ทฤษฎีบท 1.2 สำหรับจำนวนเต็ม a, b, c ใด ๆ จะได้ว่า 1. ถ้า a น 0 แล้ว a|0 , a|a

1. บทนิยาม1.1 ให้ m, n น 0 เป็นจำนวนเต็ม n หาร m ลงตัวก็ต่อเมื่อ มี c ฮ Z ซึ่ง m = nc เรียก n ว่า ตัวหาร (divisor) ตัวหนึ่งของ m ใช้ n|m แทน " n หาร m ลงตัว " ทฤษฎีบท 1.2 สำหรับจำนวนเต็ม a, b, c ใด ๆ จะได้ว่า  1. ถ้า a น 0 แล้ว  a|0 , a|a  2.  a|1 ก็ต่อเมื่อ a = 1 หรือ -1  3. ถ้า a |b และ c|d แล้ว ac | bd  4. ถ้า a|b และ b|c แล้ว a|c 5.  ถ้า a|b  แล้ว a|bc 6. ถ้า a|b  ก็ต่อเมื่อ  ac|bc    ทุก  c น 0 7.  ถ้า a |b และ  b น 0 แล้ว  |a| ฃ |b| 8.  ถ้า a | b และ a|c แล้ว a | (bx +cy)  ทุกจำนวนเต็ม x, y

2. ทฤษฎีบท 1.3 ขั้นตอนวิธีการหาร(Division Algorithm) ให้ m, n ฮ Z , n น 0 จะมีจำนวนเต็ม q , r ชุดเดียว ซึ่ง m = nq + r โดย 0 ฃ r < | n | เรียก q ว่า ผลหาร (the quotient) และ r ว่า เศษ (the remainder) ตัวอย่าง บทนิยาม1.4 ให้ a,b ฮ Z-{0} จะได้ว่า d ฮ Z+ จะเป็น ตัวหารร่วมมาก ( ห.ร.ม.) ของ a, b ก็ต่อเมื่อ 1. d | a และ d |b และ 2. ถ้า c ฮ Z ซึ่ง c|a และ c|b แล้ว c|d แทน ห.ร.ม. ที่เป็นบวกของ a,b ด้วย gcd(a,b) บทนิยาม 1.5 ให้ a ,b ฮ Z-{0} จะกล่าวว่า a และ b เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์(relatively prime) ก็ต่อเมื่อ gcd(a,b) = 1 ทฤษฎีบท 1.6 ให้ a,bฮ Z-{0} และ d = gcd(a,b) ดังนั้นจะ มีจำนวนเต็ม m,n ซึ่งทำให้ ma + nb = d ทฤษฎีบท 1.7 ให้ a,bฮ Z-{0} จะได้ว่า gcd(a,b) = 1 ก็ต่อเมื่อ มีจำนวนเต็ม m,n ซึ่งทำให้ ma + nb = 1

3. ทฤษฎีบท 1.8 ถ้า d = gcd(m,n) และ m = Md, n = Nd จะได้ 1 = gcd(M,N) ทฤษฎีบท1.9 (Euclid ‘ s Lemma ) ถ้า a | bc และ gcd(a,b) = 1 แล้ว a | c ทฤษฎีบท 1.10 ให้ a , b ฮ Z-{0} และ kเป็นจำนวนเต็มใด ๆ แล้ว gcd (a,b) = gcd (a,b+ka ) ทฤษฎีบท 1.11 ให้ a , b ฮ Z-{0} จะได้ว่า ถ้า a = bq+r แล้ว gcd (a,b) = gcd ( b , r ) ตัวอย่าง บทนิยาม 1.12 จำนวนเต็ม p น 0 จะเป็นจำนวนเฉพาะ ก็ต่อเมื่อ p น 1 , p น -1 และถ้า x ฮ Z ซึ่ง x | p แล้ว x ฮ { 1, -1, p, -p } ทฤษฎีบท 1.13  m,n ฮ Z และ p เป็นจำนวนเฉพาะ ถ้า p|mn แล้ว p|m หรือ p|n ทฤษฎีบท 1.14 ( หลักการมีตัวประกอบชุดเดียว) ทุกจำนวนเต็ม n > 1 จะสามารถแยกตัวประกอบเฉพาะ ดังต่อไปนี้ได้รูปเดียว n = p1c1p2c2p3c3...pkck ซึ่ง p1<p2<p3<...<pk และทุกตัวเป็นจำนวนเฉพาะ

4. บทนิยาม 1.15 ให้ a , b ฮ Z-{0} , c ฮ Z+ จะเป็น ตัวคูณร่วมน้อย ( ค.ร.น.) ของ a, b ก็ต่อเมื่อ 1. a|c และ b|c และ 2. ถ้า d ฮ Z ซึ่ง a|d และ b|d แล้ว c|d แทน ค.ร.น. ที่เป็นบวกของ a, b ด้วย lcm[a,b] ทฤษฎีบท 1.16  ถ้า d = gcd (m,n) และ c = lcm[m,n] แล้ว dc = mn

6. ต่อไปจะแสดงว่า r < b

9. ทฤษฎีบท 1.6 ให้ a,bฮ Z-{0} และ d = gcd(a,b) ดังนั้นจะ มีจำนวนเต็ม m,n ซึ่งทำให้ ma + nb = d ต่อไปจะแสดงว่า c คือ d

11. ทฤษฎีบท 1.7 ให้ a,bฮ Z-{0} จะได้ว่า gcd(a,b) = 1 ก็ต่อเมื่อ มีจำนวนเต็ม m,n ซึ่งทำให้ ma + nb = 1 พิสูจน์ (->) สมมติว่า gcd(a,b)= 1 โดยทฤษฎีบท1.6 จะได้ว่ามีจำนวนเต็ม x และ y ซึ่ง 1 = ax + by (<- ) สมมติว่ามีจำนวนเต็ม x,y ซึ่ง 1 = ax+ by ให้ d = gcd(a,b) ดังนั้น d | a และ d | b โดยทฤษฎีบท จะได้ว่า d | (ax + by) นั้นคือ d | 1 เนื่องจาก d เป็นจำนวนเต็มบวก จึงได้ว่า d = 1 นั้นคือ gcd(a,b) = 1

12. วิธีทำ 1) เนื่องจาก 1024 =(364)(2) + 296 364 = (296)(1) + 68 296 = (68)(4) + 24 68 = (24)(2) + 20 24 = (20)(1) + 4 20 = (4)(5) ดังนั้น gcd(1024,364) = 4 ตัวอย่าง จงหา 1) gcd(1024, 364) 2) จำนวนเต็ม m และ n ซึ่ง gcd(1024, 364)= 1024m + 364n • 2) จากข้อ (1) จะได้ว่า 4 = 24 – (20)(1) • = 24 – [68 – (24)(2)](1) • = (24)(3) – (68)(1) • = [296-(68)(4)](3) – (68)(1) • = (296)(3) – (68)(13) • = (296)(3) – (364 – 296)(13) • = (296)(16) – (364)(13) • = [1024 – (364)(2)](16) – (364)(13) • = (1024)(16) + (364)(-45) • ดังนั้น m = 16 และ n = -45

13. การบ้าน จงหา 1. จำนวนเต็ม m และ n ซึ่ง gcd(414, 662) = 414m + 662n 2. จำนวนเต็ม m และ n ซึ่ง gcd(1300, 908)= 1300m + 908n 3. จำนวนเต็ม m และ n ซึ่ง gcd(1529, 14038)= 1529m + 14038n