6.3
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6.3 正方形. 回顾: 1 、矩形的定义? 2 、菱形的定义?. 有一个角是直角的 平行四边形 是矩形. 有一组邻边相等的 平行四边形 是菱形. 你能描述一下正方形是什么样的图形吗 ?. 结合我们前面对 矩形 和 菱形 定义的思想方法,你认为我们如何给 正方形 定义更好一些呢?. 正方形的定义. 有 一组邻边相等 且 有一个角是直角 的 平行四边形 叫做正方形。. 平行四边形,矩形,菱形,正方形的关系?. 一组邻边相等. 有一个直角. 正方形. 一个角是直角且一组邻边相等. 一组邻边相等. 有一个直角. 矩形. 菱形. 平行四边形. 四边形.

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Presentation Transcript
6 3

6.3 正方形


6 3

回顾:1、矩形的定义?

2、菱形的定义?

有一个角是直角的平行四边形是矩形.

有一组邻边相等的平行四边形是菱形.



6 3

结合我们前面对矩形和菱形定义的思想方法,你认为我们如何给正方形定义更好一些呢?


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正方形的定义

有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。



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一组邻边相等

有一个直角

正方形

一个角是直角且一组邻边相等

一组邻边相等

有一个直角


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矩形

菱形

平行四边形

四边形

正方形

基于这些关系,你认为判定一个图形是正方形能有哪些方法呢?


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正方形判定:

1、有一组邻边相等,并且有一个角是直角的平行四边形是正方形;

2、有一组邻边相等的矩形是正方形;

3、有一个角是直角的菱形是正方形。


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菱形性质

矩形性质

归纳:

正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形。

正方形的性质=

?


6 3

正方形性质:

1、边: 对边平行

四边相等

2、角 :四个角都是直角

3、对角线:相等且互相垂直平分

每条对角线平分一组对角。

4、对称性:正方形既是中心对称图形,也是轴对称图形,它有四条对称轴。


6 3

选择题:

1、正方形具有而菱形不一定有的性质是( )。

(A)四条边相等;

(B)对角线互相垂直平分;

(C)对角线平分一组对角;

(D)对角线相等。

2、正方形具有而矩形不一定有的性质是( )。

(A)四个角相等;

(B)对角线互相垂直平分;

(C)对角线相等;

(D)对角互补。


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练习:判断

(1)四个角都相等的四边形是正方形。

(2)四条边都相等的四边形是正方形。

(3)对角线相等的菱形是正方形。

(4)对角线互相垂直的矩形是正方形。

(5)对角线垂直且相等的四边形是正方形。

(6)四边相等,有一个角是直角的四边形是正方形。


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探索

正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。

已知:如图正方形ABCD对角线AC、BD 相交于点O。

求证: △ABO ≌ △BCO ≌ △CDO ≌△ADO

证明:∵正方形ABCD,

∴AB=BC=CD=DA,

OA=OB=OC=OD,

∴ △ABO ≌ △BCO ≌ △CDO ≌△ADO(SSS)。


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A

D

E

B

C

F

例1.已知:如图,△ABC中.∠ABC=90°,BD是角平分线,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别是E、F.

求证:四边形DEBF是正方形.

证明:∵ DF⊥BC,DE⊥AB,

∴ ∠DEB= ∠DFB=90°,

而∠ABC=90°,

∴四边形DEBF是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形)

∵ BD平分∠ABC, DF⊥BC , DE⊥AB,

∴ DE= DF( 角平分线上的点到角的两边距离相等),

∴四边形DEBF是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形).


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练习1

已知:如图,在正方形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,且AC=6 cm。

求:正方形的面积S。


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A

D

F

E

B

C

练习2:如图,在正方形ABCD中,E在BC的延长线上,且CE=AC,AE交CD于F,则求∠AFC的度数。


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性质

正方形

判定

小结

你能概括一下我们这节课的内容吗?


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正方形性质:

1、边: 对边平行

四边相等

2、角 :四个角都是直角

3、对角线:相等且互相垂直平分

每条对角线平分一组对角。

4、对称性:正方形既是中心对称图形,也是轴对称图形,它有四条对称轴。


6 3

正方形判定:

1、有一组邻边相等,并且有一个角是直角的平行四边形是正方形;

2、有一组邻边相等的矩形是正方形;

3、有一个角是直角的菱形是正方形。


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活动:在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB,

DF⊥AC,垂足分别是E,F.

1)试说明:DE=DF

2)只添加一个条件,使四边形EDFA是正方形.

请你至少写出两种不同的添加方法.(不另外

添加辅助线,无需证明)


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2.如图,正方形ABCD中,AC、BD相交于O,

MN∥AB且MN分别交OA、OB于M、N,

求证:BM=CN。         

分析:要证明BM=CN,大家观察

图形可以考虑证哪两个三角形全等 ?

△ABM≌△BCN

你所要证明的两个三角形已经满足

了哪些条件?

由正方形可以得到的条件有:

AB=BC,∠1=∠2=45 °条件够吗?

还需要的条件是 AM=BN

你能完成证明吗?


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2.如图,正方形ABCD中,AC、BD相交于O,MN∥AB且MN分别交OA、OB于M、N,求证:BM=CN。         

证明:∵四边形ABCD是正方形 ∴OA=OB ,

   ∠1=∠2=∠3=45°又∵MN∥AB

∴∠OMN=∠1=∠3=∠ONM=45° ∴OM=ON ∴OA-OM=OB-ON即AM=BN

又∵AB=BC,

∴ △ABM≌△BCN(SAS)

∴BM=CN


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练习3.如图,在线段AB上取一点C,以AC、BC为正方形的一边在同一侧作正方形ACDE和BGFC连结AF、BD,延长BD交AF于H。求证:(1) △ACF≌△DCB

(2) BH⊥AF


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3.已知:如图(4)在正方形ABCD中,F为CD延长线

上一点,CE⊥AF于E,交AD于M,

   求证:∠MFD=45°

分析:

欲证∠MFD=45°,由于

△MDF是直角三角形,只须证△MDF是等腰三角形,即只要证 _____=_____

要证MD=FD,大家只须证得哪两个三角形全等?

试一试

看能不能完成证明???

△CMD≌△ADF


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3.已知:如图(4)在正方形ABCD中,F为CD延长线上一点,CE⊥AF于E,交AD于M,求证:∠MFD=45°

证明:

 ∵CE⊥AF ∴∠ADC=∠AEM=90°又∵∠CMD=∠AME ∴∠1=∠2 又∵CD=AD,∠ADF=∠MDC ∴Rt△CDM≌Rt△ADF(AAS) ∴DM=DF

下面的证明请大家完成


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做一做:

(1)已知:如图,ABCD和AKLM都是正方形,求证:MD=KB。


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4.如图(6),△ABC的外面作正方形ABDE和ACFG,连结BG、CE,交点为N。求证:∠CEA=∠ABG

分析:欲证∠CEA=∠ABG,

大家想一想证明两个角相等的方法,

你有办法了吗???通过自己的努力,看能不能解决问题?

证明:∵四边形ABDE和四边形ACFG是正方形。    ∴AE=ABAG=AC ∠1=∠2=90°    又∵∠EAC=∠1+∠BAC=90°+∠BAC     ∠BAG=∠2+∠BAC=90°+∠BAC    ∴∠EAC=∠BAG    ∴△AEC≌△ABG(SAS)

   ∴∠CEA=∠ABG


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