电磁学电子教案

电磁学电子教案 使用教材：赵凯华、陈熙谋编的第二版主讲人：陈绍英、王启文、石鹏、李艳华呼伦贝尔学院物理系普通无力教研室电磁学课题组 2006年9月制作

第六章磁介质 • 6.1分子电流观点 • 6.2介质的磁化规律 • 6.3边界条件磁路定理 • 6.4磁场的能量和能量密度

6.1.1.1磁介质的磁化 在前两章里讨论载流线圈产生的磁场和变化的磁场产生感应电动势的时候,我们都假定导体以外是真空,或者不存在磁性物质(磁介质)。然而在实际中大多数情况下电感器件 (如镇流器、变压器、电动机和发电机)的线圈中都有铁芯。那么,铁芯在这里起什么作用呢？为了说明这个问题，我们看一个演示实验。图6-１就是上一章里讲过的那个有关电磁感应现象的演示实验，当初级线圈电路中接通或断开时，就在次级线圈中产生一定的感应电流。不过这里我们在线圈中加一软铁芯。重复上述实验就会发现，次级线圈中的感应电流大大增强了。我们知道，感应电流的强度是与磁通量的时间变化率成正比的。上述实验表明，铁芯可以使线圈中的磁通量大大增加。　　有关磁介质(铁芯)磁化的理论,有两种不同的观点——分子电流观点和磁荷观点。两种观点假设的微观模型不同,从而赋予磁感应强度和磁场强度的意义也不同，但是最后得到的宏观规律的表达形式完全一样,因而计算的结果也完全一样。在这种意义下两种观点是等价的。分子电流观点即安培的分子环流假设(参见第四章1.2节)。现在我们按照这个观点来说明，为什么铁芯能够使线圈中的磁通量增加。

6.1.1.1磁介质的磁化 如图6-2，我们考虑一段插在线圈内的软磁棒。按照安培分子环流的观点，棒内每个磁分子相当于一个环形电流。在没有外磁场的作用下，各分子环流的取向是杂乱无章的(图6-3a)，它们的磁矩相互抵消。宏观看起来，软铁棒不显磁性。我们说，这时它处于未磁化状态。当线圈中通入电流后，它产生一个外磁场 (这个由外加电流产生,并与之成正比的磁场,又叫做磁化场；产生磁化场的电流,叫做励磁电流)。在磁化场的力矩作用下，各分子环流的磁矩在一定程度上沿着场的方向排列起来(图6-3b)。我们说，这时软铁棒被磁化了。图6-3b的右方是磁化了的软铁棒的横截面图。由图可以看出，当介质均匀时由于分子环流的回绕方向一致，在介质内部任何两个分子环流中相邻的一对电流元方向总是彼此相反，它们的效果相互抵消。只有在横截面边缘上各段电流元未被抵消，宏观看起来，这横截面内所有分子环流的总体与沿截面边缘的一个大环形电流等效(图6-3c右方)。由于在各个截面上都出现了

6.1.1.1磁介质的磁化 这类环形电流(宏观上叫它做磁化电流),整体看来，磁化了的软铁棒就象一个由磁化电流组成的“螺线管”(图6-3c左方)。这个磁化电流的“螺线管”产生的磁感应强度的分布如图6-4所示，它在棒的内部的方向与磁化场的方向一致,因而在棒内的总磁感应强度比没有铁芯时的磁感应强度大了。这就是为什么铁芯能够使磁感应通量增加的道理。

6.1.1.2磁化强度矢量Ｍ 为了描述磁介质的磁化状态(磁化的方向和磁化的程度),通常引入磁化强度矢量的概念,它定义为单位体积内分子磁矩的矢量和。如果我们在磁介质内取一个宏观体积元 , 在这个体积元内包含了大量的磁分子。用代表这个体积元内所有分子磁矩的矢量和，用代表磁化强度矢量，由上述定义可表达成下列公式： (6.1) 拿上述软铁棒的例子来说,当它处于未磁化状态的时候，各个分子磁矩的取向杂乱无章，它们的矢量和 ,从而棒内的磁化强度。在有磁化场的情况下，棒内的分子磁矩在一定程度上沿着的方向排列起来，这时各分子磁矩的矢量和将不等于0，且合成矢量具有的方向，从而磁化强度就是一个沿方向的矢量。分子磁矩定向排列的程度越高，它们的矢量和的数值越大，从而磁化强度的数值就越大。由此可见,由式(6.1)定义的磁化强度矢量确是一个能够反映出磁介质磁化状态的物理量。

6.1.1.3磁化强度Ｍ与磁化电流的关系 正如电介质中极化强度矢量与极化电荷之间有一定关系一样[见式(2.12)和(2.13)], 磁介质中磁化强度矢量与磁化电流之间也有一定的关系。下面就来推导这类关系。为了便于说明问题，我们把每个宏观体积元内的分子看成完全一样的电流环，即具有同样面积和取向(可用面元矢量代表)，环内具有同样的电流，从而具有相同的磁矩。这就是说，我们用平均分子磁矩代替每个分子的真实磁矩。于是介质中的磁化强度为 (6.2) 式中为单位体积内的分子环流数。如图6-5a，设想我们在磁介质中划出任意一宏观的面来考察有无分子电流通过它。令的周界线为。介质中的分子环流可分为三类：第一类不与相交(如图中 , 环内阴影为纯绿色)；第二类整个为所切割,即与两次相交(如图中的 ,环内阴影为半绿半蓝)；第三类被穿过, 与相交一次(如图中 ,环内阴影多绿少红)。前两类对通过面的总电流没有贡献，我们只需考虑第三类，即为所穿过的分子环流。

6.1.1.3磁化强度Ｍ与磁化电流的关系 首先我们在周界线上取任一线元，考虑它穿过分子环流的情况。为此以为轴线，为底面作一柱体，其体积为 ( 为与间的夹角，见图6-5b)。凡中心在此柱体内的分子环流都有为所穿过。这样的分子环流共有个，每个分子环流贡献一个通过面的电流 ,故这线元穿过的所有分子环流总共贡献电流为。最后，沿闭合回路对积分，即得通过以为边界的面的全部分子电流的代数和： (6.3) 这便是与电介质公式(2.12)对应的磁介质公式,它是反映磁介质中磁化电流的分布与磁化强度之间联系的普遍公式。为了得到磁化强度与介质表面磁化电流的关系,只需将式(6.3)运用于图6-6所示的矩形回路上。此回路的一对边与介质表面平行，且垂直于磁化电流线，其长度为；另一对边与表面垂直，其长度远小于。设介质表面单位长度上的磁化电流为 ( 叫做面磁化电流密度),则穿过矩形回路的磁化电流为。另一方面，的积分只在介质表面内的一边上不为0，其贡献为 ( 为的切线分量)，从而根据式(6.3)，我们有，即

6.1.1.3磁化强度Ｍ与磁化电流的关系 若考虑到方向，可写成下列矢量形式： (6.4) 式中是磁介质表面的外法线单位矢量。式(6.4)表明, 只有介质表面附近有切向分量的地方 , 的法线分量与无联系。式(6.4)是与电介质的式(2.13)对应的磁介质公式,，它是反映磁介质表面磁化电流密度与磁化强度之间的重要关系式。

6.1.2 磁介质内磁化强度Ｂ 如果磁化强度已知，我们的可以计算出它产生的附加磁感应强度来。然后将它叠加在磁化场的磁感应强度上，就可得到有磁介质时的磁感应强度 (6.5) 考虑一根沿轴均匀磁化的磁介质棒。如前所述，磁化的宏观效果相当于在介质棒侧面出现环形磁化电流，单位长度内的电流。这磁化电流的分布就象一个均匀密绕的 “螺线管”一样，所以我们可以利用第四章的式(4.22)来计算它产生的磁场。相当于该式中的，该式中的相当于这里的，于是 (6.6) 在轴线中点上式中为圆棒的直径，为棒的长度。故对于无穷长的棒，，，，； (6.7) 对于很薄的磁介质片，，，。 (6.8)

6.1.2 磁介质内磁化强度Ｂ 介于上述两极端之间的情形，的数值介于(6.7)和(6.8)所给的值之间。总之，随着棒的缩短，减小。由于和方向一致，也随之减小。这一结论可作如下直观的理解：因为从无限长的棒过渡到有限长的棒，相当于把无限长棒的两头各截去一段 (见图6-7中2、3)，从而在磁化电流附加场的表达式(6.7)中应减去截掉的两段上的磁化电流的贡献,所以应小于。中间留下的一段棒1越短，就相当于截掉的两段2、3越长，应从式(6.7)中减去的一项就越大, 所以就越小。无限长介质棒的公式(6.7)对闭合环 (图6-8a)的内部也适用。上面对有限长介质棒的定性讨论则适用于有缺口的介质环(图6-8b)。从闭合环上截掉一个缺口，便小于闭合时的值；缺口越大，就越小。

6.1.3 磁场强度Ｈ与有介质时的 安培环路定理和“高斯定理” 第二章§3中讲有电介质存在时的高斯定理时,曾引入一个辅助矢量——电位移矢量 ,并把电通量的高斯定理代换为电位移通量的高斯定理式中和分别是高斯面内的自由电荷和极化电荷的总和。这样做的好处是从高斯定理的表达式中消去，这对于解决有电介质的电场分布问题带来很大的方便。在磁介质中也有相应的情况。这时安培环路定理为 (6.9) 式中和分别是穿过安培环路的传导电流和磁化电流的总和。是否也可以引进另一辅助矢量，使得安培环路定理的表达式中不出现呢？这是可以的,需要引入的辅助矢量叫做磁场强度矢量,它的定义是 (6.10) 将式(6.9)除以，再减去式(6.3)，就可以消去：

6.1.3 磁场强度Ｈ与有介质时的 安培环路定理和“高斯定理” 利用定义式(6.10)，即得矢量所满足的安培环路定理： (6.11) 在真空中 , 或 (6.12) 将式(6.11)乘以 ,并把换成 ,它就化为第四章§3中的安培环路定理式(4.29)。所以式(6.11)是安培环路定理的普遍形式。由式(6.11)可以看出,磁场强度的单位应为安培/米。另一种常用的单位叫奥斯特, 用表示,二者的换算关系是1安培/米=4 ×10-3奥斯特,1奥斯特=103/4 安培/米。此外，磁感应强度所满足的“高斯定理”[第四章§3式(4.28)] (6.13) 是可以由毕奥-萨伐尔定律导出的，它无论对导线中的传导电流或对介质中的磁化电流都适用，故它出是磁场的一个普遍公式。这样，我们就得到有关磁场的两个普遍公式：矢量的安培环路定理(6.11)和矢量的“高斯定理”(6.13)。它们分别可看成是第四章中的式(4.29)和式(4.28)在有磁介质情形下的推广。

6.1.3 磁场强度Ｈ与有介质时的 安培环路定理和“高斯定理” 【例题】用安培环路定理(6.11)计算充满磁介质的螺绕环(图6-8a)内的磁感应强度，已知磁化场的磁感应强度为，介质的磁化强度为。【解】设螺绕环的平均半径为，总匝数为。正象第四章3.3节中讨论空心螺绕环时一样,取与环同心的圆形回路 (参看图4-34)，传导电流共穿过次。利用式(6.11)可得即式中代表环上单位长度内的匝数。我们知道，磁化场的磁感应强度就是空心螺绕环的磁感应强度：故，或根据式(6.10)，磁介质环风的磁感应强度为于是我们得到与上面式(6.7)相同的结果，不过这里避免了磁化电流的计算。

6.2.1磁化率和磁导率 迄今为止，我们尚未讨论过磁化强度、磁感应强度和磁场强度之间的依赖关系，即介质的磁化规律。对于多数电介质，极化强度矢量、电位移矢量和电场强度矢量彼此成正比，比例叫做电极化率和介电常数：，二者的关系是 (参见第二章3.6节) 对于磁介质,我们可以仿照这种办法，定义一个磁化率和磁导率： (6.54) (6.55) 由于故与的关系为 (6.56) 式(6.54)和(6.55)又可以写成 (6.57)

6.2.1磁化率和磁导率 (6.58) 对于真空,则 , , , 。【例题】求绕在磁导率为的闭合磁环上的螺绕环与同样匝数和尺寸的空心螺绕环自感之比。【解】前已用安培环路定理解得(参见1.3节例题),无论有无磁介质,磁场强度皆为其中是环上单位长度内的匝数，为线圈内的传导电流。按照式(6.58)磁环内在空心线圈内即在线圈尺寸、匝数和磁化电流相同的条件下，磁通匝链数之比为从而自感受之比为

6.2.1磁化率和磁导率 由上述例题我们看到，在线圈内充满了均匀磁介质后，自感增大到原来的倍。这一点和电介质使电容增加倍的性质很相似。然而磁介质的情况要比电介质复杂得多。在大多数电介质里，它们都是与场强无关的常数，的数量级一般不太大(通常在10以内)。但对于不同类型的磁介质，和的情况很不一样。磁介质大体可以分为顺磁质、抗磁质和铁磁质三类。对于顺磁质，；对于抗磁质，。这两类磁介质的磁性都很弱，它们的，，而且都是与无关的常数。铁磁质的情况很复杂，一般说来和不成比例，甚至没有单值关系，即的值不能由的值唯一确定，它还与磁化的历史有关 (详见3.3节)。在与呈非线性关系的情况下，我们还可按照式(6.54)和(6.55)来定义和，不过此时它们不是常数，而是的函数，即，。铁磁质的和一般都很大，其数量级为，甚至达以上，所以铁磁质属于强磁性介质。当和无单值关系时，式(6.54)和(6.55)已失去意义，在这种情况下人们通常不再引用和的概念。

6.2.2 顺磁质和抗磁质 如前所述，顺磁质的，抗磁质的。前者表示与方向一致，前者表示与方向相反。表6-3给出一些顺磁质和抗磁质的值。可以看出，其绝对值的数量级在左右。表6-3 顺磁质和抗磁质的磁化率下面我们简单介绍一下物质的顺磁性和抗磁性的微观机制。为此我们先看一下分子磁矩的来源。近代科学实验证明：电子在原子或分子中的运动包括轨道运动和自旋两部分。绕原子核轨道旋转运动的电子相当于一个电流环，从而有一定的磁矩，称为轨道磁矩。与电子自旋运动相联系的还具有一定的自旋磁矩。由于电子带负电，其磁矩和角速度的方向总是相反的(参看图6-20)。与的关系可如下求得：设电子以半径、角速度作圆周运动，则它每经过时间绕行一周。若把它看成一个环形电流，则电流强度，面积，于是（6.60)

6.2.2 顺磁质和抗磁质 在原子或分子内一般不止有一个电子，整个分子的磁矩是其中各个电子轨道磁矩和自旋磁矩的矢量和(忽略原子核磁矩)。第二章§3中曾介绍过，电介质的分子可分为极性分子和无极分子两大类，前者有固有电偶极矩，后者没有固有电偶极矩。磁介质的分子也可分为两大类：一类分子中各电子磁矩不完全抵消，因而整个分子具有一定的固有磁矩；另一类分子中各电子的磁矩互相抵消，因而整个分子不具有固有磁矩。在顺磁性物质中，分子具有固有磁矩。无外磁场时，由于热运动，各分子磁矩的取向无规，在每个宏观体积元内合成的磁矩为0，介质处于未磁化状态。在外磁场中每个分子磁矩受到一个力矩，其方向力图使分子磁矩转到外磁场方向上去。各分子磁矩在一定程度上沿外场排列起来，这便是顺磁效应的来源。热运动是对磁矩的排列起干扰作用的，所以温度越高，顺磁效应越弱，即随温度的升高而减小。下面考虑抗磁效应。如图6-21，设一个电子以角速度、半径绕原子核作圆周运动。令代表原子序数，则原子核带电，电子带电，故电子所受的库仑力为

6.2.2 顺磁质和抗磁质 ，而向心加速度为。根据牛顿第二定律有 (6.61) 式中为电子质量。由上式解得 (6.62) 在加上外磁场以后，电子将受到洛仑兹力，这里是电子的线速度。为简单起见，设电子轨道面与外磁场垂直。首先考虑的情形(图6-21a)，这里洛仑兹力是指向中心的。假设轨道半径不变，则其角速度将增加到。这时满足的运动方程为 (6.63)

6.2.2 顺磁质和抗磁质 (左端第二项为洛仑兹力，其中， )。当不太大时( )，，，上式化为根据式(6.61)，两端的第一项相消，左端第三项可忽略，由此解得 (6.64) 其次,考虑的情形(图6-21b),这里洛仑兹力是背离中心的。在轨道的半径不变的条件下角速度将减少，即。用同样的方法可以证明，这时也由上式表达。综合以上两种情况可以看出，的方向总与外磁场相同。按照式(6.60)，电子角速度的改变将引起磁矩的改变，原有磁矩和磁矩的改变量分别为 (6.65) (6.66)

6.2.2 顺磁质和抗磁质 以上虽然只讨论了的情形，理论上可以证明，当与成任意角度时，与的方向一致，从而从而感生的附加磁矩总与的方向相反。在抗磁性物质中，每个分子在整体上无固有磁矩，这是因为其中各个电子原有的磁矩方向不同，相互抵消了。在加了外磁场后，每个电子的感生磁矩却都与外磁场方向相反，从而整个分子内将产生与外磁场方向相反的的感生磁矩。这便是抗磁效应的来源。应当指出，上述抗磁效应在具有固有磁矩的顺磁质分子中同样存在，只不过它们的顺磁效应比抗磁效应强得多，抗磁性被掩盖了。讲到物质的抗磁效应，顺便提一下超导体的一个特性。在第三章1.3节曾简单地介绍了超导体的一个基本特性，即在转变温度以下电阻完全消失，但是超导体最根本的特性还是它的磁学性质 ——完全抗磁性。如图6-22，将一块超导体放在外磁场中，其体内的磁感应强度永远等于0。这种现象叫做迈斯纳效应。在普通的抗磁体内，由于与方向相反，要减小一些。而超导体内的完全减小到0的事实表明，它好像是一个磁化率，的抗磁体，这样的抗磁体可以叫做完全抗磁体。但是造成超导体抗磁性的原因和普通的抗磁体不同，

6.2.2 顺磁质和抗磁质 其中的感应电流不是由束缚在原子中的电子的轨道运动形成的，而是其表面的超导电流。在增加外磁场的过程中，在超导体的表面产生感应的超导电流，它所产生的附加磁感应强度将体内的磁感应强度完全抵消。当外磁场达到稳定值后，因为超导体没有电阻，表面的超导电流将一直持续下去。这就是超导体的完全抗磁性的来源。超导体的完全抗磁性可以用图6-23所示的实验演示出来。将一个镀有超导材料(例如铅)的乒乓球放在铅直的外磁场中，由于它的磁化方向与外磁场相反，它将受到一个向上的排斥力。这排斥力与重力平衡时，球就悬浮在空中。当重力发生微小的变化时，乒乓球就会上下移动。若用特殊的方法把球的位置上下变化的情况精确地记录下来，就可以精确地测定重力的微小变化。根据这个原理，可以造出极灵敏的超导重力仪来。

6.2.3 铁磁质的磁化规律 在各种磁介质中最重要的是以铁为代表的一类磁性很强的物质，它们叫做铁磁质。在纯化学元素中，除铁之外,还有过渡族中的其它元素(钴、镍)和某些稀土族元素(如钆、镝、钬)具有铁磁性。然而常用的铁磁质多数是铁和其它金属或非金属组成的合金,以及某些包含铁的氧化物(铁氧体)。先介绍铁磁质的磁化规律，即研究和或和之间的依赖关系。这种关系通常用以下的实验方法来测定。如图6-24所示，把待测的磁性材料做成闭合环状，其上均匀地绕满导线，这样就形成一个为铁芯所充满的螺绕环。我们知道，在这样一个螺绕环中的磁场强度是和磁化场的磁场强度一样的，而可以由螺绕环的匝数和其中的电流计算出来，从而也就知道了。至于磁感应强度，则可用一个接在冲击电流计上的次级线圈来测量。当初级线圈（即螺绕环）中的电流反向时，在次级线圈中将产生一个感应电动势，由此我们测出磁感应强

6.2.3 铁磁质的磁化规律 度的变化来。知道了和，根据公式即可算出磁化强度来，即（1）起始磁化曲线实验结果表明，铁磁质的磁化规律具有以下的共同特点。假设磁介质环在磁化场（即）的时候处于未磁化状态()，在曲线(图6-25a)上这状态相当于坐标原点。在逐渐增加磁化场的过程中,随之增加。开始增加得较缓慢( 曲线的OA段）,然后经过一段急剧增加的过程(AB段),又缓慢下来(BC段)。再继续增大磁化场时，几乎不再变了(CS段)。我们说，这时介质的磁化已趋近饱和。饱和时的磁化强度称为饱和磁化强度，通常用表示。从未磁化到饱和磁化的这段磁化曲线OS，叫做铁磁质的起始磁化曲线。铁磁质的磁化特性还经常用

6.2.3 铁磁质的磁化规律 曲线来表示。由于在铁磁质中的数值比大得多( 倍),所以 ,因而曲线的外貌和曲线差不多(图6-25b)。从和曲线上任何一点联到原点的直线的斜率分别代表该磁化状态下的磁化率和磁导率。由于磁化曲线不是线性的，当的数值由0开始增加时，与的数值分别由某一数值和开始增加( 和分别是和曲线在原点处切线的斜率)，然后接近某一最大值和。当再增加时,由于磁化接近饱和, 和的数值都急剧减少。随变化的曲线示于图6-26。和分别叫做起始磁化率和起始(相对)磁导率, 和分别叫做最大磁化率和最大(相对)磁导率。饱和磁化强度、起始磁导率和最大磁导率这三个概念在实际问题中经常引用，它们是标志软磁材料性能好坏的基本量，这个问题我们将在下面介绍软磁材料时讨论。

6.2.3 铁磁质的磁化规律 （2）磁滞回线当铁磁质的磁化达到饱和之后，如果将磁化场去掉( ),介质的磁化状态并不恢复到原来的起点 ,而是保留一定的磁性,此过程反映在图6-27a、b中的段。这时的磁化强度和磁感应强度叫做剩余磁化强度和剩余磁感应强度(图中的 ),通常分别用和代表它们( )。若要使介质的磁化强度减到0，必须矫枉过正，加一相反方向的磁化场( )。只有当反方向的磁化场大到一定程度时,介质才完全退磁(即达到或的状态)。使介质完全退磁所需的反向磁化场的大小，叫做这种铁磁质的矫顽力(图6-27的 ),通常用表示。从具有剩磁的状态到完全退磁的状态这一段曲线，叫做退磁曲线。

6.2.3 铁磁质的磁化规律 介质退磁后，如果反方向的磁化场的数值继续增大时,介质将沿相反方向磁化( ), 直到饱和(曲线的段)。一般说来,反向的饱和磁化强度的数值与正向磁化时一样。此后若使反方向的磁化场数值减小到0，然后又沿正方向增加,介质的磁化状态将沿回到正向饱和磁化状态。曲线和对于坐标点是对称的。由此我们看到, 当磁化场在正负两个方向上往复变化时，介质的磁化过程经历着一个循环的过程。闭合曲线叫做铁磁质的磁滞回线。上面描述的现象叫做磁滞现象。由于铁磁质中存在着磁滞现象，使它的磁化规律更加复杂了。铁磁质的、和的依赖关系不仅不是线性的，而且也不是单值的。也就是说，给定一个的值，不能唯一地确定介质的和，例如由正值减小到0时，、，由负值减小到0时，、。所以对于同一个值，和的数值等于多少与介质经历怎样的磁化过程达到这个状态有关，或者说，和的数值除了与的数值有关外，还取决于这介质的磁化历史。实际上铁磁质磁化的规律远比上面描述的要复杂得多。上述磁滞回线只是外场的幅度足够大时形成的最大磁滞回线。如果外场在上述循环过程的中途，变化方向突然改变，例如在图6-28中当介质的磁化状态到达P 点时，负方向的外场由增加改为减小，这时介质的磁化状态并不沿原路折回，而是沿着一条新的曲线PQ 移动。当介质的磁化状态到达Q 点后，若外场的变化方向又改变，介质的磁化状

6.2.3 铁磁质的磁化规律 态也不沿原来途径返回P点，而是在PQ之间形成一个小的磁滞回线。如果外场的数值在这个小范围内往复变化（即在一定的直流偏场上叠加一个小的交流信号),介质的磁化状态便沿着这小磁滞回线循环。类似这样的小磁滞回线，到处都可以产生。当我们研究一个磁性材料的起始磁化特性时，需要首先使之去磁，亦即令其磁化状态回到图中的原点。为此我们必须使外场在正负值之间反复变化，同时使它的幅值逐渐减小，最后回到。这样才能使介质的磁化状态沿着一次比一次小的磁滞回线，最后回复到未磁化状态点（图6-29）。实际的作法，可以先把样品放在交流磁场中，然后抽出。

6.2.4 磁滞回线 下面我们要证明，图中磁滞回线所包围的“面积”代表在一个反复磁化的循环过程中单位体积的铁芯内损耗的能量。设介质起初处于某一磁化状态 (图6-30),这里 , 。当增加时，在时间内磁化状态由点达到点，的值增加到。由于的变化,在线圈中产生一个感应电动势 ,其中是线圈中的磁通匝链数，是线圈的总匝数，是截面积。在此过程中电源抵抗感应电动势作的功为在有闭合铁芯的螺绕环中为线圈单位长度内的匝数, 为螺绕环的周长,而 ,所以有式中是铁芯的体积,所以对于单位体积的铁芯来说,电源需要抵抗感应电动势作的功为

6.2.4 磁滞回线 由此可见，的数值等于图6-30中段曲线左边画了斜线部分的“面积”。当铁芯的磁化状态沿着磁滞回线经历一个循环过程时，对于单位体积的铁芯来说，电源需要抵抗感应电动势作的总功应等于上式沿循环过程积分。沿段积分时，， ,积分的结果等于图中这块“面积”；沿段积分时，，，积分的结果等于图中 “面积”的负值；二者的代数和正好是的“面积”。沿和两段积分的情况也类似，它们的代数和等于的“面积”。总起来说，沿着整个磁滞回线循环一周,积分的结果刚好是它所包围的“面积”。所以对单位体积的铁芯反复磁化一周电源作的功为在交流电路的电感元件中,磁化场的方向反复变化着,由于铁芯的磁滞效应,每变化一周, 电源就得额外地作上述那样的功,所传递的能量最终将以热量的形式耗散掉。这部分因磁滞现象而消耗的能量，叫做磁滞损耗。在交流电器件中磁滞损耗是十分有害的，必须尽量使之减小。

6.2.5 铁磁质的分类 （1）软磁材料从铁磁质的性能和使用的方面来说，它主要按矫顽力的大小分为软磁材料和硬磁材料两大类。矫顽力很小的叫做软磁材料；矫顽力大的叫做硬磁材料。矫顽力小，就意味着磁滞回线狭长(图6-31)，它所包围的“面积”小，从而在交变磁场中的磁滞损耗小。所以软磁材料适用于交变磁场中。无论电子设备中的各种电感元件，或变压器、镇流器和发电机中的铁芯，都需要用软磁材料来做。此外，继电器、电磁铁的铁芯也需要用软磁材料来做，以便在电流切断后没有剩磁。既然铁芯的作用是增大线圈中的磁通量，这就要求磁性材料具有很高的磁导率。这里要分两种情形来讨论：一种是用于各种电子电讯设备中的软磁材料，这里的电流很小(所谓弱电的情形),铁芯的工作状态处于起始的一段磁化曲线上，因此要求材料的起始磁导率高；另一种是用于电动机、发电机、电力变压器等电力设备中的软磁材料，这里电流很大(所谓强电的情形),铁芯的工作状态接近于饱和，因此要求材料的最大磁导率高，而且饱和磁化强度大。

6.2.5 铁磁质的分类 此外，材料的电阻率影响着涡流损耗的大小。电阻率越高，涡流损耗越小。特别是用于高频波段的磁芯，对其电阻率的要求是比较高的。铁氧体是铁和其它一种或多种金属(如锌、锰、铜、镍、钡等)的复合氧化物由于它是非金属磁性材料，其电阻率比金属磁性材料高得多，在高频和微波波段中，铁氧体是不可缺少的磁性材料。表 6-4 典型软磁材料的性能

6.2.5 铁磁质的分类 （2）硬磁材料（永磁体）永磁体是在外加的磁化场去掉后仍保留一定的(最好是较强的)剩余磁化强度 (或剩余磁感应强度 )的物体。制造许多电器设备(如各种电表、扬声器、微音器、拾音器、耳机、电话机、录音机等)都需要永磁体。永磁体的作用是在它的缺口中产生一个稳定的磁场(例如电流计中就是利用永久磁铁在气隙中产生一个稳定的磁场使线圈偏转的，见图6-32)。在一切有缺口的磁路中两个磁极表面都要在磁铁的内部产生一个与磁化方向相反的退磁场。这样一来，即使在闭合磁路的情况下材料具有较高的剩余磁化强度，但是若没有足够大的矫顽力，开了缺口之后，在磁铁本身退磁场的作用下也会使剩余的磁性退掉。所以做永磁铁材料必须具有较大的矫顽力。前已说明，具有较大矫顽力的磁性材料叫做硬磁材料。所以，只有硬磁材料才适合作永磁体。标志硬磁材料性能好坏的指标首先是和，此外还有最大磁能积，即磁铁内部和乘积的最大值。可以证明，当气隙中的磁场强度和气隙的体积给定之后，所需磁铁的体积与磁能积成反比(参看4.3节例

6.2.5 铁磁质的分类 题3)。所以大，就可以使磁铁本身的体积缩小。在和的数值给定后，退磁曲线越接近矩形，就越大。例如图6-33b的就比图6-33a中的大。表 6-5 典型硬磁材料的性能

6.2.6 铁磁质的微观结构 近代科学实践证明，铁磁质的磁性主要来源于电子自旋磁矩。在没有外磁场的条件下铁磁质中电子自旋磁矩可以在小范围内“自发地”排列起来，形成一个个小的“自发磁化区”。这种自发磁化区叫做磁畴。至于电子自旋磁矩为什么会形成自发磁化区，早年是用“分子场”理论来解释的。按照这种理论，在铁磁物质中存在某种内部磁场，即分子场，在它的作用下电子自旋磁矩定向地排列起来。分子场的理论是一种唯象理论，它并不能解释形成磁畴的微观本质。自从量子力学建立以后，才真正有了自发磁化的微观理论。按照量子力学理论，电子之间存在着一种“交换作用”，它使电子自旋在平行排列时能量最低。交换作用是一种纯量子效应，在经典理论中没有与它对应的观点。通常在未磁化的铁磁质中，各磁畴内的自发磁化方向不同，在宏观上不显示出磁性来(图6-34a)。在外加磁场后将显示出宏观的磁性，这过程通常称为技术磁化。当外加的磁化场不断加大时，起始磁化方向与磁化场方向接近的那些磁畴扩大自己的疆界，把邻近那些磁化方向与磁化场方向相反的磁畴领域并吞过来一些(图6-34a-c)，继而磁畴的磁化方向在不

6.2.6 铁磁质的微观结构 同程度不上转向磁化场的方向(图6-34d)，介质就显示出宏观的磁性来。当所有的磁畴都按磁化场的方向排列好，介质的磁化就达到饱和(图6-34e)。由此可见，饱和磁化强度就等于每个磁畴中原有的磁化强度。由于在每个磁畴中元磁矩已完全排列起来，它的磁化强度是非常大的。这就是为什么铁磁质的磁性比顺磁质强得多的原因。介质里的掺杂和内应力在磁化场去掉后阻碍着磁畴恢复到原来的退磁状态，这就是造成磁滞现象的主要原因。磁畴的形状和大小，在各种材料中很不相同。其几何线度可从微米量级到毫米量级，形状并不象示意图6-34那样简单。磁畴结构可用多种方法观察到。粉纹法是将样品表面抛光后撒上铁粉，使磁畴边界显现出来；磁光法是利用偏振光的克尔效应来观察磁畴的。图6-35a 是用粉纹法拍摄的磁畴照片，照片中各磁畴的边界和磁化方向勾画于图6-35b中。图6-35用粉纹法拍摄的磁畴照片铁磁质磁畴中磁化方向的改变会引起介质中晶格间距的改变，从而伴随着磁化过程，铁磁体会发生长度和体积的改变，这种现象叫做磁致伸缩。对于多数铁磁质来说，磁致伸缩的长度形变很小，只有的数量级(近几年来发现了某些材料在低温下的磁致伸缩形变可大到百分之几十)。磁致伸缩可用于微小机械振动的检测和超声波换能器。铁磁质是与磁畴结构分不开的。当铁磁体受到强烈的震动，或在高温下由于剧烈热运动的影响，

6.2.6 铁磁质的微观结构 磁畴便会瓦解，这时与磁畴联系的一系列铁磁性质(如高磁导率、磁滞、磁致伸缩等)全部消失。对于任何铁磁物质都有这样一个临界温度，高过这个温度铁磁性就消失，变为顺磁质。这个临界温度叫做铁磁质的居里点(一些磁性材料的居里点参见表6-4的最后一栏)。

6.3边界条件磁路定理 4.1 磁介质的边界条件在两种磁介质的分界面上(或一种磁介质与真空的分界面上),主要的边界条件有两条：一是磁感应强度法线分量的连续性,一是磁场强度的切线分量的连续性。它们分别是把磁场的“高斯定理”和安培环路定理用到边界面上的直接推论。（1）法线分量的连续性如图6-36,在两种磁介质的分界面上取一面元 ,在上作一扁盒状的高斯面，它的两底分别位于界面两侧不同的介质中,并与界面平行, 且无限靠近它。围绕的边缘用一与垂直的窄带把两底面之间的缝隙封闭起来，构成闭合高斯面的侧面。取界面的单位法线矢量为，它的指向是由介质1到介质2的(见图6-36)。设在的两侧不同介质中的磁感应强度分别为和 (它们一般是不相等的),则通过高斯面的磁感应通量为

6.3边界条件磁路定理 其中前两项分别等于和 (对于高斯面来说, 是底面1的内法线,故第一项出现负号)；因侧面积趋于0，第三项为0。所以按照磁场的“高斯定理”，于是得到或（6.67）其中 , ,它们分别代表和的法线分量。这就是磁介质分界面上的第一个边界条件，它表明在边界面两侧磁感应强度的法线分量是连续的。（2）的切线分量的连续性如图6-37,在两种磁介质的分界面上取一矩形安培环路ABCD ，AB 和 CD 两边长 ,它们与界面平行,且无限靠近它；BC和DA 两边与界面垂直。设两侧不同介质中的磁场强度分别为和 (它们一般是不相等的),则沿此安培环路的线积分为

6.3边界条件磁路定理 令和代表和的切线分量，则沿 AB 段和 CD 段的积分分别为和 (负号是因为在 AB 段内的切线分量与方向相反)。此外因为BC 和 DA的长度趋于0,两段积分为0。于是按照安培环路定理但是在介质界面上没有传导电流(即 ),故或上式表明矢量差是沿切线方向的,故又可写成（6.68）这就是这就是磁介质分界面上的第二个边界条件，它表明在边界面两侧磁场强度的切线分量是连续的。 4.2 磁感应线在边界面上的“折射” 由于上述两个边界条件,磁感应线在界面上一般都会发生“折射”(见图6-38)。设界面两侧磁感应线与界面法线的夹角分别为和，则有（6.69）

6.3边界条件磁路定理 按边界条件(6.67)和(6.68), , , 两式相除得（6.70）将式(6.69)代入式(6.70)得设两种介质的磁导率分别为和 ,则于是（6.71）即界面两侧磁感应线与法线夹角的正切之比等于两侧磁导率之比。如果 (真空或非磁性物质), (铁磁物质),则有 , (见图6-39),这时在介质1(铁芯)内磁感应线几乎与界面平行,从而也非常密集,铁芯的磁导率越大, 越接近于90°,磁感应线越接近于与表面平行,从而漏到外面的磁通越少,这样,高磁导率的铁芯就把磁通量集中到自己的内部。

6.3边界条件磁路定理 4.3 磁路定理由于铁磁材料的磁导率很大(数量级在以上), 铁芯有使磁感应通量集中在自己内部的作用。例如图6-40a，一个没有铁芯的载流线圈产生的磁通量是弥散在整个空间的, 若把同样的线圈绕在一个闭合或差不多闭合的铁芯上时(图 6-40b),则不仅磁通量的数值大大增加，而且磁感应线几乎是沿着铁芯的。换句话说，铁芯的边界就形成一个磁感应管，它把绝大部分磁通量集中到这个管子里。这一点和一个电路很相似，当我们把一根导线接在电源的两端上时，电流集中在导线内，沿着它流动 (图6-40c)。因此人们常常把磁感应管叫做磁路。磁路与电路之间的相似性，为我们提供了一个分析和计算磁场分布的有力工具—— 磁路定理。从基本原理来说，磁路定理不外是磁场的高斯定理和安培环路定理的具体应用，不过我们把它尽量写成与电路的有关定理相似的形式，从而电路中的一些概念和分析问题的方法都可借用过来。

6.3边界条件磁路定理 在稳恒电路中，不管导线各段的粗细或电阻是否相同，通过各截面的电流强度I 都是一样的。在铁芯里，由于磁场的“高斯定理”，通过铁芯各个截面的磁通量也相同。对于一个闭合电路来说，电源的电动势等于各段导线上的电位降落之和：，式中，，，分别是第段导线的电阻、电导率、长度和截面积。对于磁路来说，我们有安培环路定理式中N 和I0分别是产生磁化场的线圈匝数和传导电流，、、、、分别是第段均匀磁路中的磁场强度、磁感应强度、(相对)磁导率、长度和截面积，闭合积分回路L是沿着磁路选取的。因为通过各段磁路的磁通量都一样,可统一用代表，并从求和号中提出来。于是上式写成（6.72）

6.3边界条件磁路定理 将上式与电路公式对比一下,即可看出下表中各物理量是一一对应的。表 6-6 磁路与电路的对比因此我们可以把磁路中有关的物理量用对应的符号和名称来表示，即（6.73）这样一来,磁路的公式(6.73)就可写成与电路更加相似的形式：

6.3边界条件磁路定理 （6.74）式(6.74)叫做磁路定理,它可用文字表述为：闭合磁路的磁动势等于各段磁路上磁位降落之和。【例题1】图6-41a和图6-41b分别是一个形电磁铁的外貌和磁路图，它的尺寸如下：磁极截面积 S1=0.01米2，长度l1=0.6米， =6000，轭铁截面积S2=0.02米2 ,长度l2=1.40米， =700；气隙长度 l3在0—0.05米范围内可调。如果线圈匝数N=5000，电流I0最大为4安培。问l3=0.05米和0.01米时最大磁场强度值各为多少。【解】根据磁路定理在气隙中，故忽略漏磁效应，取 =0.01米2将所给数据代入上式，得到

6.3边界条件磁路定理 由于未考虑漏磁问题，上面所得结果比实际偏大一些。但对于粗略的设计来说，以上数据可供参考。【例题2】3.1节的例题证明，闭合磁芯的螺绕环自感系数比空心时的大倍，由于种种原因，实际电感器件中的磁芯不都是闭合的。这时的自感系数比空心线圈自感系数之比,称为器件的有效磁导率。如图6-42所示，磁环开有气隙。设磁芯材料的磁率为，其长度为 ,气隙的长度为，求有效磁导率。【解】设空心线圈的磁阻为 ,加入铁芯后的磁阻为 ,二者的磁动势一样,都是 ,因此它们之中的磁通量分别为和而其中为磁路的横截面积, 为空心线圈的磁感应强度, 为有铁芯的器件内的磁感应强度,故下面分别计算和： [实际上在气隙处磁感应管稍有膨胀(漏磁效应),它的截面积稍大,在气隙长度很小时,漏磁效应可以

6.3边界条件磁路定理 忽略,所以在上式两项中的截面积都取成 ]对于空心线圈来说 ,其中。于是带气隙的电感器件的有效磁导率为最后我们得到。下面我们举几个数值的例子。设厘米，毫米，，由上式可以算出。若，则有。由这个例子可以看出,虽然气隙的长度只有磁路总长度的1/100, 仍比下降很多(10—100倍),而且即使材料的磁导率增大 10倍, 也不会增大很多(增加还不到10%)。这是因为气隙和铁芯构成了串联磁路，由于气隙的磁导率( )远小于铁芯的磁导率，它的磁阻比铁芯的磁阻大得多。正如在串联电路中高电阻起主要作用一样，这里高磁阻的气隙起着主要的作用，整个磁路中的磁通量受着它的限制，铁芯的磁阻再小，情况也改变不了多少。由此可见，即使一个很小的气隙，它对电感器件的影响也是很大的。虽然气隙会使器件的电感大幅度下降，但气隙往往会对器件的温度稳定性和Q 值带来有益的影响，在对电感量要求不高的场合下，有时故意要在铁芯上开一个小气隙。

6.3边界条件磁路定理 【例题3】如3.5节所述,永磁体是用来在气隙中提供一个磁场的。试证明，当气隙中的磁场强度和气隙的体积给定后，所需磁铁的体积与磁能积成反比。【解】令，，，，和，，，，分别代表磁体和气隙的磁场强度、磁感应强度、长度、截面积和体积(由于气隙中有漏磁,其有效截面积大于磁体的截面积 )。由于这里没有磁化电流，故又因磁通量的连续性，两式相乘，得或。上式表明，在，给定后，所需磁体的体积与磁能积成反比，式中出现负号，因为在磁体内的退磁场方向与相反，乘积是负值，- 才是正的。以上讨论的都是串联磁路。并联磁路的问题请参考习题11。在那里我们将看到，并联磁路也具有和并联电路类似的性质，例如两磁阻的并联公式为

6.3边界条件磁路定理 4.4 磁屏蔽在实际中(例如做精密的磁场测量实验时)往往需要把一部分空间屏蔽起来,免受外界磁场的干扰。上述铁芯具有把磁感应线集中到内部的性质，提供了制造磁屏蔽的可能性。磁屏蔽的原理可借助并联磁路的概念来说明。如图6-44所示，将一个铁壳放在外磁场中，则铁壳的壁与空腔中的空气可以看成是并联的磁路，由于空气的磁导率接近于1,而铁壳的磁导率至少有几千，所以空腔的磁阻比铁壳的磁阻大得多。这样一来，外磁场的磁感应通量中绝大部分将沿着铁壳壁内“通过”，“进入”空腔内部的磁通量是很少的。这就可以达到磁屏蔽的目的。应当指出的是，用铁壳做的磁屏蔽没有用金属导体做的静电屏蔽的效果那样好。为了达到更好的磁屏蔽效果，可以采用多层铁壳的办法，把漏进空腔里的残余磁通量一次次地屏蔽掉。

电磁学电子教案

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