Μάνος Ρουμελιώτης Πανεπιστήμιο Μακεδονίας etl.uom.gr/mr/

1. Αξιοπιστία Υπολογιστικών Συστημάτων Μάνος ΡουμελιώτηςΠανεπιστήμιο Μακεδονίας http://www.etl.uom.gr/mr/

2. Θέματα • Ορισμοί • Ελάττωμα, Σφάλμα και Αποτυχία • Υπολογισμός Αξιοπιστίας • Σύνθετα συστήματα • Ικανότητα συντήρησης • Διαθεσιμότητα

3. Αξιοπιστία Η Αξιοπιστία ενός συστήματος ορίζεται ως η πιθανότητα ότι το δεδομένο σύστημα θα εκτελεί την επιθυμητή λειτουργία του κάτω από προδιαγεγραμμένες συνθήκες για συγκεκριμένη χρονική περίοδο. MTBF (Mean Time Between Failures): Ο μέσος χρόνος που ένα σύστημα θα λειτουργήσει ανάμεσα σε δύο αποτυχίες. Ο MTBF εκφράζεται συνήθως σε ώρες και είναι πιο χρήσιμο μέτρο για τον χρήστη απ’ ότι η αξιοπιστία.

4. Ελάττωμα, Σφάλμα και Αποτυχία • Ελάττωμα είναι η μη κανονική κατάσταση που μπορεί να προκαλέσει μείωση ή και πλήρη απώλεια της ικανότητας ενός συστήματος να εκτελεί την απαιτούμενη λειτουργία του. • Σφάλμα είναι η ασυμφωνία ανάμεσα στην παρατηρούμενη κατάσταση και την θεωρητικά ορθή κατάσταση. • Αποτυχία είναι η ανικανότητα ενός συστήματος να εκτελέσει τις απαιτούμενες λειτουργίες του εντός προδιαγραφών.

5. Παράδειγμα Έστω ότι έχουμε μια μνήμη υπολογιστή, η οποία βομβαρδίζεται με ιόντα υψηλής ενέργειας: • Αν τα ιόντα προκαλέσουν αλλοίωση σε κάποιο κελί της μνήμης, τότε έχουμε ελάττωμα • Αν το κελί αυτό της μνήμης αλλάξει τιμή από 0 σε 1 ή το αντίστροφο, τότε έχουμε σφάλμα • Αν το κελί αυτό διαβαστεί, προφανώς θα διαβαστεί η λάθος τιμή, οπότε έχουμε αποτυχία

6. Υπολογισμός αξιοπιστίας • Η αξιοπιστία ενός συστήματος συχνά μοντελοποιείται ως: • R(t) = e-λt • όπου λ είναι ο ρυθμός αποτυχίας εκφρασμένος ως το ποσοστό των αποτυχιών ανά 1000 ώρας ή ανά ώρα. • Όταν το γινόμενο “λt” είναι μικρό, τότε: • R(t) = 1 - λt

7. Σχέση ανάμεσα στον MTBF και τον ρυθμό αποτυχίας • MTBF είναι ο μέσος χρόνος λειτουργίας του συστήματος ανάμεσα σε αποτυχίες και δίνεται από τον τύπο: • MTBF = ∫0∞R(t) dt = ∫0∞ e-λt dt = 1/λ • Δηλαδή, ο MFBF είναι το αντίστροφο του ρυθμού αποτυχίας • Αν το «λ» είναι ο αριθμός των αποτυχιών ανά ώρα, τότε ο MTBF εκφράζεται σε ώρες

8. Παράδειγμα • Ένα σύστημα έχει 5000 στοιχεία με ρυθμό αποτυχίας 0.04% ανά 1000 ώρες. Υπολογίστε το λ και τον MTBF. • λ = (0.04 / 100) * (1 / 1000) * 5000 = 2 * 10-3αποτυχίες/ώρα • MTBF = 1 / (2 * 10-3 ) = 500 ώρες

9. 1.0 0.8 ΑξιοπιστίαR(t) 0.6 0.4 0.36 0.2 0 2 MTBF 1 MTBF Αξιοπιστία και MTBF • R(t) = e–λt = e–t / MTBF • Επομένως, • MTBF = - t / ln(R(t)) χρόνος t

10. Παράδειγμα • Ένας υπολογιστής περιέχει 10000 στοιχεία που το καθένα έχειλ = 0.4%/(1000 ώρες). Για ποια περίοδο έχει το σύστημα αξιοπιστία 99%; • MTBF = - t / ln(R(t)) = - t / ln(0.99) • t = - MTBF * ln(.99) = 0.01 / λμ • Όπου λμ είναι ο μέσος ρυθμός αποτυχίας • N = αριθμός στοιχείων = 10000 • λ = ρυθμός αποτυχίας ενός στοιχείου • = 0.4% / (1000 ώρες) = 0.004/1000 = 4 * 10-6ανά ώρα • Επομένως, λμ= N λ = 10000 * 4 * 10-6 = 4 * 10-2ανά ώρα • και, t = 0.01 / (4 * 10-2 ) = 15 λεπτά

11. Εν σειρά και παράλληλη αξιοπιστία 1. Σύνδεση εν σειρά 1 2 3 4 N R R R R R Συνολική αξιοπιστία = Rt= R * R * R…. R = RN 2. Παράλληλη σύνδεση 1 Rt = 1 – (πιθανότητα να αποτύχουν όλα τα στοιχεία) Rt = 1 – (1 - R)N R 2 R N R

12. Ικανότητα συντήρησης • Ικανότητα συντήρησης ενός συστήματος είναι η πιθανότητα ανεύρεσης και επιδιόρθωσης ενός σφάλματος εντός δεδομένων χρονικών περιθωρίων. • Η ικανότητα συντήρησης δίνεται από: • M(t) = 1 – e-µt • όπου μ είναι ο ρυθμός επιδιόρθωσης • καιt τα είναι τα επιτρεπτά χρονικά περιθώρια για την επιδιόρθωση • µ = 1/(Μέσος χρόνος επιδιόρθωσης) = 1/MTTR • M(t) = 1 – e-t/MTTR

13. Διαθεσιμότητα • Διαθεσιμότητα ενός συστήματος είναι η πιθανότητα ότι το σύστημα θα λειτουργεί εντός προδιαγραφών οποιαδήποτε στιγμή της ωφέλιμης ζωής του. • Διαθεσιμότητα = Χρόνος λειτουργίας / (Χρόνος λειτουργίας + Χρόνος βλάβης) • Χρόνος βλάβης = Αριθμός αποτυχιών * MTTR • Χρόνος βλάβης = Χρόνος λειτουργίας * λ * MTTR Επομένως, • Διαθεσιμότητα = Χρόνος λειτουργίας / (Χρόνος λειτουργίας + (Χρόνος λειτουργίας * λ * MTTR) • = 1 / (1+(λ*MTTR) • Διαθεσιμότητα = MTBF / (MTBF + MTTR)

14. Βιβλιογραφία • Ebeling, Charles E., (1997), An Introduction to Reliability and Maintainability Engineering, McGraw-Hill Companies, Inc., Boston. • Kapur, K.C., and Lamberson, L.R., (1977), Reliability in Engineering Design, John Wiley & Sons, New York. • Kececioglu, Dimitri, (1991) "Reliability Engineering Handbook", Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey • Leemis, Lawrence, (1995) Reliability: Probabilistic Models and Statistical Methods, 1995, Prentice-Hall. ISBN 0-13-720517-1 • MacDiarmid, Preston; Morris, Seymour; et al., (1995), Reliability Toolkit: Commercial Practices Edition, Reliability Analysis Center and Rome Laboratory, Rome, New York. • Modarres, Mohammad; Kaminskiy, Mark; Krivtsov, Vasiliy (1999), "Reliability Engineering and Risk Analysis: A Practical Guide, CRC Press, ISBN 0-8247-2000-8. • Neubeck, Ken (2004) "Practical Reliability Analysis", Prentice Hall, New Jersey • O'Connor, Patrick D. T. (2002), Practical Reliability Engineering (Fourth Ed.), John Wiley & Sons, New York. • Shooman, Martin, (1987), Software Engineering: Design, Reliability, and Management, McGraw-Hill, New York. • Tobias, Trindade, (1995), Applied Reliability, Chapman & Hall/CRC, ISBN 0-442-00469-9 • Springer Series in Reliability Engineering