第三节 隐函数的导数及由参数方程所确定

1. 第三节 隐函数的导数及由参数方程所确定 的函数的导数 一、隐函数的导数 二、对数求导法 三、相参数方程的求导法

2. (2)间接表示 由一个方程F(x,y)=0 所确定的函数 例 可确定函数 , 由两个方程确定(带一个中间变量)参数方程: t是参数 方法(1)表示的函数称为隐函数. 一、隐函数的导数 1 复习:函数的表示法 (1)直接表示: 解析式 y=f(x) x∈D, 这样描述的函数称为显函数 把一个隐函数化成显函数, 叫做隐函数的显化.

3. 2 隐函数的定义 一般地,如果变量x和y满足一个方程F(x,y)=0,在一定条件下当x取某区间内的任一值时,相应地总有满足这方程的唯一的y值存在,那么就说方程F(x,y)=0在该区间内确定了一个隐函数 隐函数的求导方法: (1)将方程F(x,y)=0两端对x求导,在求导过程中 要记住y是x的函数;y的函数是x的复合函数.

4. 例1 求由方程 所确定的隐函数的导数 解 我们把方程两边分别对x求导数,注意y=y(x), 方程左边对x求导得 方程右边对x求导得 所以

5. 注意:在这个结果中,分式中的y=y(x)是由方程 所确定的隐函数 因为当x=0时,从原方程得y=0,所以 从而 例2 求由方程 所确定的隐函数x=0处的 导数 解 把方程两边分别对x求导,由于方程两边的导数相等, 所以 由此得

6. 例3 求圆 在点 处的切线方程. 解 由导数的几何意义知道,所求切线的斜率为 圆方程的两边分别对x求导,有 从而 从而在 处的切线率为 于是所求的切线方程为 即

7. 方法: 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导方法求出导数. --------对数求导法 适用范围: 例5 等式两边取对数得 解 二、对数求导法 下面通过例子来说明这种方法

8. 一般地

9. 幂指函数 也可表示成 这样,便可直接求得

10. 例6 求 的导数 解 两边取对数(假定 x>4 ),得 两边对x求导 于是

11. 求导方法 三、由参数方程所确定的函数的导数

12. 由复合函数及反函数的求导法则得

13. 例7 已知椭圆的参数方程为 求椭圆在 相应的点处的切线方程 解 当 时,椭圆上的相应点 的坐标是:

14. 曲线在 点的切线斜率为: 代入点斜式方程,即得椭圆在点 处的切线方程 化简后得

15. 课堂小结 一、隐函数的导数 二、对数求导法 三、相参数方程的求导法 课堂练习P-53