Тема 10. Упругие волны

1. Тема 10. Упругие волны 10.1. Общие определения

2. Вначале – о волнах вообще.

3. Пример поверхностной волны

4. Другие виды волновых процессов. Эффект домино

6. Виды волновых процессов (пусковая волна)

7. Виды волновых процессов (пусковая волна) Можно видеть, как в пусковой волне перемещается точка начала движения – противоположно направлению движения автомобилей.

8. Распространение продольного волнового импульса по упругому стержню

9. Поперечные волны

10. Волна – это процесс распространения возмущений в окружающей среде. (Возмущением называют кратковременной отклонение какого-либо параметра среды воздействием извне.) • Необходимыми условиями для возникновения волнового процесса являются: • Наличие связей между элементами среды распространения данного типа волн. • Сообщение одному из элементов среды достаточной первоначальной энергии.

11. x1 x2 часы t2 t1 t1 P t2 x 0 Пусть в какой-то точке хв результате возмущения среды импульсным образом изменилось значение её некоторого параметра Р . Через некоторое время за счет волнового процесса импульс достигнет точки х1 , а затем и х2.

12. v x1 x2 часы t2 t1 t1 P t2 x 0 Скорость волны:

13. v v v Форма волны - одиночная волна (импульс) - цуг волн Гармоническая волна:

14. Простейшая одномерная модель связанной системы

15. Модель поперечной волны

16. Модель продольной волны

17. волновой фронт Форма волновой поверхности определяет тип волны: Плоская волна луч волновые поверхности Цилиндрическая волна Сферическая волна

18. Плоская волна Сферическая волна Цилиндрическая волна Обратим внимание на то, что вся энергия, создаваемая волновым генератором, в случае плоской волны всё время проходит через поверхность одной и той же площади. Т.е. амплитуда волны в плоской волне не меняется, что не соблюдается в других типах волн. (Ниже, в §10.4 будет приведено строгое доказательство этого положения.) В этой связи плоская волна проще других в математическом описании, чем мы и воспользуемся при изучении характеристик упругих волн.

19. Тема 10. Упругие волны 10.2. Плоская волна. Уравнение волны. Параметры волны

20. А v - А ξ х х 0 Пусть генератор поперечных колебаний, который располагается в начале координат, рождает волну, распространяющуюся в направлении оси Х. Процесс колебаний распространяется со скоростью волны V и через некоторое время τ начнётся в точке Х.

21. А v - А ξ х х 0 длина волны волновое число уравнение плоской волны

22. T= 2π /ω ξ t x=const Из уравнения следует, что в любой фиксированной точке Х происходят те же колебания, что и в начале координат, только с определённой начальной фазой, равной kx.

23. T= 2π /ω ξ х ξ v t x=const Если теперь зафиксировать момент времени наблюдения, то получится своего рода мгновенная фотография колебаний (лучше всего представляется фотография поверхностной волны в бассейне с прозрачной стенкой). t=const Вместе с тем, полученная картинка движется, бежит со скоростьv. Поэтому записанное выше уравнение называют уравнением бегущей волны.

24. T= 2π /ω ξ x1 x2 х x2 - x1 = λ ξ v t x=const Рассмотрим теперь расстояние (разность координат) между ближайшими точками, колеблющимися в одинаковой фазе: t=const Это условие означает, что фазы колебаний в двух этих точках разнятся на 2π: Откуда следует, что расстояние между ближайшими точками, колеблющимися в одинаковой фазе равно длине волны:

25. T= 2π /ω ξ x1 x2 х x2 - x1 = λ ξ v t x=const t=const Изображение бегущей волны говорит о том, что со скоростью волны бежит её фаза. Поэтому: Фазовую скорость не следует путать со скоростью колеблющихся частиц в волне, которые в данном случае совершают поперечные колебания, т.е. перпендикулярно направлению фазовой скорости.

26. T= 2π /ω ξ x1 x2 х x2 - x1 = λ ξ v t x=const t=const - фазовая скорость Связь длины волны с фазовой скоростью и периодом колебаний частиц среды: Связь основных параметров бегущей волны: - частота длина волны

27. Тема 10. Упругие волны 10.3. Энергия упругой волны. Вектор Умова

28. Δx Объемная плотность энергии ξ l2 Рассмотрим энергию малого элемента массы Δmтела, по которому идёт поперечная упругая волна ( Δx << λ): l1>l2 l1 х Кинетическая энергия при этом связана с движением частиц тела, а потенциальная – с деформацией упругих связей: Обратим внимание на то, чтодеформация связей максимальна при прохождении частицей положения равновесия, где её скорость максимальна. И исчезает в точке максимального смещения частицы, где та останавливается. Точный расчёт показывает, что: т.е.:

29. Δx Объемная плотность энергии ξ l2 l1>l2 l1 х Масса элемента определяется его объёмом и плотностью вещества: где u– скорость колеблющихся частиц: Объёмная плотность энергии:

30. ΔS Плотность потока энергии (вектор Умова) v Рассмотрим энергию, которая переносится волной через площадку ΔS за время Δt. ΔV vΔt где Эта энергия заключается в объёме Введём понятие плотность потока энергии как энергию, переносимую в единицу времени через единичную поверхность: Подставив значение объёма, получаем: т.е.:

31. ΔS U <U> t Плотность потока энергии имеет направление, которое, естественно, совпадает с направлением скорости волны (фазовой скорости): v vΔt - вектор Умова По модулю: Среднее значение плотности потока энергии (среднего по времени модуля вектора Умова) определяется средним значением квадрата косинуса. Если внимательно посмотреть на график, то можно видеть:

32. Тема 10. Упругие волны 10.4. Поток энергии

33. S S n α U Потоком энергии называют энергию, переносимую в единицу времени через данную поверхность. Для плоской волны поток энергии через плоскую площадку определяется скалярным произведением вектора Умова на вектор площадки: Поле вектора Умова для плоской волны является однородным: в любой точке площадки он одинаков по величине и направлению:

34. S dS U α dS Общий случай: произвольная поверхность, поле неоднородное В этом случае сначала выбирается столь малый элемент поверхности, который можно считать плоским и на котором вектор Умова можно считать неизменным по величине и направлению: а затем полученные элементарные потоки энергии складываются по всей заданной поверхности, т.е. производится интегрирование:

35. S┴ ┴ dS U U r Плоская волна Сферическая волна (точечный источник)

36. Тема 10. Упругие волны 10.5. Интерференция встречных волн. Стоячие волны

37. Пусть две одинаковые по частоте и амплитуде волны встречаются в некоторой точке х : ξ х х 0 Результирующее смещение будет складываться из смещений, вызванных исходными волнами: Для сложения косинусов воспользуемся известным из тригонометрии преобразованием: В результате получим: т.е. колебания той же частоты, что и в исходных волнах, но с амплитудой, зависящей от координаты х : или:

38. пучности узлы Таким образом, вместо двух бегущих волн в результате их интерференции получаются колебания с разными значениями амплитуды – стоячая волна. ξ Из последней формулы видно, что в определённых точках амплитуда максимальна и равна удвоенной исходной амплитуде. В таких точках находятся пучности. 2A0 х 0 В других точках амплитуда равна нулю. Здесь находятся узлы. -2A0 1. Координаты пучностей (А = 2А0)

39. ξ х пучности узлы 2. Координаты узлов ξ 2A0 х -2A0 бегущая волна стоячая волна

40. Тема 10. Упругие волны 10.6. Стоячие волны в замкнутом пространстве

41. Пусть вдоль оси х в ограниченном с двух сторон пространстве распространяется волна В точке х = 0происходит наложение волны, идущей слева х 0 l l и волны, пришедшей справа после отражения от правой стенки: При сложении этих волн будут наблюдаться стоячие волны лишь при условии, что при встрече они будут находиться в одной фазе:

42. х Поскольку волновое число 0 l l то условием для стоячих волн в замкнутом пространстве будет равенство расстояния между стенками целому числу полуволн: х 0 п=1 l п=2 моды (типы волн) п=3

43. Тема 10. Упругие волны 10.7. Свободные колебания струны

44. Образование стоячей волны в струне, закрепленной на обоих концах n=1 – основная частота, основной тон Частота: n=2,3,4,.. – обертоны

45. Первые пять нормальных мод колебаний струны, закрепленной на обоих концах - основной тон - обертоны