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12.3.2 等边三角形

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12.3.2 等边三角形

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  1. 12.3.2 等边三角形

  2. A B C 回顾旧知,引入新知 1.两边相等 1.两腰相等 有两边相等的三角形是等腰三角形。 2.等角对等边 2.等边对等角 3. 三线合一 4.是轴对称图形

  3. 等边三角形 在等腰三角形中,有一种特殊的情况,就是底边与腰相等,这时,三角形三边相等。 我们把三条边都相等的三角形 叫做等边三角形(正三角形)。

  4. 想想看,等腰三角形的性质 可用于等边三角形吗? 等边三角形性质探索: A C B

  5. 求证: 等边三角形的三个内角都相等且等于60°。 已知: AB=AC=BC, 求证: ∠A=∠B=∠C= 60° A 证明: ∵AB=AC(已知) ∴∠C=∠B.(等边对等角) 又∵AB=BC (已知) ∴ ∠C=∠A.(等边对等角) ∴∠A=∠B=∠C. ∵ ∠A+∠B+∠C= 180° ∴ ∠A=∠B=∠C=60° B C 性质的符号语言表述 ∵ △ABC是等边三角形, ∴AB=AC=BC,∠A=∠B=∠C= 60°

  6. 2.等边三角形是轴对称图形吗?若是, 有几条对称轴?指出它的对称轴? • 结论:等边三角形是轴对称图形, 有三条对称轴,对称轴是 顶角平分线或底边上的高, 中线所在的直线

  7. 3.等边三角形每边上的中线,高和所对角的平分线都三线合一吗?为什么?3.等边三角形每边上的中线,高和所对角的平分线都三线合一吗?为什么? 结论:等边三角形各边上中线,高和所对角的平分线都三线合一,它们交于一点,这点叫三角形的中心.

  8. 等边三角形的性质 1.等边三角形的内角都相等,且等于60 ° 2.等边三角形是轴对称图形,有三条对称轴. 3.等边三角形各边上中线,高和所对角的平分线都三线合一.

  9. 典型例题 (1)证明: ∵△ABC是正三角形, ∴AB=BC, ∠A=∠ABC= 60°. 在△ABN和△BCM中, ∴ △ABN ≌△BCM(ASA) ∴BN=CM. 例1、 在正三角形ABC的边AB、AC上分别取点 M、N,使得∠1=∠2,连接BN、CM。 (1)求证: BN=CM; (2)求∠NOC的度数. (2)解:由三角形外角性质得 ∠NOC= ∠2+ ∠OBC 又∵∠1=∠2 ∴∠NOC=∠1+ ∠OBC = ∠ABC = 60°.

  10. A D E B C 例2.如图, △ABC是等边三角形,DE//BC,交AB,AC于D,E .求证: △ADE是等边三角形 证明:∵ △ABC是等边三角形 ∴ ∠A=∠B=∠C ∵ DE//BC ∴ ∠ADE= ∠B, ∠AED= ∠C ∴ ∠A =∠ADE= ∠AED ∴ △ADE是等边三角形

  11. 想一想 1、下列推理错误的是( ). A.因为∠A=∠B=∠C,所以△ABC是等边三角形 B.因为AB=AC,且∠B=∠C,所以△ABC是等边三角形 C.因为∠A=60°,∠B=60°,所以△ABC是等边三角形 D.因为AB=AC,且∠B=60°,所以△ABC是等边三角形

  12. A D E B C 2.在等边三角形ABC的边AB、AC上分别截取AD=AE,则 △ADE(填“是”或“不是”)等边三角形

  13. 3.如图,△ABC是等边三角形,CD是∠ACB的平分线,过D作BC的平行线交AC于E,已知△ABC的边长为a,则EC的长是( ).A. B. C. D.无法确定

  14. 4.如图,等边三角形ABC中,AD是BC边上的高,∠BDE=∠CDF=60°,图中与BD相等的线段共有

  15. 5.等边三角形ABC的一条内角平分线长为4cm, 则该角所对边上的中线长为cm, 高线长为cm

  16. 例3 如图①,点C为线段AB上一点,△ACM、△CBN是等边三角形,直线AN、MC交于点E,BM、CN交于点F. (1)求证:AN=BM; (2)求证:△CEF为等边三角形;

  17. 2、如图,△ABC是等边三角形,∠B和∠C的平分线相2、如图,△ABC是等边三角形,∠B和∠C的平分线相 交于D,BD、CD的垂直平分线分别交BC于E、F, 求证:BE=CF.

  18. 谈收获 边 性质 角 对称性 边 等边三角形 判定方法 角 边和角 与相关知识的综合