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数 学 模 型. 姜启源 编. 辅导课程十一. 主讲教师 : 邓 磊. 第 11 章 逻辑方法建模. 从抽象的定义、公理出发，经过严密的逻辑推理得到一系列的公式、定理，是数学发展进程的重要环节。这一研究方法也可以应用于建模过程中。把对象的基本属性抽象成定义、公理，运用逻辑推理方法，或者会得到满足这些公理的结果，从而提供解决问题的正面 答案 ；或者能证明不存在原来意义下的解，需要反过来审查对象的属性及所作的抽象定义，并可能导致对问题及其解决途径的重新认识。.
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数 学 模 型 姜启源 编 辅导课程十一 主讲教师 : 邓 磊
第11章 逻辑方法建模 从抽象的定义、公理出发，经过严密的逻辑推理得到一系列的公式、定理，是数学发展进程的重要环节。这一研究方法也可以应用于建模过程中。把对象的基本属性抽象成定义、公理，运用逻辑推理方法，或者会得到满足这些公理的结果，从而提供解决问题的正面答案；或者能证明不存在原来意义下的解，需要反过来审查对象的属性及所作的抽象定义，并可能导致对问题及其解决途径的重新认识。
从事某一活动的各方如能通力合作，常常可以获得更大的总收益（或受到更小的总损失）。本节主要讨论在这种合作中应当如何分配收益（或分摊损失），这一问题如果处理不当，合作显然是无法实现的。先让我们来分析一个具体实例 11.1 效益的合理分配
城一 20公里 城二 38公里 城三 问题 有三个位于某河流同旁的城镇城1、城 2、城3（如图）三城镇的污水必须经过处理后方能排入河中，他们既可以单独建立污水处理厂，也可以通过管道输送联合建厂。为了讨论方便起见，我们再假设污水只能由上游往下游。
城一 20公里 城二 38公里 城三 用Q表示污水量，单位为米3/秒，L表示管道长度，单位为公里，则有经验公式： 建厂费用 C1=730Q0.712（万元） 管道费用 C2=6.6Q0.51L(万元） 已知三城镇的污水量分别为： Q1=5米3/秒，Q2=3米3/秒， Q3=5米3/秒，问：三城镇应怎样 处理污水方可使总开支最少？ 每一城镇负担的费用应各为多少？
分析 本问题中三城镇处理污水可以有五种方案： (1) 每城镇各建一个处理厂(单干)。 (2) 城1,城2合建一个,城3单独建一个(1、2城合作建于城2处)。 (3) 城2,城3合建一个,城1单独建一个(2、3城合作建于城3处)。 (4) 城3,城1合建一个,城2单独建一个(1、3城合作建于城3处)。 (5) 三城合建一个污水处理厂(建于城3处)。
城一 20公里 城二 38公里 城三 容易计算： 以三城合作总投资为最少
城一 20公里 城二 38公里 建厂处 城三 费用怎么分摊呢？ 同意城3意见，由城2→城3的管道费用可按污水量之比5：3：5分摊，但城1→城2的管道费用应由城1承担。 建厂费用按三城污水量之比5：3：5分摊，管道是为城1、城2建的，应由两城协商分摊。 分摊方案有道理，但得作一番 “可行性论证”。
联合建厂费 ： （万元） 城1负担 ： （万元） 城1→城2管道费： （万元） (全部由城1负担) 城2→城3管道费： （万元） 城1负担 ： （万元） 城1的总负担 ：约为2457万元 城1的“可行性论证”： 合作后城1 费用增加！ 城1自己建厂费用：2300万元
(1)对于每一子集S I，对应地可以确定一个实数V(S)，此数的实际意义为如果S中的人参加此项合作，则此合作的总获利数为V(S)，十分明显，V(S)是定义于I的一切子集上的一个集合函数。根据本问题的实际背景，还应要求V(S)满足以下性质: 怎样找出一个合理的分摊原则，以保证合作的实现呢？ N人合作对策模型 设有一个n人的集合I={1,2,…,n}，其元素是某一合作的可能参加者。
=0（没有人参加合作则合作获利不能实现） 对一切满足 的S1、S2成立。具有这种性质的集合函数V(S)称为I的特征函数。
(2)定义合作结果V(S)的分配为 ，其中 表示第i人在这种合作下分配到的获利。显然，不同的合作应有不同的分配，问题归结为找出一个合理的分配原则 来， 被称为合作对策。
1953年Shapley采用逻辑建模方法研究了这一问题。首先，他归纳出了几条合理分配原则， 应当满足的基本性质（用公理形式表示），进而证明满足这些基本性质的合作对策 是唯一存在的，从而妥善地解决了问题。 是否存在合理分配原则
Shapley提出了以下公理： 设V是I上的特征函数， 是合作对策，则有 ，即每人分配数的总和等于总获利数。 公理1 合作获利对每人的分配与此人的标号无关。 公理2
若对所有包含的i的子集S有： V(S-{i})=V(S)， = 0。 利用上述公理可以证明满足公理1~4的 是唯一存在的(证明略)。 即若第i人在他参加的任一合作中均不 作出任何贡献，则他不应从合作中获利 公理3 公理4 若此n个人同时进行两项互不影响的合作，则两项合作的分配也应互不影响，每人的分配额即两项合作单独进行时应分配数的和。
存在 的公式吗 Shapley指出， 可按下列公式给出： (11.1) i=1,…,n Si是I中包含i的一切子集所成的集合，|S|表示集合S中的元素个数，而 (11.2) 可视为i在合作 S中所作的贡献 W(|S|)可看作这种贡献的权因子
对每一i∈I，有 |S|=K时，包含i的子集S共有 个 从而 故= 1/n 合作的获利真的不少于他单干时的获利吗 求证: 证明: 即 个
又根据性质，有 故有
S {1} {1，2} {1，3} {1，2，3} V(S) 0 400 0 640 V(S-{I}) 0 0 0 250 V(S)-V(S-{I}) 0 400 0 390 |S| 1 2 2 3 W(|S|) 1/3 1/6 1/6 1/3 0 67 0 130 W(|S|)[V(S)-V(S-{I})] 城1 获利 =67+130=197（万元） 承担总费用： 2300-197=2103（万元） 解决三城镇污水处理问题 城1究竟应当承担多少费用 首先不难看出 ：S1={{1},{1,2},{1,3},{1,2,3}} 计算出与(11.1)式有关的数据并列成表 城2和城3应该承担 的费用可类似算出
