33. משפט 13 לשני משופעים שווים, היוצאים מנקודה אחת, יש היטלים שווים, ולהיפך, אם ההיטלים שווים, המשופעים שווים. A P C O B כלומר, אם AB=AC, אזי OB=OC(עפ"י צ,צ,זווית מול הצלע הגדולה) ולהיפך, אם OB=OC, אזי AB=AC(עפ"י צ.ז.צ)

34. *** משפט 14 הזווית שבין משופע לבין היטלו על המישור, קטנה מכל זווית אחרת שיוצר המשופע עם ישרים במישור העוברים דרך עקבו. A P O B כלומר, אם AB משופע למישור, ו-BO הוא היטלו על המישור, אזי ABO קטנה מכל הזוויות האחרות הנוצרות בין AB לבין ישרים במישור העוברים דרך הנקודה B.

35. C *** משפט 14 - הוכחה הזווית שבין משופע לבין היטלו על המישור, קטנה מכל זווית אחרת שיוצר המשופע עם ישרים במישור העוברים דרך עקבו. A P BC = BO AB = AB AC > AO <=ABC > ABO O B

36. אנך זווית בין ישר (משופע) למישור הגדרה: הזווית (החדה) שבין ישר המשופע למישור, לבין היטלו במישור, נקראת הזוית בין הישר (משופע) למישור. משופע הזווית היטל מישור

37. *** משפט 15 - שלושת האנכים (הניצבים) ישר העובר במישור דרך עקבו של משופע ומאונך להיטלו של המשופע במישור זה – מאונך גם למשופע. A B C מישור D כלומר, אם CB הוא היטל AB על המישור ו-DB┴CB , אז DB┴AB

38. *** המשפט ההפוך ישר העובר במישור דרך עקבו של משופע ומאונך למשופע – מאונך גם להיטלו של המשופע במישור. A B C P D כלומר, אם CB הוא היטל AB על המישור ו-DB┴AB , אז DB┴CB

39. אנך הזווית אנך זווית בין שני מישורים הגדרה: הזווית שבין שני אנכים לישר החיתוך המשותף של המישורים (היוצאים מנקודה משותפת על ישר החיתוך, אחד בכל מישור) נקראת הזווית שבין שני המישורים. ישר החיתוך

40. מישורים ניצבים הגדרה: אם הזווית בין שני המישורים היא זווית ישרה, המישורים נקראים מישורים ניצבים זה לזה. אנך אנך ישר החיתוך

41. סוגי גופים במרחב

42. גופים במרחב - הגדרות • גוף – חלק מהמרחב המוגבל מכל צדדיו • פאון - גוף החסום ע"י רק על ידי משטחים מישוריים • פאה – כל אחד מהמצולעים המגבילים את הפאון • מקצוע – ישר החיתוך של שתי פאות מקצוע פאה מקצוע

43. גוף המוגבל ע"י משטחים שחלקם אינם מישוריים פאון גוף המוגבל ע"י משטחיםמישוריים ... חרוט גליל כדור פירמידה פאון בעל בסיס אחד שכל פאותיו משולשים מנסרה פאון בעל שני בסיסים (תחתון ועליון) חופפים ומקבילים ... פירמידה ישרה פירמידה שעקב קודקודה במרכז המעגל החוסם של הבסיס ... מנסרה ישרה מנסרה שכל פאותיה מלבניות ומאונכות לבסיסים מנסרה משולשת ... פירמידה משולשת מנסרה מרובעת פירמידה מרובעת ... ... משוכללת ש"ש ישרה משוכללת ש"ש ישרה מנסרה מלבנית (תיבה) ... פירמידה מלבנית מנסרה ריבועית (קוביה) פירמידה ריבועית גוף חלק מהמרחב המוגבל מכל צדדיו ...

44. בסיס עליון מקצוע צדדי בסיס תחתון מקצוע בסיס מנסרה ישרה הגדרה: פאון החסום על ידי שני מצולעים חופפים ומקבילים ועל ידי מספר מלבנים המאונכים למצולעים והעוברים דרך צלעות המצולעים

45. מנסרה ישרה • המקצועות הצדדיים ניצבים לבסיסים • אנך לבסיס המנסרה נקרא גובה המנסרה • גובה המנסרה שווה לאורך המקצוע הצדדי • כל פאות המנסרה יחד נקראות מעטפת המנסרה – סכום שטחיהן נקרא שטח מעטפת המנסרה • המעטפת ושני הבסיסם נקראים פני המנסרה – סכום שטחיהם נקרא שטח הפנים של מנסרה • נפח המנסרה שווה למכפלת שטח הבסיס בגובה המנסרה V = S · h

46. מנסרה משוכללת הגדרה: מנסרה שבסיסה הוא מצולע משוכלל נקראת מנסרה משוכללת כל הפאות הצדדיות של מנסרה משוכללת הן מלבנים חופפים

47. תיבה

48. אלכסון התיבה אלכסון הפאה אלכסון הבסיס תיבה – מנסרה ישרה שבסיסה מלבן

49. סוגי זוויות בתיבה

50. B’ B C’ C A’ A D’ D זווית בין אלכסון התיבה לפאה הזווית בין אלכסון B’DלפאהDD’C’C