Системы линейных уравнений

1. Системы линейных уравнений

2. Рассмотрим систему линейных уравнений

3. Ее можно записать в векторно-матричном виде • где

4. Методы решения линейных систем • 1. Прямые методы

5. 1.1 Метод Гаусса. • 1.2 Метод Крамера. • 1.3 Метод обратной матрицы.

6. 2.Итерационные методы. • 2.1 Уточнение решений.

7. Найдем решение системы линейных уравнений • Пусть с помощью некоторого прямого метода вычислено приближенное решение

8. Подставляя это решение в систему (1) получим

9. Вычитая (2) из (1) • обозначив , • Получаем систему уравнений • и находим

10. далее уточняем решение • подставляя это решение в систему (1) находим

11. (обозначив , ) • Получаем систему уравнений • и находим

12. уточняем решение • и так далее…..

13. Процесс продолжается до тех пор, пока очередное значение погрешности (поправки) не станет достаточно малым

14. критерием окончания итерационного процесса можно считать выполнение неравенства

15. Пример. Найти решение СЛАУ методом уточнения решения с точностью .

16. 1. Методом обратной матрицы найдем решение системы • находим из системы

17. находим • Получаем систему уравнений • и находим

18. далее уточняем решение

19. 2.3 Метод Гаусса-Зейделя.

20. Рассмотрим систему nлинейных уравнений с n неизвестными. Запишем ее в виде • (будем предполагать, что все диагональные элементы отличны от нуля).

21. В соответствии с методом Гаусса-Зейделяk-е приближение к решению можно представить в виде

22. Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока все значения не станут близкими к т. е. в качестве критерия завершения итерации используется условие (4).

23. Для сходимости данного итерационного процесса достаточно, чтобы модули диагональных коэффициентов для каждого уравнения системы были не меньше сумм модулей всех остальных коэффициентов: • (при этом хотя бы для одного уравнения неравенство должно выполняться строго)

24. Эти условия являются достаточными для сходимости метода, но они не являются необходимыми.

25. Проиллюстрируем этот метод на примере решения системы

26. Приближение с номером kможно вычислить, зная приближение с но- номером k-1, как

27. Пример. • Решить СЛАУ с помощью метода Гаусса-Зейделя (точность ).

29. В качестве начального приближения примем

32. далее

34. 2.2 Метод простой итерации. запишем исходную систему в виде (1) выполним ряд преобразований

35. Тогда по известному k-му приближению можно найти (k+1)-е приближение • - метод простой итерации.

36. Теорема. Пусть . Метод простой итерации сходится тогда и только тогда, когда все собственные числа матрицы по модулю меньше единицы.

37. Для некоторых типов матрицы A можно указать правило выбора . В простейшем же случае можно положить, например 1, 0.1 и т.д.