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レポート提出者のリスト

レポート提出者のリスト. 次の URL に掲載 http://www.goto.info.waseda.ac.jp/ ~goto/infomath.html 学内の IP アドレスからのみ閲覧 (133.9.0.0) レポートを提出した筈なのに、学籍番号のページに掲載されない場合は、前期の授業の 終了日 までに、学籍番号と氏名を明記して後藤宛にメールで連絡をください。. Ver.2. 代数入門 algebra. イーサネットによる 通信の基礎. FCS (Frame Check Sequence) 4 オクテット 誤り検出のために使用。 生成多項式 は以下の通り。

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Presentation Transcript

  1. レポート提出者のリスト • 次のURLに掲載http://www.goto.info.waseda.ac.jp/~goto/infomath.html • 学内のIPアドレスからのみ閲覧(133.9.0.0) • レポートを提出した筈なのに、学籍番号のページに掲載されない場合は、前期の授業の終了日までに、学籍番号と氏名を明記して後藤宛にメールで連絡をください。

  2. Ver.2 代数入門 algebra イーサネットによる通信の基礎 • FCS (Frame Check Sequence) 4オクテット誤り検出のために使用。生成多項式は以下の通り。 • 受信側で同様のアルゴリズムによりCRC値を計算し、フレームチェックシーケンスの値と異なった場合には、終端装置でフレーム誤りとして破棄。 • 「ワイドＬＡＮサービスのインタフェース 第1 版」 西日本電信電話株式会社 p.43 より引用

  3. 半群とモノイド • 集合Aの上の二項演算「・」が次の性質（結合律）を満たすとき、<A,・>を半群(semigroup) という • 半群<A,・>の要素 eが、すべての a∈Aに対して次の性質を満たすとき、eを単位元という(1とも書く） • 単位元を持つ半群のことを単位半群、モノイドmonoid という。 eを明示する場合の表記 <A,・, e>

  4. 半群とモノイドの性質 • モノイドの単位元は一意に定まる。もし eと e’ とが単位元であるとすると　e=e’となる。 • 次の性質を満たす元 0 を半群の零元という。零元が存在するときは唯一である。

  5. 半群とモノイドの例 • 半群 <A,・> が可換(交換可能) とは次の性質を満たすことである。 • 例： <N,＋> は可換なモノイド。単位元は 0。 <N,×> は可換なモノイド。単位元は 1。零元が0。 の上の演算 を考える は可換なモノイドである。

  6. 文字列の作るモノイド 形式言語理論の基礎 • ∑ は空でない有限集合。∑ 上の語(word)または文字列(string) とは、∑ の有限個の要素を並べたものである。 • の長さは　　　　　　である。 • 長さ 0 の語を空語という。空語を　　と表す。 • 二つの語の連接(concatenation) を下のように定義。 • ∑ 上の語の集合を ∑＊と書く。　　　　　　はモノイドである。可換ではない。

  7. 群とアーベル群 • モノイド<A,・,e>の要素 a に対して、Aの要素 a-1が存在して、次の性質を満たすときに、a-1を aの逆元という • モノイド Aの任意の要素に逆元が存在するとき、Aを群 (group) という。逆元は一意に定まる。 • 可換である群を、可換群またはアーベル群という。可換群の時には、演算「・」の代りに「＋」を使う。可換群の時には、逆元を －a と書く。

  8. 群とアーベル群の例 • <Z, ＋, 0> はアーベル群。nの逆元は ーn • <Qー{0}, ×, 1> はアーベル群。qの逆元は 1/q • 平面上の点を原点を中心としてθ度回転させる操作を考える。<回転, 回転の合成, 0度回転> はアーベル群。θ度回転の逆元はーθの回転。 • 回転の操作を行列で表現する。単位元は単位行列。 • ２×２の実行列の集合は、積の演算に関してモノイド。可換ではない。正則行列の集合は群をなす。 線形代数の基礎

  9. 中間まとめ（半群、モノイド、群） 可換な場合もある アーベル群

  10. 環 • 集合 R の上に二つの二項演算「＋」と「・」があり、次の性質を満たすとき、R は環(ring) である • R の要素 0 に関して <R,＋,0> はアーベル群 • <R,・> は半群　　可換とは限らない • R の任意の要素 a, b, c に対して分配律が成立つ • 環の例：２×２の実行列の集合は、行列の和と積に関して環をなす。行列の積は可換ではない。

  11. 可換環、単位的環 • 環 R において「・」が可換であるとき R を可換環という。 • 環 R において 「・」に関する単位元が存在するときR を単位的環という。（ <R,・,1> がモノイド） • 単位的可換環の例：整数環 <Z, +,・>、単位元は１。Q, R, C (複素数)も単位的可換環である。 　　　　　　は単位元１を持つ可換環。ここに モノイドであるから「・」の逆元は存在しなくても良い。

  12. 体 • R が次の条件を満たすとき、体 (field) という。 • Rは「＋」に関してアーベル群である。 • Rの「・」は結合律を満たす。（半群） • R の「＋」と「・」は分配律を満たす。 • Rー{ 0 } が「・」に関して群になる。 • Rの「・」の単位元１が存在する。この「・」の単位元１と 0 とは異なる。 • 体の例：Q, R, Cはいずれも体である。 環 要素が少なくとも二つある。

  13. 体の例 簡単な体であるが符号理論において重要な役割を果たす。 • 　　　　　　　　　は単位元１を持つ可換環であるが、体でもある。 • 　　　　　　　　　　　　　は pが素数ならば体。

  14. 演習問題　剰余環 Zpが体になるとき • Zpが体になるのは、pが素数のときに限る。 • Zpは剰余環と呼ばれる環である。（証明略） Z4の２には逆元が存在しない。 もし　2x≡1 mod 4 となる x が存在したと仮定すると、2x-1=4y, 2(x-2y)=1となるが、2倍して（modでなく）本当に1になるような整数 (x-2y)は存在しない。

  15. 中間まとめ（環、体） • 環Rの零因子でない要素の集合は「・」に関して半群をなす。環Rにおいて0以外に零因子がない場合に、Rは整域という。体は整域の一種である。体は単位的環でもある。 可換でない場合に 特に斜体と呼ぶこ とがある 可換な場合もある

  16. 多項式環 • F が体であり、x が変数であるとする。上の形の式を F 上の変数 x の多項式という。この全体の集合を F[x] と書く。 • F[x] の上に和と積を定義することができる。F[x]は零元として定数 0, 単位元として定数 1 を持つ単位的可換環となる。これを多項式環という。 多項式の逆数が多項式となるとは限らない。

  17. 多項式の除法定理 • 多項式の次数(degree)：　deg( f (x) ) ＝ n • f(x)および g(x) が体 F 上の多項式とする。さらに 0deg(g(x)) とする。この時、F 上の多項式 q(x)と r(x) が存在して下が成立つ。 • r(0) は 0 であるか 0deg(r(x))<deg(g(x))条件を満たす商q(x) と剰余r(x) は一意に定まる。 多項式の積

  18. CRC (Cyclic Redundancy Check) 桁数が少ない例題 • 送信ビット列を多項式と見なしたものＰ(Ｘ)、生成多項式Ｇ(Ｘ)、生成多項式の最高次数をnとした時、Ｐ(Ｘ)・Ｘn / Ｇ(Ｘ)　の余りをCRC符号とする。 【例】送信ビット列 11001000 (Ｐ(Ｘ)＝Ｘ7＋Ｘ6＋Ｘ3)生成多項式Ｇ(Ｘ)＝Ｘ6＋Ｘ2Ｐ(Ｘ)・Ｘ6 / Ｇ(Ｘ) ＝ Ｘ7＋Ｘ6＋Ｘ2　　　　　　　　　　余り Ｘ4このとき、CRC符号は 010000 となる。 必ず5次以下になる 6ビットで表現可能 引用）　http://www.netlaputa.ne.jp/~hijk/study/nw/glossary.htm 　　　　　「ネットワーク・スペシャリスト・用語集」を一部修正して引用した。

  19. イーサネットの CRC の計算法 • CRC-32で33bitの定数ビット列から32bitのCRCを得る • ビット列– 100000100110000010001110110110111 • 生成多項式 (Generation Polynomial ) で書けば下記の通り • 計算の手順 • 生成多項式を G(x) とする • 送信するデータに32ビットの0をパディングして多項式表現したもの M(x) • CRC値は割算 R(x) = M(x)÷G(x) の剰余である • 送信するフレームは F(x) = M(x) + R(x) • 誤りの検出 • 正しい受信データでは、F(x)がG(x)で割り切れる

  20. 問５： ２００６年度定期試験問題 • 整数の集合 Zは、加算（+）という演算に関して0を単位元 (unit element)とする 群(group)をなす。この理由を丁寧に説明せよ。 • [解答]次の３つのことが成立つので、整数の集合Z は可算(+)に関して0を 単位元 (unit element)とする 群(group)をなす。(続く)

  21. (1) 整数の集合 Zは加算(+)という演算に関して結合律を満たす。すなわち、任意の整数 a, b, c ∈Z に対して a+(b+c)=(a+b)+c が成り立つ。 (2) 0が加算の単位元となる。すなわち、任意の整数 a∈Z に対して a+0=0+a=a が成り立つ。 (3) 任意の整数に対して逆元が存在する。すなわち、任意の整数 a∈ Z に対して－a が存在して次の性質を満たす。a+(－a)=(－a)+a=0、ここに 0 は単位元である。 （注：この群はアーベル群となる。その点については解答の中で触れなくても良いとした。）

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