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专 题 篇. C1. 流体的平衡. C2. 不可压缩无粘性流体平面势流. C3. 不可压缩粘性流体内流. C4. 不可压缩粘性流体外流. C5. 可压缩流体流动基础. C 1 流体的平衡. 平衡的条件. 压强分布. 任 务. 总压力. 相对平衡. 浮体稳定性. 流体静力学. 固壁受力分析. 液缸 , 水坝 , 闸门等. 液压系统原理. 水压机 , 油压系统等. 应 用. 压力仪器设计. 比重计 , 测高仪 , 分离器等. 浮体稳定性分析. 舰船 , 浮吊 , 气艇等. C 1 流体的平衡.

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专 题 篇

C1. 流体的平衡

C2. 不可压缩无粘性流体平面势流

C3.不可压缩粘性流体内流

C4. 不可压缩粘性流体外流

C5. 可压缩流体流动基础

slide2

C1 流体的平衡

平衡的条件

压强分布

任 务

总压力

相对平衡

浮体稳定性

流体静力学

固壁受力分析

液缸,水坝,闸门等

液压系统原理

水压机,油压系统等

应 用

压力仪器设计

比重计,测高仪,分离器等

浮体稳定性分析

舰船,浮吊,气艇等

C1 流体的平衡

C1.1 引言

slide3

C1 流体的平衡

C1.2.1欧拉平衡方程

0

0

C1.2流体平衡微分方程

由N-S 方程

可得欧拉平衡方程

说明作用在单位体积流体上的体积力与压强梯度平衡。

分量式为

压强全微分式为

说明体积力向任何方向的投影为该方向的压强增量

slide4

C1 流体的平衡

由 ,可得等压面方程:

C1.2.2等压面

  • 等压面上的体积力特征:体积力处处与等压面垂直.
  • 静止流体中等压面为水平面
  • 旋转流体中等压面为旋转抛物面。
slide5

C1.2 流体平衡微分方程

成立,均质流体(ρ=常数)和正压流体(ρ=ρ(p))必须满足体积力有势的条件: ,π称为势函数。

C1.2.3流体平衡的条件

  • 为保证欧拉平衡方程
  • 重力是有势力。在重力场中

1. 均质流体(如淡水)和正压流体(如等温的空气)可以保持平衡,等压面、等势面、等密度面三者重合:

2. 斜压流体(ρ=ρ(p,T),如大范围的大气、海水)不能 保持平衡,等压面、等密度面不重合,要引起对流。

slide6

p = RρT

(B1.4.5)

设在赤道和北极地区离地面相同高度处压强相同,但由于太阳光照射强度不同,两处温度相

差悬殊,由(B1.4.5)式相应的密度不相同,因此大气密度除了沿高度变化外还随地球纬度改变而改变,等压面与等密度面(虚线)不重合(见右图),造成大气层的非正压性,不满足流体平衡条件。这样形成在赤道处大气自下向上,然后在高空自赤道流向北极;在北极大气自上向下,最后沿洋面自北向南吹的大气环流。通常将沿洋面自北向南吹的风称为贸易风。

[例C1.2.3] 贸易风:流体平衡条件

设大气满足完全气体状态方程

slide7

C1 流体的平衡

重力势能

位置水头

总势能

压强势能

总水头

(测压管水头)

压强水头

C1.3流体静力学基本方程

  • 单位质量流体机械能守恒式
  • 水头形式
  • 常用形式

限制条件: (1)均质,(2)重力,(3)连通的同种流体。

slide8

C1 流体的平衡

当液体以等加速度a 作直线运动或以等角速度(向心加速度 )旋转并达到稳定时,液内象刚体一样运动,N-S方程可化为

C1.4.1等加速直线运动

C1.4均质液体相对平衡

fg为重力。上式与欧拉平衡方程形式相同, fg – a 也是有势力。符合平衡条件,称为液体的相对平衡。

设液体以等加速度a 沿水平方向作直线运动

  • 体积力分量

fx = -a ,f y = 0 , fz= -g

压强全微分式

slide9

C1.4.1 等加速直线运动

a x + g z = C

用淹深表示

  • 压强分布式

在图示坐标系中

  • 说明液内压强在x、z方向均为线性分布。
  •  说明垂直方向压强分布与静止液体中一样。

3. 等压面方程

  • 等压面为一簇与自由液面平行的斜平面,处处与体积力合力  垂直
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[例C1.4.1] 匀加速直线运动液体的相对平衡

已知: 用汽车搬运一玻璃缸。缸长×宽×高=l×b×h=0.6×0.3×0.5m3, 静止时缸内水位高d=0.4m。设鱼缸沿汽车前进方向纵向放置。

求: (1)为不让水溢出,应控制的汽车最大加速度am;

(2)若鱼缸横向放置时的最大加速度am'。

解:建立坐标系oxz 如图示。设鱼缸加速度为a,体积力分量为

fx= - a, fz= -g

等压面微分方程为

a x + g z = c

液面中点的坐标为(0 , d),c = g d。液面方程为

a x+ g z = g d

slide11

可见 ,鱼缸横向放置水不易溢出。

[例C1.4.1] 匀加速直线运动液体的相对平衡

加速度表达式为

(1)当鱼缸纵向放置时,与后壁最高液位(-l / 2, h)相应的加速度为

(2)当鱼缸横向放置时,与后壁最高液位(- b / 2, h)相应的加速度为

slide12

C1.4.1 等加速直线运动

C1.4.2等角速度旋转运动

设液体以等角速度ω绕中心轴z 轴旋转

  • 体积力分量

fx=ω2x ,fy=ω2y ,fz= -g

压强全微分式

  • 压强分布式

在图示坐标系中

  • 说明液内压强在z方向为线性分布,在r方向为二次曲线分布。
slide13

C1.4.2 等角速度旋转运动

积分得

  • 等压面

c不同值时得一簇旋转抛物面。

自由液面上c =-g z0。设自由液面垂直坐标为zs ,

方程为

代入压强分布式,令h = zs- z,可得

证明在垂直方向的压强分布规律仍与静止液体中一样。

slide14

解:

建立坐标系oxyz ,原点o在底部中心,静止时 z 0 = H 0 。

[例C1.4.2] 匀角速度旋转运动液体的相对平衡

已知: 一封闭圆筒,高H = 2m,半径R=0.5m,注水高H0 = 1.5 m,压强为 p0=1000 N /m2。圆筒开始旋转并逐渐加速

求: (1)当水面刚接触圆筒顶部时的ω1、pc1 及pw1;

(2 ) 当气体刚接触圆筒底部的ω2、pc 2 及pw 2。

(1)当边缘水位刚达顶部时,由自由面方程式

slide15

[例C1.4.2] 匀角速度旋转运动液体的相对平衡

取 r = 0.5 m, zs = 2m, z0 =1m

pc1= p 0 + ρg z0 = 1000 + 9807×1 = 10806 N/m2

p w1= p 0+ρg H =1000 + 9807×2 = 20612 N/m2

(2)当气体接触圆筒底部时,设顶部液面线的半径为r2,由空气容积不变

slide16

在第二种情况中, 若没有顶盖限制,边缘水位将上升至

讨论:

[例C1.4.2] 匀角速度旋转运动液体的相对平衡

在自由面方程中z 0 = 0,z s = 2 m,r = 0.354m

slide17

C1 流体的平衡

C1.5均质液体对平壁的总压力

C1.5.1平壁总压力大小

  • 工程 背景:压力容器,水坝,潜艇,活塞等;结构强度,安全性能,运动规律计算等。
  • 条件:均质流体,体积力为重力。

图示斜平壁和坐标系oxy , o点在自由液面上,y轴沿斜平壁向下。

在面积A上取面元dA ,纵坐标y ,淹深为

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C1.5 均质流体对平壁的压力

yc 为面积A形心的纵坐标,

为形心的淹深。

作用在dA 和A上的总压力

在几何上面积A 对x轴的面积矩

pc 为形心的压强。表明作用在面积A上的总压力大小等于形心压强乘以面积 。

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C1.5 均质流体对平壁的压力

C1.5.2平壁总压力作用点

可得

可得 , (纵向偏心距)

同理 , (横向偏心距)

1、积分法

用力矩合成法

Ix为面积对x轴惯性矩。用平行移轴定理

rξ为面积A对ξ轴的回转半径。

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[例C1.5.2A] 圆形平壁总压力

已知: 封闭油柜侧壁上有一圆形封盖, d= 0.8mh = 1.2 m ,ρ= 800 kg/m3 .

求: p0 分别为(1)5 kPa ; (2) 2 kPa时总压力F 和偏心距 e 。

解:(1)当p01 = 5kPa时,在封盖中心的压强为

p c1 = p 01+ρgh = 5 + 0.8×9.81×1.2 = 5 + 9.42 = 14.42 (kPa)

h c 1 = 0.5 l sin30°= l / 4 = 1 m

o1 点位于油面上方p 0 1 / ρ 处

slide21

[例C1.5.2A] 圆形平壁总压力

圆板 rξ2 = d 2 /16 =0.82/16=0.04 m2,偏心距为

(2)当 p0 2= -2kPa 时

p c2 = p 0 2+ρg h = -2 + 9.42 = 7.42(kPa)

F2=pc 2 A= 7.42×0.503 = 3.73(kPa)

o2 点位于油面上方 | p 0 2 |/ ρ处

slide22

C1.5.2 平壁总压力作用点

2.几何法

当一矩形平壁的一边平行于液面时,作用在平壁上的压强构成平面线性平行力系,得用几何合成法求解。

总压力

矩形面积

三角形面积

向A点取矩求压强中心

可得

slide23

C1 流体的平衡

C

O

B

A

C1.6均质液体对曲壁的总压力

二维曲壁的母线垂直某一坐标面归结为求端线ab(单位宽度)上的压强合力。分为水平分力和垂直分力。工程应用中以二维曲壁为主。

三维曲壁有三个投影面,三个投影面上的三个分力不一定共点,可化为一个合力,一个力偶,应用较少。

slide24

C1.6均质液体对曲壁的总压力

dF

dF x

dFh

C1.6.1二维曲壁

以储液罐为例,曲壁ab沿水平方向的投影面积为Ax,沿垂直方向的投影面积为Ah。

  • 水平分力

hx c为投影面积Ax形心的淹深。水平分力作用应按平壁计算。当投影面积有重叠部分时,该部分的合力为零。

  • 垂直分力

τp称为压力体。压力体内液体重量构成垂直分力,作用线通过压力体的重心。

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C1.6.1二维曲壁

当液体与压力体位于曲壁同侧,压力体为正(方向向下)

当液体与压力体位于曲壁异侧,压力体为负(方向向上)

  • 总压力

水平分力作用线按平壁总压力方法确定。垂直分力作用线通过压力体的重心。

  • 压力体

压力体是指曲壁与自由液面之间的垂直空间的容积。当压力体内无水时(如图C1.6.4示)称为虚压力体,总压力的垂直分力

负号表示垂直分力方向向上。

压力体的虚实取决于大气压液面与壁面的相对位置,一种判别方法为

slide26

I

[例C1.6.1.A] 二维曲壁总压力(二)

已知: 图示封闭容器α= 45°方孔,边长l = 0.4 m,盖有半圆柱形盖. H = 0.5 m,压强为p0 = 0.25 atm

求: 盖所受总压力大小与方向 。

解: 基准面离液面p0 / ρg,坐标系oxyh

(1)盖ABE水平投影,实际面积Ax = l 2cos45°,水平方向合力分量为

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(2)盖ABE垂直投影,AB段的压力体为负,BE段的压力体为正 ,分别与 组合

[例C1.6.1.A] 二维曲壁总压力(二)

(3)总压力大小与方向

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C1 流体的平衡

(物体重量) 沉体

C1.7浮力与稳定性

C1.7.1阿基米德浮力定律

  • 第一浮力定律:沉体受到的浮力 等于排开的液体重量。

设沉体体积为τ

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C1.7.1 阿基米德浮力定律

(物体重量) 潜体

(物体重量) 浮体

设浮体浸没部分体积为

  • 第二浮力定律:浮体排开液体重量等于自身重量。
  • 浮心:浸没部分液体的形心C
  • 浮轴:通过浮心的垂直轴
slide30

[例C1.7.1] 液体比重计

液体比重计如图,比重计插入蒸馏水(4℃)中,液面基准线(SG=1),排水体积为τ0 。

被测液体液面线将在基准线以下Δh位置处

SG为被测液体的比重,k为常数。当SG>1时刻度线在基准线的下方,当SG<1时刻度线在基准线的上方。

slide31

C1.7 浮力与稳定性

(3) G 在C上方:取决于稳心

高度

C1.7.2潜体与浮体的稳定性

潜体举例:水下舰艇、水雷、气艇、气球等。

浮体举例:水面舰船、船坞、浮吊、浮标等。

  • 平衡条件:(1) 浮力=重力; (2) 浮轴=重力线

1、潜体(浮心不变)的稳定性

(1) G(重心)在C(浮心)下方:稳定平衡

(2) G 在C上方:不稳定平衡

(3) G 与C重合:随遇平衡

2、浮体(浮心改变)的稳定性

(1) G 与C重合:随遇平衡

(2) G 在C下方:稳定平衡

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C1 流体的平衡

C1.8大气中的压强分布

p0 =101.3kPa (ab)

T0= 228.15 K

ρ0=1.225kg/m3

Μ0=1.789×10-5Pa·s

0~11km为对流层

欧拉平衡方程适用于可压缩流体(正压流体),但需补充ρ与p的关系式。

设大气满足状态方程

按国际标准大气模型规定(海平面上

z=0):

11~20km为同温层 T=T2≡216.5K

slide33

C1.8 大气中的压强

由欧拉平衡方程得

1、在对流层(0~11km)

2、在同温层(11~20km)

式中p1,z1为对流层与同温层交界面参数,T 2为同温层内温度。

slide34

[例C1.8.1] 大气压强与密度变化

已知: 上海市Z0= 0,T0 =288 K(15℃),p0 =101.3 k Pa (ab) ρ0 =1.225 kg/m3,拉萨市Z = 3658 m,T=279K(6℃)。

求: (1)按温度-高度线性关系计算拉萨市平均气压p;

(2)按完全气体计算两地大气的密度比ρ/ρ0。

解:(1)由温度-高度关系T = T0-βZ

slide35

[例C1.8.1] 大气压强与密度变化

对流层压强与高度关系

说明拉萨的大气压强约为上海的64.3%。

(2) 按完全气体状态方程

说明拉萨的大气压强约为上海的66%。