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第九讲 投资组合的选择

第九讲 投资组合的选择. 一、资产组合的计算. 雨较多的年份 少雨年份 股市的牛市 股市的熊市 伞需求大减 概率 0.4 0.3 0.3 收益率 30% 12% -20% E(r 伞公司 )=(0.4 × 30)+(0.3 × 12)+[0.3 × (-20)]=9.6%

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第九讲 投资组合的选择

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  1. 第九讲 投资组合的选择

  2. 一、资产组合的计算 • 雨较多的年份 少雨年份 • 股市的牛市 股市的熊市 伞需求大减 • 概率 0.4 0.3 0.3 • 收益率 30% 12% -20% • E(r伞公司)=(0.4×30)+(0.3×12)+[0.3×(-20)]=9.6% • σ2(伞公司)=0.4(30-9.6)2+0.3(12-9.6)2+0.3(-20-9.6)2=431.04 • σ=431.041/2=20.76 或20.76% 清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授

  3. 二、资产组合的方差 • 投资者将其资金的50%投资于伞公司的股票，其余的50%投资于收益率为3%的国库券，因此投资者的整个资产组合的期望收益率为 • E(r投资者)=0.5E(r伞公司)+0.5r国库券=(0.5×9.6%)+(0.5×3%)=6.3% • 资产组合的标准差为 • σ投资者=0.5σ伞公司=0.5×20.76%=10.38% 清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授

  4. 三、冷饮的收益与风险 • 雨较多的年份 少雨年份 • 股市的牛市 股市的熊市 冷饮需求大增 • 概率 0.4 0.3 0.3 • 收益率 4% -10% 30% • 出冷饮公司的期望收益率为7.6%，方差为248.64%，标准差为15.77% 。 清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授

  5. 四、互补组合的收益与风险 • 雨较多的年份 少雨年份 • 股市的牛市 股市的熊市 冷饮需求大增 • 概率 0.4 0.3 0.3 • 收益率 17% 1% 5% • 新组合的期望收益为8.6%，标准差为7.03%。互补的选择效果比与无风险资产构成的组合还好。 • 资产组合 期望收益 标准差 • 全部投资于伞公司股票 9.6% 20.76% • 一半伞股票一半国库券 6.3% 10.38% • 一半伞股票一半冷饮股票 8.6% 7.03% 清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授

  6. 五、斜方差的计算 • 测度两种资产互补程度的指标是协方差(covariance)，它测度的是两个风险资产收益相互影响的方向与程度。正的意味着资产收益同向变动，负的则是反方向变动。 斜方差的计算公式为 • Cov(r伞,r冷饮)=∑Pr(s)[r伞(s)-E(r伞r)][r冷饮(s)-E(r冷饮)] • Cov(r伞公司,r冷饮公司)=0.4(30-9.6)(4-7.6)+0.3(12-9.6)(-10-7.6)+0.3(-20-9.6)(30-7.6)=-240.96 清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授

  7. 六、相关系数的计算 • 相关系数范围在－1和+1之间，与斜方差的关系为：两变量协方差除以两标准差之积等于它们的相关系数。 • (伞，冷饮)=[Cov(r伞, r冷饮)]/(伞冷饮) • =-240.96/(20.7615.77)=-0.736 • 另一种计算资产组合方差的公式为 • P2=w1212+w2222+2w1w2Cov(r1 ,r2) • 2=(0.5220.762)+(0.5215.772)+ • [20.50.5(-240.96)]=49.43 ＝7.03% • 这与前面得出的资产组合收益的标准差一样。 清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授

  8. 七、风险资产与无风险资产的结构 • 投资金额50万，其中15万投资国库券，35万投资股票，15.75万买清华同方，19.25万买清华紫光。 • 同方：w1=15.75/35=0.45 • 紫光：w2=19.25/35=0.55 • 风险组合P的权重为y，无风险组合的权重为1-y，有 • y=35/50=0.7(风险资产) • 1-y=0.3(无风险资产) 清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授

  9. 八、风险与无风险资产的结构变化 • 投资者希望将所持有的风险资产组合比重从0.7降为0.55。投资者的投资资金的配置则为 • 投资于股票： y=500 000×0.55=275 000(元) • 投资于国库券：1-y=500 000×0.45=225 000(元) • 投资者在股票投资减7.5万(35-27.5=7.5)，增买7.5万的国库券。由于两种股票的比例不变，因此，有 • 清华同方：w1=275 000×0.55=151 250 (元) • 清华紫光：w2=275 000×0.45=123 750 (元) 清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授

  10. 九、风险与无风险资产的结构决定 • 假定风险资产的期望收益为E(rP) =9% ，标准差为P； =21%，无风险资产组合F的收益率为rf =3%。 • 风险资产的风险溢价为E(rP)–rF=9%-3%=6% • 令整个资产组合C的收益率为rC，有：rc=yrp+(1-y)rf • 资产组合C的期望收益为：3%+y(9%-3%) 3+6y • 由于P=21%，有：σC=yσp=21y 清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授

  11. 十、资本配置线的形成图 • E(rp)=9% p • (rf)=3% F •   0 21%  清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授

  12. 十一、资本配置线的意义 • 如果选择将全部投资投向风险资产，期望收益与标准差就是E(rp)=9%，P=21%。如果选择将全部投资投向无风险资产，期望收益与标准差就是E(rp)=3%，P=0。 • 从线上可直观地看到，风险增加，收益也增加。由于直线的斜率为6/21=0.29，每增1单位风险，可获0.29单位收益。即每增1单位收益，将增3.5(21/6=3.5)单位风险。 清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授

  13. 十二、资本配置线的数学表达 • 根据σC=yσp=21y，有y=c/p，将y代入有 • E(rc)=rf +y[E(rp)-rf] • =rf +(σc/σp)[E(rp)-rf]=3+(6/21)σc • 从式中可以看到，资产组合的期望收益作为其标准差的函数是一条直线，其截距为rf，斜率为6/21。 • 该斜率也称为酬报与波动性比率。一般认为这个值较大为好，因为它越大，资本配置线就越陡，即增加一单位风险可以增加更多的期望收益。 清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授

  14. 十三、最优资本配置推导 • 根据前面的公式，我们可以得到以下两式： • E(rc)=rf +y[E(rp)-rf] σ2C=y2σ2p • 将两式代入效用函数，有 • MaxU=E(rc)-0.005A2C=rf+y[E(rp)-rf]-0.005Ay2σ2p (MaxU)’=E(rp)-rf—0.01Ayσ2p • 令导数为0，有：y*=[E(rp)-rf]/0.01Aσ2p • 最优配置与风险厌恶水平成反比，与风险溢价成正比。 清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授

  15. 十四、最优资本配置举例 • 还用上述例子中的数据。还假定风险厌恶系数A为3，求投资者的最优风险资产组合比例y*的值。有 • y*=[9%-3%]/(0.01×3×212)=45.35% • 根据结果，应将资金的45.35%投资于风险资产，54.65%投资于无风险资产。整个资产组合的 • E(rc)=3%+(45.35%6%)=5.72% • C=45.35%21%=9.52% • 2.72/9.52=0.29 等于前例中的酬报与波动性比率。 清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授

  16. 最优资本配置举例（2） • 如果假定投资者的风险厌恶程度A为1.5，其结果为 • y*=[9%-3%]/ (0.01×1.5×212)=90.7% • E(rc)=3%+(90.7%6%)=8.44% • C=90.7%21%=19.05% • 5.44/19.05=0.29 • 风险厌恶程度降低一半，投资于风险资产组合的比例上升了一倍，整个资产组合的期望收益也提高到8.44%，风险溢价提高到5.44%，标准差也提高了一倍，达到19.05%。 清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授

  17. 十五、最优资本配置的几何表达 • E(rp)=9% p • (rf)=3% F •   0 21%  清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授

  18. 十六、资本市场线 • 消极投资策略的资本配置方案为：短期国库券与股票指数所的资产组合。它的资本配置线称资本市场线(CML)。 • 假定一资产组合有与指数相同的收益风险，其风险溢价为10%，标准差为30%，投资者将投资资金的50%投向风险资产组合。有 • y*=[E(rp)-rf]/0.01Aσ2p=10%/(0.01×A×302)=0.50 • A=10%/(0.01×0.50×302)=2.22 • 当然，这是根据假定的数据计算出来的风险厌恶程度。实际的值可以通过对市场的实际历史数据回归估计出来，美国的学者估计美国市场的风险厌恶值在2-4之间。 清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授

  19. 十七、非系统风险与系统风险 • 美国股票1960-1970年随机选样的分散化效应表 • 股数 月均收益率 月均标准差 与市场的相关系数R 1 0.88% 7.0% 0.54 • 2 0.69% 5.0% 0.63 • 3 0.74% 4.8% 0.75 • 4 0.65% 4.6% 0.77 5 0.71% 4.6% 0.79 • 10 0.68% 4.2% 0.85 • 15 0.69% 4.0% 0.88 • 20 0.67% 3.9% 0.89 清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授

  20. 十八、中国股市的分散与风险 组合规模 双周收益率 收益率的标准差 • 1 0.0184 0.0530 • 2 0.0133 0.0483 • 3 0.0120 0.0470 • 4 0.0115 0.0450 • 5 0.0106 0.0440 • 6 0.0097 0.0435 • 7 0.0096 0.0435 • 8 0.0093 0.0434 • 9 0.0089 0.0425 • 10 0.0093 0.0425 • 20 0.0076 0.0417 • 30 0.0073 0.0415 • 40 0.0073 0.0415 • 50 0.0073 0.0416 清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授

  21. 十八、两种风险资产的资产组合 假定投资两种风险资产，一是股票，一是债券。投资者会根据期望收益与方差的情况，考虑自己的风险厌恶程度决定两种资产组合的比例。 假定投资债券的资金为wD，投资股票的部分为1-wD记作wE，rD为债券收益，rE为股票收益，组合收益rp为 rp= wDrD+wErE E(rp)=wDE(rp)+wEE(rE) p2=w2DD2+w2EE2+2wDwECOV(rDrE) Cov(rD ,rD)=D2 组合的方差还可以有以下计算公式： P2=wDwDCov(rD,rD)+wEwECov(rE,rE)+2wDwECov(rD,rE) 清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授

  22. 十九、相关性对资产组合标准差的效应 如两资产斜方差为负，方差将变小。有 Cov(rD，rZ)=ρDE/DE 将此式代入方差计算公式有： P2=wD2D2+wE2E2+2wDwEDEρDE ρ=1时，式右可简化为：P2=(WDD+WEE)2 或 P=WDD+WEE 组合的标准差恰好等于组合中每一部分证券标准差的加权平均值。 当ρ＜1时，组合标准差会小于各部分证券标准差的加权平均值。 当ρ=-1时，该式可简化为：P2=(wDE―wED)2 组合的标准差为： P=|wDE―wED|。 此时如果两种资产的比例恰当，标准差可以降低到0， 清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授

  23. 相关性对资产组合标准差的效应（2） 标准差可以降低到0的资产恰当比例为： 由于： wDD-wEE=0， 所以有 wD = E /(D+E) wE = D /(D+E)=1- wD 以上的公式表明，当ρ=时，标准差最大，为每一种风险资产标准差的加权平均值；如果ρ＜1，组合的标准差会减小，风险会降低；如果ρ=-1，在股票的比重为wD = E /(D+E)，债券的比重为1- wD时，组合的标准差为0，即完全无风险。 清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授

  24. 二十、相关性效应举例 • 股票E(rp)为20%，方差为15%，债券E(rB)为10%，方差为10%。 • 给定相关性下的资产组合的标准差 • 投资比重 ρ=-1 ρ=-0.5 ρ=0.5 ρ=1 wD wE 收益 方差 收益 方差 收益 方差 收益 方差 1.00 0.00 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 0.80 0.20 12.0 3.08 12.0 5.04 12.0 8.96 12.0 10.92 0.60 0.40 14.0 0.12 14.0 3.06 14.0 8.94 14.0 11.88 0.40 0.60 16.0 1.12 16.0 4.06 16.0 9.94 16.0 12.88 0.20 0.80 18.0 6.08 18.0 8.04 18.0 11.96 18.0 13.92 0.00 1.00 20.0 15.0 20.0 15.0 20.0 15.0 20.0 15.0 • 最小方差的资产组合(根据表中的数据，不再细分) • wD 0.55 0.55 0.70 1.00 • wE 0.45 0.45 0.30 0.00 • E(rP) 14.5 14.5 13.0 10.0 • 2P 0.00 3.03 8.82 10.0 清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授

  25. 相关性效应举例（2） • 假定投资可细分，股票与债券的ρ=-0.5。 • 计算组合方差的公式为： • ­p2=w2DD2+ w2EE2+2wDwECOV(rD，rE)， • 用(1-wD)来替代wE，有： • ­p2=w2DD2+(1-wD)2E2+2wD(1-wD)COV(rD，rE) • 求出wD系数，令其等于0，有 • wmin(D)=[ E2- Cov(rD，rE)]/[D2+E2-2 Cov(rD，rE)] • 将前面的数据代入， • 由于有：Cov(rD，rZ)=ρDEDE， 清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授

  26. 相关性效应举例（3） • 将2D=10，2E=15代入此式， • 有Cov(rD，rZ)=-0.5(3.162)(3.873)=-6.123 • 将此值代入，有 wmin(D)=[15-(-6.123)]/[10+15-2(-6.123)] =(21.123)/(37.246)=0.567 wmin(E)=1-0.679=0.433 • 这个最小化方差的资产组合的方差为 • 2min=(0.567210)+(0.433215) • +(20.5670.433-6.123)=3.02 • 该组合为相关系数确定下的最小方差的资产组合。 • 这一组合的期望收益为： • E(rp)= 0.56710%+0.43320%=14.33% 清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授

  27. 二十一、不同ρ下标准差的几何表达 • 资产组合机会集合线 • E(rp) B • ρ=-1 • ρ=0.5 • ρ=-0.5 • ρ=1 • A • 0  清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授

  28. 二十二、三种资产的资产组合 • 资产配置线B • E(rp) • 15% B 资产配置线A 14.33% A • 机会集合线 • 6.5% 1.74% 1.79%  清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授

  29. 二十三、上图的说明 • 两条CAL以rf=6.5%为起点，通过A,B两点。 • A点代表了在股票与债券的ρ=-0.5时具有最小方差组合A，该组合债券比例为56.7%，股票比例为43.3%。它的E(r)为14.33%(风险溢价为7.88%)， 为1.74%。 • 由于TB利率为6.5%，酬报与波动性比率，即资本配置线的斜率为:SA=[E(rA)-rf]/A=(14.33-6.5)/1.74=4.5 • B点，ρ=-0.5,债券股票各50%，E(r)=15%(风险溢价为8.5%)， =1.79%。斜率为： • SB=[E(rB)-rf]/B=(15-6.5)/1.79=4.75 • 由于B的斜率大于A，B更优。相同方差更高收益。 • 我们知道，两条线切点所对应的组合P最优。 清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授

  30. 二十四、最优组合的几何表达 • 资产配置线 • E(rp) • 6.5% • 机会集合线 • 0  清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授

  31. 二十五、最优值的计算 • 目的是找出wD，wE值，以获得斜率最大的资本配置线，。因此，目标函数就是斜率，即SP， • 有：Sp=[E(rp)-rf]/σp • 只要满足权重和=1，就可以求斜率的最大值，有 • Max Sp=[E(rp)-rf]/σp • 因为∑wI=1，将[E(rp)= wDE(rp)+ wEE(rE)]代入，有 • Max Sp=[ wDE(rp)+ wEE(rE)-rf]/σp • 将P2= wD2D2+ wE2E2+2 wDwEDEρE代入上式，有 • MaxSp=[wDE(rp)+wEE(rE)-rf]/[wD2D2+wE2E2+2wDwEDEρE] • 用1-wD代替wE ，有：MaxSp= • [wDE(rp)+(1-wD)E(rE)-rf]/wD2D2+(1-wD)2E2+2wD(1-wD)DEρE • 用wD对Sp求导，令导数为零，有 • wD={[E(rD)-rf]E2-[E(rE)-rf]Cov(rD,rE)}/[E(rD)-rf]E2+[E(rE)-rf]D2-[E(rD)-rf+E(rE)-rf]Cov(rD,rE)} • wE=1-wD 清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授

  32. 最优值的计算（2） • 把上例中的数据代入，得到的解为 • wD={[10-6.5]15-[20-6.5](-6.123)}/[10-6.5]15+[20-6.5]10-[10-6.5+20-6.5](-6.123)}= 46.7% • wE =1-0.46.7=53.3% • 这一最优风险资产组合的期望收益与标准差分别为 • E(rP)=(0.467×10)+(0.533×20)=15.33% • 2min=(0.4672×10)+(0.5332×15)+(20.4670.533-6.123) =3.39% • 这个最优资产组合的资本配置线的斜率为 • SP=[E(rB)-rf]/B=(15.33-6.5)/1.84=4.80 • 这也是资产组合P的酬报与波动性比率，这是资产组合P可以得到的最大的斜率，因此也是投资者可以得到的最优资本配置线的斜率。 清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授

  33. 最优值的计算（3） • 风险资产与无风险资产的比率为：y*=[E(rp)-rf]/ 0.01Aσ2p， • 假定A=4，投资者投资于风险资产组合的投资比例为 • y=[E(rp)-rf]/ 0.01Aσ2p= (15.33-6.5)/(0.01×4×3.39)=65.12 • 由于风险太小，应将其资产的100%全投向风险资产。只有A大于261的时候，投资者才愿意同时投资于风险资产和无风险资产。假定A=300，有 • y=(15.33-6.5)/(0.01×300×3.39)=86.82% 1-y=13.12% • 即投资者只有在如此厌恶风险的情况下，才会将其投资资金的86.82%投向股票与债券，13.12%投向国库券。由于债券在风险资产中的比例为46.7%，股票在风险资产中的比例为53.3%，因此，在全部投资资金中应有(46.7%×86.82%=)40.55%投资于债券，(53.3%×86.82%=)46.28%投资于股票，剩下的13.12%投向国库券。 清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授

  34. 二十六、三资产最优组合的几何表达 • E(rp) 资产配置线 • 全部资产最优组合 • P • 最优风险资产组合 • C • 6.5% • 机会集合线 • 0  清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授

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