pertemuan 8 n.
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
Pertemuan 8 PowerPoint Presentation
Download Presentation
Pertemuan 8

play fullscreen
1 / 45
Download Presentation

Pertemuan 8 - PowerPoint PPT Presentation

aquila-mendoza
214 Views
Download Presentation

Pertemuan 8

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript

  1. Pertemuan 8 Transformasi Linier 4.2 bilqis

  2. TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan : • Dapat mengetahui matriks-matriks yang digunakan untuk transformasi linier • Dapat mengetahui aplikasi transformasi linier bilqis

  3. Fungsi: Pemetaan (mapping) dari himpunan A ke himpunan B f A B b a • Notasi f : A  B • Himpunan A disebut DOMAIN(f) • Himpunan B disebut CODOMAIN(f) • Tiap elemen A dipasangkan dengan (associated with) satu elemen B • Himpunan semua elemen b yang punya pasangan di A disebut RANGE(f) • Notasi f(a) = b, b disebut bayangan (image) dari a bilqis

  4. f : Rn  Rmdisebut transformasi dan ditulis • T : Rn  Rm • T adalah transformasi linier jika • T(u + v) = T(u) + T(v) penjumlahan dua vektor • T(cu) = cT(u) perkalian skalar dengan vektor Catatan: u, v vektor-vektor di Ruang-n c adalah skalar T(u + v), T(u), T(v), T(cu), cT(u) vektor-vektor di Ruang-m bilqis

  5. T : Rn  Rm • T adalah transformasi linier jika • T(u + v) = T(u) + T(v) penambahan vektor • T(cu) = cT(u) perkalian skalar dengan vektor Catatan: u, v vektor-vektor di Ruang-n, c adalah skalar T(u + v), T(u), T(v), T(cu), cT(u) vektor-vektor di Ruang-m T Rn Rm T(u) T(v) T(u+v) T(cu) u v u+v cu bilqis

  6. Ex 1 hal 182 bilqis

  7. bilqis

  8. bilqis

  9. bilqis

  10. bilqis

  11. bilqis

  12. bilqis

  13. bilqis

  14. T : Rn  Rm Transformasi T dapat “digantikan” oleh perkalian matrix (matrix A berukuran m x n) (x1, x2, x3, …, xn)  (w1, w2, …, wm) jika x = (x1, x2, x2, …, xn)T dan w = (w1, w2, …, wm)T maka transformasi dapat “digantikan” dengan persamaan: Ax = w di mana A disebut matriks standar untuk transformasi linier T bilqis

  15. Bilqis 5.10 bilqis

  16. bilqis

  17. Ex 2 hal 183 bilqis

  18. Pencerminan operatorilustrasi pencerminan terhadap sumbu-x (x, y) (w1, w2) persamaanmatriks standar w1 = x = 1x + 0y 1 0 w2 = – y = 0x + (–1)y 0 – 1 bilqis

  19. Pencerminan operatorilustrasi pencerminan terhadap garis y = x garis y = x (w1, w2) (x, y) persamaanmatriks standar w1 = y = 0x + 1y 0 1 w2 = x = 1x + 0y 1 0 bilqis

  20. Pencerminan operatorilustrasi pencerminan terhadap bidang xy z (x, y, z) y (x, y, –z) x persamaanmatriks standar w1 = x = 1x + 0y + 0z 1 0 0 w2 = y = 0x + 1y + 0z 0 1 0 w3 = –z = 0x + 0y + (–1)z 0 0 –1 bilqis

  21. Pencerminan operatorilustrasi pencerminan terhadap bidang xz z (x, –y, z) (x, y, z) y x persamaanmatriks standar w1 = x = 1x + 0y + 0z 1 0 0 w2 = y = 0x + (–1)y + 0z 0 –1 0 w3 = –z = 0x + 0y + 1z 0 0 1 bilqis

  22. Pencerminan operatorilustrasi pencerminan terhadap bidang yz z (–x, y, z) (x, y, z) y x persamaanmatriks standar w1 = x = –1x + 0y + 0z –1 0 0 w2 = y = 0x + 1y + 0z 0 1 0 w3 = –z = 0x + 0y + 1z 0 0 1 bilqis

  23. Proyeksi Ortogonal operatorilustrasi proyeksi ortogonal pada sumbu-x (x, y) (w1, w2) = (x, 0) persamaanmatriks standar w1 = x = 1x + 0y 1 0 w2 = 0 = 0x + 0y 0 0 bilqis

  24. Proyeksi Ortogonal operatorilustrasi proyeksi ortogonal pada sumbu-y (w1, w2) = (0, y) (x, y) persamaanmatriks standar w1 = 0 = 0x + 0y 0 0 w2 = y = 0x + 1y 0 1 bilqis

  25. Proyeksi Ortogonal operatorilustrasi proyeksi ortogonal pada bidang xy z (x, y, z) y (x, y, 0) x persamaanmatriks standar w1 = x = 1x + 0y + 0z 1 0 0 w2 = y = 0x + 1y + 0z 0 1 0 w3 = –z = 0x + 0y + 0z 0 0 0 bilqis

  26. Proyeksi Ortogonal operatorilustrasi proyeksi ortogonal pada bidang xz z (x, y, z) (x, 0, z) y x persamaanmatriks standar w1 = x = 1x + 0y + 0z 1 0 0 w2 = y = 0x + 0y + 0z 0 0 0 w3 = –z = 0x + 0y + 1z 0 0 1 bilqis

  27. Proyeksi Ortogonal operatorilustrasi proyeksi ortogonal pada bidang yz z (0, y, z) (x, y, z) y x persamaanmatriks standar w1 = x = 0x + 0y + 0z 0 0 0 w2 = y = 0x + 1y + 0z 0 1 0 w3 = –z = 0x + 0y + 1z 0 0 1 bilqis

  28. Rotasi operatorilustrasi rotasi dengan sudut rotasi Ө (w1, w2) Ө (x, y) persamaanmatriks standar w1 = x cos Ө– y sin Ө x cos Ө – y sin Ө w2 = x sin Ө + y cos Ө x sin Ө y cos Ө bilqis

  29. Rotasi operatorilustrasi rotasi melawan arah jarum jam dengan sumbu rotasi z positif dan sudut rotasi  z y (w1, w2, w3) (x, y, z) x persamaanmatriks standar w1 = (cos ) x + (–sin ) y + 0z cos  –sin 0 w2 = (sin )x + (cos )y + 0z sin  cos  0 w3 = 0x + 0y + 1z 0 0 1 bilqis

  30. Rotasi operatorilustrasi rotasi melawan arah jarum jam dengan sumbu rotasi z positif dan sudut rotasi  z (x, y, z)  y (w1, w2, w3) x persamaanmatriks standar w1 = (cos ) x + (–sin ) y + 0z cos  0 sin  w2 = (sin )x + (cos )y + 0z 0 1 0 w3 = 0x + 0y + 1z –sin  0 cos  bilqis

  31. Rotasi operatorilustrasi rotasi melawan arah jarum jam dengan sumbu rotasi z positif dan sudut rotasi  z (x, y, z) (w1, w2, w3)  y x persamaanmatriks standar w1 = (cos ) x + (–sin ) y + 0z cos  –sin 0 w2 = (sin )x + (cos )y + 0z sin  cos  0 w3 = 0x + 0y + 1z 0 0 1 bilqis

  32. Kontraksi operatorilustrasi Kontraksi ( penyusutan) dengan faktor 0  k 1 z (x, y, z) (w1, w2, w3) y x persamaanmatriks standar w1 = kx + 0y + 0z k 0 0 w2 = 0x + ky + 0z 0 k 0 w3 = 0x + 0y + kz 0 0 k bilqis

  33. Dilasi operatorilustrasi Dilasi (pemuaian/perbesaran) dengan faktor k> 1 z (w1, w2, w3) (x, y, z) y x persamaanmatriks standar w1 = kx + 0y + 0z k 0 0 w2 = 0x + ky + 0z 0 k 0 w3 = 0x + 0y + kz 0 0 k bilqis

  34. bilqis

  35. bilqis

  36. bilqis

  37. Komposisi dua transformasi: u v w T1 T2 T2 ° T1 v = T1(u) w=T2(v)=T2(T1(u))=( T2 ° T1 )(u) bilqis

  38. Komposisi dua transformasi: u v w T1 T2 T2 ° T1 Matriks standar untuk T1 = A1 Matriks standar untuk T2 = A2 Matriks standar untuk T2 ° T1= (A2)(A1) bilqis

  39. Komposisi dua / lebih transformasi: • Tr ° T r-1 ° ……..T2 ° T1 • Contoh: u = (–3, 4) • T1 refleksi terhadap sumbu-y • A1 = -1 0 • 0 1 • T2 proyeksi ortogonal pada sumbu-x • A2 = 1 0 • 0 0 • Hasilnya : (3, 0) ? • (cek dengan menghitung dan menggambar) bilqis

  40. Komposisi dua / lebih transformasi: • Contoh: u = –3 • 4 • T1 refleksi terhadap sumbu-y • A1 = -1 0 A1u = v = 3 • 0 1 4 • T2 proyeksi ortogonal pada sumbu-x • A2 = 1 0 A2 v = w = 3 • 0 0 0 • A2  A1 = –1 0 (A2  A1 ) u= 3 • 0 0 0 bilqis

  41. bilqis

  42. Ex 7 hal 193 bilqis

  43. Ex 8 hal 194 bilqis

  44. Ex. 5 hal 202 bilqis

  45. PR 4.2 2,a 2.D 3 4.D 6.D 7.B 8.B 9.C 12.B 13.b bilqis