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傅里叶变换

第八章. 傅里叶变换. 一个以 L 为周期的函数 f L ( t ) ，如果在区间 [- L /2, L /2] 上连续，那么在 [- L /2, L /2] 上可以展开成傅里叶级数 其中 一个周期函数表示成正弦函数类的和，称为函数 f L ( t ) 的傅里叶级数. §8.1 傅里叶变换. 记. 傅里叶级数的复指数形式. 设非周期函数 F ( t ) 在区间 内连续、可积，且绝对可积，考虑区间 (- L /2, L /2) ， F ( t ) 在此区间上有三角级数表示. 其中系数为.

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傅里叶变换

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  1. 第八章 傅里叶变换

  2. 一个以L为周期的函数fL(t)，如果在区间[-L/2,L/2]上连续，那么在[-L/2,L/2]上可以展开成傅里叶级数一个以L为周期的函数fL(t)，如果在区间[-L/2,L/2]上连续，那么在[-L/2,L/2]上可以展开成傅里叶级数 其中 一个周期函数表示成正弦函数类的和，称为函数fL(t)的傅里叶级数. §8.1 傅里叶变换

  3. 记 傅里叶级数的复指数形式

  4. 设非周期函数F(t)在区间 内连续、可积，且绝对可积，考虑区间(-L/2,L/2)，F(t)在此区间上有三角级数表示 其中系数为 定义一个周期为L的函数FL(t)， FL(t)在区间(-L/2,L/2)内等于F(t)，而在区间端点-L/2, L/2处的值可能等于F(t)在这两点的平均值；

  5. 当L越大时，FL(t)与F(t)相等的范围也越大，可以猜测当L时，周期函数FL(t)的极限为F(t)，即是当L越大时，FL(t)与F(t)相等的范围也越大，可以猜测当L时，周期函数FL(t)的极限为F(t)，即是 对任意的 ，有

  6. 当L时， ，令 ，则有 以及 记 ，有 其中对实数，函数 定义为

  7. 当L趋向无穷时， 自然趋向于一个函数 ，称为函数F的傅里叶变换， 随着L趋向无穷时， 趋向于零，而 所对应的点均匀地分布在整个数轴上，且取值从-到， 称为 的傅里叶逆变换.

  8. 定理8.1若F(t)在(-, )上满足下列条件： (1) F(t)在任何有限区间上连续或只有有限个第一类间断点； (2) F(t)在任何有限区间上只有有限个极值点； (3) F(t)在区间(-, )上绝对可积，即是积分 收敛.则F的傅里叶变换 存在，且有

  9. 例8.1证明：若F(t)满足傅里叶变换定理，则当F(t)为奇函数时，有 其中 ，并由定义傅里叶正弦变换。 证: 因为F(t) 满足傅里叶变换定理条件，故当F(t)为奇函数时,有 此为ω的奇函数,但为复值.所以

  10. 将 代入得 令 ,得

  11. 例8.2求函数 的傅里叶变换，并求傅里叶逆变换的积分表达式，其中>0.这个函数叫做指数衰减函数，是工程中常遇到的一个函数. 解: 上式最后一行的表达式就是衰减函数的傅里叶变换

  12. 傅里叶逆变换

  13. 例8.3求函数 的傅里叶变换和逆变换的积分表达式，其中 .这个函数叫做钟形函数，又称为高斯(Gauss)函数，是工程技术中常见的函数之一. 令 ，则上式变为一复变函数的积分， 解:

  14. 为复平面s上的解析函数，取如图闭曲线：正方形ABCD，由哥西积分定理得 当正方形边长R时，

  15. 同理可得，当R时，有 故有 即 高斯函数的傅里叶变换为 .

  16. 的傅里叶逆变换 即有

  17. 定义狄拉克(Dirac)函数： 函数表达式为 它表示一个矩形脉冲电流. §8.2 单位脉冲函数及其傅里叶变换

  18. 即矩形面积为1，为脉冲强度. 在脉冲强度不变的条件下，随着s减小，矩形脉冲电流就变得越来越陡，因此有 即 表示的物理意义是 是一个宽为0、振幅为、强度为1的理想单位脉冲.

  19. 电流为零的电路中，某一个瞬时(设为t=0)进入一单位电量的脉冲，求电路上的电流I(t).记Q(t)为进入上述电路的电荷函数，那么电流为零的电路中，某一个瞬时(设为t=0)进入一单位电量的脉冲，求电路上的电流I(t).记Q(t)为进入上述电路的电荷函数，那么 当t0时，I(t)=0；当t=0时，因为Q(t)不是一个连续函数，不存在通常的导数. 电流强度I(t)= (t) .

  20. 考虑函数集合：D= {; 是定义在(-,)上无穷可导、性质很好的函数}.不仅可以在(-,)上展开成幂级数，而且当 时，函数快速地趋向于零.设,D，k为一个实数或复数，则有，k均属于D，即是D成为一个向量空间. 固定s>0，对任意的D，积分 定义一个从向量空间D到实数或复数的一个线性映射. 因为D当然是一个连续函数，所以有

  21. 最后一个等式定义了从D到实数或复数上的一个线性映射：对任意的D，有最后一个等式定义了从D到实数或复数上的一个线性映射：对任意的D，有 函数的傅里叶变换

  22. 例8.4证明单位阶跃函数 的傅里叶变换为 . 证明 由函数的奇偶性，有

  23. 当t=0时，显然有 当t>0时，有 当t<0时，有 当t0时，得 函数 的傅里叶逆变换等于函数u(t)，命题得证.

  24. 若 时，则其傅里叶逆变换为 所以， 1是 的傅里叶逆变换. 例8.5求函数F(t)= 的傅里叶变换. 解 和 互为傅里叶变换和傅里叶逆变换.

  25. 例8.6求正弦函数F(t)= 的傅里叶变换. 解

  26. 对函数f(t)，记其傅里叶变换为F[f]，即是 函数的傅里叶逆变换记作F-1(g)，即是 对单位脉冲函数， 单位阶跃函数u(t)， 正弦函数 ， §8.3 傅里叶变换的性质

  27. 定理8.2设函数f, g的傅里叶变换分别为F[f], F[g]，则有下面的结论成立. (1)(线性性质) 对任意的常数, ，有 (2) (位移性质) 设t0为一个常数，则有 (3) (微分性质) 如果 在 上连续，或只有有限个可去间断点，且当 时 ，则有 (4) (积分性质) 如果当 时，有 ，则有

  28. 证明(2) 作变量替换，令t+t0=s，则有 对于傅里叶逆变换，有一个类似的性质成立，即是

  29. 如果 在 上连续或只有有限个可去间断点，且 ，则有 证明(3)

  30. 例8.8求常系数线性常微分方程 的解，其中 ，a0,a1,...,an-1均为常数. 解 函数y和f的傅里叶变换分别记为和 所以有 记函数

  31. 则有 ，再求傅里叶逆变换，可得 定理8.3*设f, g为实函数，记 ， , 则有 其中 , 分别为函数 的共轭函数. 证明 由傅里叶逆变换公式有

  32. 又 ，而函数f是实函数，所以有 因此，得 同理有

  33. 定理8.4*设 ，则有 称为帕塞瓦尔(Parseval)等式. 证明 在定理8.3中，取f(t)=g(t)，有

  34. 设函数f, g定义在 上.若对任意的 积分 收敛，则称该积分为函数f与g的卷积，记为f*g，即 § 8.4 卷 积 1. 卷积定义 卷积满足交换律，即是

  35. 例8.8证明卷积满足乘法对加法的分配律，即 证明 根据卷积定义，有

  36. 例8.9设函数 函数 求f与g的卷积. 解 从卷积定义，有 当且仅当 ，函数f(s)g(t-s)0. 若t>0时，此时有 ，所以f=0，因此f(s)g(t-s)=0；

  37. 若t>0，此时只有当 时，有f(s)g(t-s)0，所以有

  38. 定理8.5设函数f, g满足傅里叶变换定理8.1中的条件，则 考虑傅里叶逆变换，则有 2.卷积定理 证明 由傅里叶变换的定义，有

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