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第一节 引 言. 第二节 古典多维标度法 (Classical MDS). 第三节 权重多维标度 (WMDS). 第四节 实例分析与计算实现. 第十章 多维标度法. 第一节 引 言.
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第一节 引 言 第二节 古典多维标度法(Classical MDS) 第三节 权重多维标度(WMDS) 第四节 实例分析与计算实现 第十章 多维标度法
第一节 引 言 • 在实际中我们会经常遇到这些的问题，给你一组城市，你总能从地图上测出任何一对城市之间的距离。但若给你若干城市的距离，你能否确定这些城市之间的相对位置呢？假定你知道只是哪两个城市最近，哪两个城市次近等等，你是否还能确定它们之间的相对位置呢？假定通过调查了解了10种饮料产品在消费者心中的相似程度，你能否确定这些产品在消费者心理空间中的相对位置呢？在实际中我们常常会遇到类似这样的问题。 • 多维标度法（Multidimensional Scaling）就是解决这类问题的一种方法，它是一种在低维空间展示“距离”数据结构的多元数据分析技术，简称MDS。 • 多维标度法起源于心理测度学，用于理解人们判断的相似性。Torgerson拓展了Richardson及Klingberg等人在三、四十年代的研究，具有突破性地提出了多维标度法，后经
Shepard和Kruskal等人进一步加以发展完善。多维标度法现在已经成为一种广泛用于心理学、市场调查、社会学、物理学、政治科学及生物学等领域的数据分析方法。 • 多维标度法解决的问题是：当n个对象（object）中各对对象之间的相似性（或距离）给定时，确定这些对象在低维空间中的表示（感知图Perceptual Mapping），并使其尽可能与原先的相似性（或距离）“大体匹配”，使得由降维所引起的任何变形达到最小。多维空间中排列的每一个点代表一个对象，因此点间的距离与对象间的相似性高度相关。也就是说，两个相似的对象由多维空间中两个距离相近的点表示，而两个不相似的对象则由多维空间两个距离较远的点表示。多维空间通常为二维或三维的欧氏空间，但也可以是非欧氏三维以上空间。
多维标度法内容丰富、方法较多。按相似性（距离）数据测量尺度的不同MDS可分为：度量MDS和非度量MDS。当利用原始相似性（距离）的实际数值为间隔尺度和比率尺度时称为度量MDS(metric MDS)，当利用原始相似性（距离）的等级顺序（即有序尺度）而非实际数值时称为非度量MDS(nonmetric MDS)。按相似性（距离）矩阵的个数和MDS模型的性质MDS可分为：古典多维标度CMDS（一个矩阵，无权重模型）、重复多维标度Replicated MDS（几个矩阵，无权重模型）、权重多维标度WMDS（几个矩阵，权重模型）。本章仅介绍常用的古典多维标度法和权重多维标度法。
一 相似与距离的概念 二 古典多维标度分析的思想及方法 三 度量MDS的古典解 四 非度量MDS的古典解(nonmetric MDS) 第二节 古典多维标度法 (Classical MDS)
首先我们提出这样一个问题，表10.1是美国十城市之间的飞行距离，我们如何在平面坐标上据此标出这10城市之间的相对位置，使之尽可能接近表中的距离数据呢？
一、相似与距离的概念 • 在解决上述问题之前，我们首先明确与多维标度法相关的数据概念。 1．相似数据与不相似数据 • 相似数据：如果用较大的数据表示非常相似，用较小的数据表示非常不相似，则数据为相似数据。如用10表示两种饮料非常相似，用1表示两种饮料非常不相似。 • 不相似数据：如果用较大的数值表示非常不相似，较小的数值表示非常相似，则数据为不相似数据，也称距离数据。如用10表示两种饮料非常不相似，用1表示两种饮料非常相似。 2．距离阵 • 定义10.1 一个n n阶的矩阵D=(dij ) n n，如果满足条件：
在进行多维标度分析时，如果数据是多个分析变量的原始数据，则要根据聚类分析中介绍的方法，计算分析对象间的相似测度；如果数据不是广义距离阵，要通过一定的方法将其转换成广义距离阵才能进行多维标度分析。
这里需要特别注意，并非所有的距离阵都存在一个r维的欧氏空间和n个点，使得n个点之间的距离等于D。因而，并不是所有的距离阵都是欧氏距离阵，还存在非欧氏距离阵。这里需要特别注意，并非所有的距离阵都存在一个r维的欧氏空间和n个点，使得n个点之间的距离等于D。因而，并不是所有的距离阵都是欧氏距离阵，还存在非欧氏距离阵。 • 当距离阵为欧氏时，可求得一个D的构图X，当距离阵不是欧氏时，只能求得D的拟合构图。在实际应用中，即使D为欧氏，一般也只求r =2或3的低维拟合构图。 • 值得注意的是，由于多维标度法求解的n个点仅仅要求它们的相对欧氏距离与D相近，也就是说，只与相对位置相近而与绝对位置无关，根据欧氏距离在正交变换和平移变换下的不变性，显然所求得解并不唯一。
（4）根据（10.7）式计算 ，得到r维拟合构图（简称古典解）。 这里需要注意，如果λi中有负值，表明D是非欧氏型的。 （一）已知距离矩阵的CMDS计算 • 以前述美国10城市间的飞行距离数据来说明古典度量多维标度法的计算过程。 • 表10.1美国10城市间的飞行距离为比率测度。数值越大表明距离越远，数值越小表明距离越短，符合广义距离阵的定义，又只涉及一个距离阵，因此为度量CMDS。 • 根据上述度量古典CMDS的计算方法，首先可求得内积矩阵，结果见表10.2。
10个城市的坐标分别为： （-718.759，142.9942），（-382.056，-340.84），（481.602，-25.285），（-161.466，572.77），（1203.738，390.100），（-1133.53，581.907），（1072.24，-519.024），（1420.603，112.589），（1341.723，-579.739），（-979.622，-335.473）。 • 计算结果表明，较大的特征值有两个，说明在二维平面上表示10城市间的相对位置是合适的。由于有特征值小于零，表明距离阵不是欧氏型，其结果为拟合构图。在此，城市是“对象”，飞行里程是“相似性”。图10.1给出了MDS反映美国10座城市相对位置的感知图。图中的10个点，每个点代表一个城市，相近的点代表飞行距离短的城市，相距较远的点代表飞行距离远的城市。
相关系数的值越大，表示课程越相似，相关系数值越小，表明课程越不相似，显而易见，相关系数矩阵为相似系数矩阵，记为C。 表10.3 6门课程相关系数阵
根据变换（10.8）式可得到距离阵D，见表10.4。在此基础上，根据（10.5）式得到内积矩阵B，具体结果见表10.5。根据变换（10.8）式可得到距离阵D，见表10.4。在此基础上，根据（10.5）式得到内积矩阵B，具体结果见表10.5。 表10.4距离阵D
从结果知距离阵D不是欧氏型，我们取r=2，由（10.7）式求得D的古典解，结果如下：从结果知距离阵D不是欧氏型，我们取r=2，由（10.7）式求得D的古典解，结果如下： • 图10.2大体反映了这六门课程的基本结构，从图中可以直观的看出，算术、代数、几何较为相近，英语和盖尔语较为相近，而历史课程与其他课程的差异性较大。
四、非度量MDS的古典解 (nonmetric MDS) • 在实际问题中，我们涉及更多的是不易量化的相似性测度，如两种颜色的相似性，虽然我们可以用1表示颜色非常相似，10表示颜色非常不相似，但是这里的数字只表示颜色之间的相似或不相似程度，并不表示实际的数值大小，因而是定序尺度，这时是由两两颜色间的不相似数据 ij形成“距离”矩阵。对于非度量的不相似性矩阵，我们如何进行多维标度分析呢？假定有一个n个对象的不相似矩阵( ij)nn，要寻找n个对象的一个r维拟合构造点X。下面介绍Kruskal的非度量MDS分析方法。 • 为了寻找一个较好的拟合构造点，我们可以从某一个拟合构造点开始，即先将n个对象随意放置在r维空间，形成一个感知图，用Xi =(Xi 1，Xi 2，…，Xir) ′表示i对象在r维空间的坐标，对象i与j在r维空间的距离为 :
也就是说，S应力是将（10.9）式中的dij和 用它们的平方代 表后所得到的量度。S应力的值介于0和1之间。典型的情况是：此值小于0.1意味着感知图是n个对象的一个好的几何表示。 • 在非度量MDS分析过程中，另一个需要解决的问题是感知图 空间维数r的确定。我们可以制作应力-r图确定感知图的维数 r。从前述可知，对每一个r，可以找到使应力达到最小的点 结构。随着r的增加，最小应力将在运算误差的范围内逐渐下 降，且当r =n-1时达到零。从r＝1开始，可将应力S（ r）对 r作图。这些点随r的增加而呈下降排列。若找到一个r，上述 下降趋势到这一点开始接近水平状态，即形成一个“肘”形曲 线，这个r便是“最佳”维数。 • 非度量MDS虽然是基于非度量尺度数据的分析方法，但是，当定量尺度的距离阵中的数据不可靠，而距离大小的顺序可靠时，采用非度量MDS比度量MDS得到的结果更接近与实际。
第三节 权重多维标度(WMDS) • 以上我们的讨论都是以单个“距离”阵数据出发进行的，但在实践中，往往需要确定多个距离阵数据的感知图，比如由10个人分别对5种饮料进行两两相似评测，结果就会得到10个相似性矩阵，那么，我们如何根据这10个人的评测结构得出5种饮料的相似性感知图呢？显然，按照古典多维的方法，我们只能是每一个相似性矩阵确定一个感知图，10个人分别确定10个感知图。但是，往往我们想要得到的是这10个人共同的一个感知图而非10个。这一节将介绍由Carroll和Chang提出的解决这类问题的多维标度方法——权重多维标度法（WMDS）。基础权重多维标度法也称权重个体差异欧氏距离模型。
一 多维标度法在SPSS中的实现 二 利用SPSS对本章美国十城市的例子 进行多维标度 第四节 实例分析与计算实现
一、多维标度法在SPSS中的实现—— 实例1 • 以SPSS自带文件World95.sav为例，对亚洲国家和地区的17个国家的人口寿命情况进行分析。 （一）操作步骤： 1. 在Data→Select case对话框的If过滤条件中输入过滤条件 “region=3”。得到17个国家和地区。 2. 主菜单中选择Analyze→Scale→Multidimensional Scaling (ALSCAL) 。就进入多维标度法的主对话框（图10.3）。在左上方是变量列表选择以下变量：urban（城市人口比例），lifeexpf（女性平均寿命），lifeexpm（男性平均寿命），gdp_cap（人均GDP），death_rt（千人死亡率），birth_rt（千人出生率），literacy（受教育人口比例）。由于原始数据不是距离阵，因此需要在下方Distances单选项中选择Create distances from data，这时Measure子对话框被激活，默认计算Euclidean distance，即欧氏距离。
3. 点击进入Measure子对话框，对距离阵进行设定，（图10.4）。由于我们的变量都是连续数值型的，所以应在Measure单选项中选择Interval。并在其下方的Transform Values栏中选择变量标准化变换的方式，这里我们选择Z scores和By variable，表示对变量进行正态标准化。然后在Create Distance Matrix单选项中选择Between cases，表示计算样品之间的距离阵。设置完毕后，点击Continue回到主对话框。
4. 在主对话框中点击进入Model子对话框，如图10.5。这里可以设定变量取值的类型。在Level of Measurement中选择Interval，即连续取值的数值型变量。其他设置无需改变，点击Continue返回主对话框。 图10.5 Model子对话框
5. 点击进入Options子对话框（图10.6），该对话框中提供了一些结果显示的选择。Display栏中默认不输出任何图表。选择Group plots项可得到多维标度图,这里图表的维度由Model中的Dimensions中填入最小维度Minimum和最大维度Maximum决定；择选Data matrix项可得到距离阵和拟合构造点的坐标；而Model and options summary是显示出多维标度法中的参数设置，计算方法等。这里我们选择Group plots和Data matrix项后，点击Continue返回主对话框，再点击OK运行。
（二）结果分析： 1. 样品验证表，发现有一个样品存在缺失值。查原始数据后发现Taiwan缺少千人死亡率，该样品被去除。国家地区的编号如下（表10.6）。 表10.6 国家和地区的编号
2. SPSS会依次输出原始距离阵（表10.7），古典解的迭代过程和有关压力指标值（表10.8），拟合构造点在二维空间中的坐标（表10.9），以及最优标度的距离阵（表10.10）。在表3中，Young氏压力指标值为0.02289，K压力指标为0.03880，都小于0.05。RSQ=0.99485。这些都说明模型拟合效果很好。 表10.7 原始距离阵（部分）
