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第八节 函数的图象. 三年 7 考 高考指数 :★★ 1. 在实际情境中，会根据不同的需要选择图象法、列表法、解析法表示函数 . 2. 会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式的解的问题 . 3. 会用数形结合思想、转化与化归思想解决数学问题. 1. 知式选图、知图选式解决函数的性质问题与作图是高考的热点 . 2. 利用数形结合思想，借助相应函数的图象研究函数的性质 ( 单调性、奇偶性、最值、值域、交点、零点 ) 、方程与不等式的解等问题是命题的重点，也是求解的难点 . 3. 题型以选择题、填空题为主，属中、高档题目. y. y. y. y.
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三年7考 高考指数:★★ 1.在实际情境中，会根据不同的需要选择图象法、列表法、解析法表示函数. 2.会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式的解的问题. 3.会用数形结合思想、转化与化归思想解决数学问题.
1.知式选图、知图选式解决函数的性质问题与作图是高考的热点.1.知式选图、知图选式解决函数的性质问题与作图是高考的热点. 2.利用数形结合思想，借助相应函数的图象研究函数的性质(单调性、奇偶性、最值、值域、交点、零点)、方程与不等式的解等问题是命题的重点，也是求解的难点. 3.题型以选择题、填空题为主，属中、高档题目.
y y y y o o x x （0,b） （0,b） （k>0） （k<0） o x x o 1.六类基本初等函数的图象 （a>0） （a<0）
y y y y o x o o o x x x (k<0) (k>0) 1 1 (a>1) (0<a<1)
y y o o y y=x3 y=x2 2 x x x 1 y=x-1 -2 -1 o 2 1 y=x-1 -1 -2 1 1 (a>1) (0<a<1) y=x
【即时应用】 (1)下列四个图象是函数y=log2x的图象的是____________.
(2)在同一平面直角坐标系中，函数f(x)=ax与g(x)=ax的图象可能是下列四个图象中的_____________.(2)在同一平面直角坐标系中，函数f(x)=ax与g(x)=ax的图象可能是下列四个图象中的_____________.
(3)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则点(3)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则点 所在的象限为____________.
【解析】(1)①②为指数函数图象.③④为对数函数图象，③中底数大于1，④中底数大于0小于1.由题中对数函数底数大于1，知③正确.【解析】(1)①②为指数函数图象.③④为对数函数图象，③中底数大于1，④中底数大于0小于1.由题中对数函数底数大于1，知③正确. (2)由g(x)=ax结合图象知a>0且a≠1，故f(x)=ax图象为过原点且上升的直线，故①④不正确，再结合②③，分析0<a<1及a>1知，②正确.
(3)由图象知，图象的对称轴 又抛物线的开 口向下，∴a<0，于是b>0，由f(0)=c知，抛物线与y轴的交点 为(0,c).∴c>0，∴ >0,故点P(a, )在第二象限. 答案：(1)③ (2)② (3)第二象限
y=f(x)+k k（k>0) 个单位 上移 左移 右移 y=f(x+h) y=f(x) y=f(x-h) h个单位 （h>0) h个单位 （h>0) k（k>0) 个单位 下移 y=f(x)-k 2.函数图象间的变换 (1)平移变换
(2)对称变换： ①y=f(x) y=________; ②y=f(x) y=________; ③y=f(x) y=________; ④y=ax(a>0且a≠1) y=________________ (3)翻折变换： ①y=f(x) y=_______. ②y=f(x) y=_______. -f(x) 关于x轴对称 f(-x) 关于y轴对称 -f(-x) 关于原点对称 logax(a>0且a≠1) 关于y=x对称 保留x轴上方图象 |f(x)| 将x轴下方图象翻折上去 f(|x|) 保留y轴右边图象，并作其 关于y轴对称的图象
(4)伸缩变换： ①y=f(x) y=______. ②y=f(x) y=______. a>1,横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变 f(ax) 0<a<1,横坐标伸长为原来的 倍，纵坐标不变 af(x) a>1,纵坐标伸长为原来的a倍，横坐标不变 0<a<1,纵坐标缩短为原来的a倍，横坐标不变
【即时应用】 (1)判断以下四个图象是否是函数f(x)=log22x与g(x)=21-x在同一坐标系下的大致图象.(请在括号中填写“是”或“否”)
(2)已知下图(1)中的图象对应的函数为y=f(x)，则下图(2)中的图象对应的函数在下列给出的四个式子中，可能是_____.(2)已知下图(1)中的图象对应的函数为y=f(x)，则下图(2)中的图象对应的函数在下列给出的四个式子中，可能是_____. ①y=f(|x|) ②y=|f(x)| ③y=-f(|x|) ④y=f(-|x|) (3)若f(a+x)=f(b-x),x∈R恒成立，则函数y=f(x)的图象本身关于___________对称. (4)若方程|ax|=x+a(a>0)有两个解，则a的取值范围为_____.
【解析】(1)∵f(x)=log22x=1+log2x. ∴f(x)=log22x的图象是函数f(x)=log2x的图象向上平移1个单 位得到的； 又∵g(x)=21-x=( )x-1， ∴g(x)=21-x的图象是函数g(x)=( )x的图象向右平移1个单位得 到的. 因此③是，①②④都不是.
(2)从图象中可观察到：图(2)中的函数图象为一个偶函数的图象，∴排除②，(2)从图象中可观察到：图(2)中的函数图象为一个偶函数的图象，∴排除②， 又∵当x≤0时，图(1)与(2)中函数的图象一致，④正确. (3)由已知可得：关于直线 对称.
(4)在同一坐标系中分别作出当0<a<1,a=1,a>1时，y=|ax|=a|x|(a>0)与y=x+a(a>0)的图象如图示，由图象得出a>1时符合要求.(4)在同一坐标系中分别作出当0<a<1,a=1,a>1时，y=|ax|=a|x|(a>0)与y=x+a(a>0)的图象如图示，由图象得出a>1时符合要求. 答案：(1)①否②否③是④否 (2)④ (3)直线 (4)(1,+∞)
作函数的图象 【方法点睛】作函数图象的方法 (1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的函数或解析几何中熟悉的曲线的局部(如圆、椭圆、双曲线、抛物线的一部分)时，就可根据这些函数的奇偶性、周期性、对称性或曲线的特征直接作出.
(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.
(3)描点法：当函数的表达式不适合用以上两种方法时，则可采用描点法，其一般步骤为：(3)描点法：当函数的表达式不适合用以上两种方法时，则可采用描点法，其一般步骤为： 第一步：确定函数的定义域以限制图象的范围. 第二步：化简函数表达式. 第三步：讨论函数的性质(如奇偶性、单调性、周期性、对称性等). 第四步：列表(尤其注意特殊点，如：零点、最高点、最低点及与坐标轴的交点). 第五步：描点、连线.
【提醒】当函数表达式是高次、分式、指数、对数及三角函数式等较复杂的结构时，常借助于导数探究图象的变化趋势从而画出图象的大致形状.【提醒】当函数表达式是高次、分式、指数、对数及三角函数式等较复杂的结构时，常借助于导数探究图象的变化趋势从而画出图象的大致形状.
【例1】作出下列函数的图象 (1)y=elnx; (2)y=|log2(x+1)|; (3)y=a|x|(0<a<1); (4)y= (5) 【解题指南】对于(1)先求定义域，化简解析式，用直接法画图象；对于(2)、(3)和(4)可通过图象变换画出图象；对于(5)可借助于导数用描点法作出其大致图象.
y 1 x -1 1 2 -1 【规范解答】(1)∵函数的定义域为{x|x>0}且y=elnx=x(x>0)， ∴其图象如图(1). o （1）
y 1 o 1 -1 x -1 (2)将函数y=log2x的图象向左平移一个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y=|log2(x+1)|的图象，如图(2). （2）
(3)方法一：∵ 所以只需作出函数y=ax(0<a<1)中x≥0的图象和 中x<0的图象，合起来即得函数y=a|x|的图象.如图(3). 方法二：作出y=ax(0<a<1)的图象，去掉y轴左边图象，保留y轴右边图象，并作关于y轴对称的图象，即得y=a|x|的图象，如图(3).
y 1 o x -1 1 -1 (0,1) （3）
y 3 2 1 o x 3 2 1 -1 -1 (4)∵ 故函数图象可由 图象向右平移1个单 位，再向上平移2个单位而得，如图(4). （4）
(5)∵ ∴y′=x2-2x-3.令y′=0, 得x1=-1，x2=3， 令y′>0，得单调增区间为(-∞,-1)和(3,+∞).令y′<0,得单调减区间为(-1，3)，所以函数在x1=-1,x2=3处取得极值分别为 和-9，由此可得其图象大致如图(5).
【反思·感悟】要准确作出函数的大致图象，需做到：【反思·感悟】要准确作出函数的大致图象，需做到： (1)熟练掌握六类基本初等函数的图象； (2)掌握平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换以及导数法等常用的方法技巧.
识图与辨图 【方法点睛】1.知图选式的方法 (1)从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域； (2)从图象的变化趋势，观察函数的单调性； (3)从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性； (4)从图象的循环往复，观察函数的周期性. 利用上述方法，排除、筛选错误与正确的选项.
2.知式选图的方法 (1)从函数的定义域，判断图象左右的位置；从函数的值域，判断图象上下的位置； (2)从函数的单调性(有时可借助导数判断)，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复； (5)从函数的极值点判断函数图象的拐点. 利用上述方法，排除、筛选错误与正确的选项.
【提醒】注意联系基本函数图象的模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上也能寻找突破口．【提醒】注意联系基本函数图象的模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上也能寻找突破口．
(2)定义在R上的偶函数f(x)的部分图象如图所示，则在(-2，0)上，下列函数中与f(x)的单调性不同的是( ) (A)y=x2+1 (B)y=|x|+1 (C) (D)
【解题指南】(1)对函数求导，利用排除法求解.(2)由f(x)的奇偶性作出其在(-2，0)上的图象.由图象判断其单调性，再逐个验证选项中函数在(-2，0)上的单调性是否与f(x)在(-2，0)上的单调性不同，从而作出判断.【解题指南】(1)对函数求导，利用排除法求解.(2)由f(x)的奇偶性作出其在(-2，0)上的图象.由图象判断其单调性，再逐个验证选项中函数在(-2，0)上的单调性是否与f(x)在(-2，0)上的单调性不同，从而作出判断.
【规范解答】(1)选B. 由y=x+cosx,得y′=1-sinx,令y′=0,得 sinx=1， ∴x=2kπ+ (k∈Z)，即函数y=x+cosx有无穷多个极值点，从 而排除C选项，又x=0时，y=1,即图象应过(0，1)点，再排除 A，比较B、D与y轴交点纵坐标与 的大小知应选B.
(2)选C.由奇偶性知函数f(x)在(-2，0)上的图象如图所示：(2)选C.由奇偶性知函数f(x)在(-2，0)上的图象如图所示：
则知f(x)在(-2，0)上为单调减函数，而y=x2+1,y=|x|+1和 作出其图象知在(-2，0)上均为减函数. 又y=x3+1,x<0时，y′=3x2>0， 故y=x3+1在(-2，0)上为增函数，与f(x)的单调性不同，故选C.
【反思·感悟】识图与辨图是一个比较综合的问题.解答该类问题的关键是要充分从解析式与图象中发现有价值的信息，最终使二者相吻合.
函数图象的应用 【方法点睛】1.利用函数的图象研究函数的性质 对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系.
2.利用函数的图象研究方程根的个数 当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f(x)=0的根就是函数f(x)图象与x轴的交点的横坐标，方程f(x)=g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象的交点的横坐标. 3.利用函数的图象研究不等式 当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解.
【例3】已知函数f(x)=x|m-x|(x∈R)，且f(4)=0. (1)求实数m的值； (2)作出函数f(x)的图象并判断其零点个数； (3)根据图象指出f(x)的单调递减区间； (4)根据图象写出不等式f(x)>0的解集； (5)求集合M={m|使方程f(x)=m有三个不相等的实根}. 【解题指南】求解本题先由f(4)=0,求得函数解析式，再根据解析式结构选择适当的方法作出函数的图象，进而应用图象求解(3)(4)(5)三个小题.
【规范解答】(1)∵f(4)=0，∴4|m-4|=0，即m=4； (2)∵f(x)=x|m-x| ∴函数f(x)的图象如图： 由图象知f(x)有两个零点. (3)从图象上观察可知：f(x)的单调 递减区间为［2，4］；
(4)从图象上观察可知： 不等式f(x)>0的解集为：{x|0<x<4或x>4}. (5)由图象可知若y=f(x)与y=m的图象有三个不同的交点，则0<m<4, ∴集合M={m|0<m<4}.
【反思·感悟】利用函数的图象能直观地解决函数的性质问题、方程根的个数问题、函数的零点个数问题及不等式的解集与恒成立问题，但其关键是作出准确的函数图象，数形结合求解.否则若图象出现失误，将得到错误的结果.【反思·感悟】利用函数的图象能直观地解决函数的性质问题、方程根的个数问题、函数的零点个数问题及不等式的解集与恒成立问题，但其关键是作出准确的函数图象，数形结合求解.否则若图象出现失误，将得到错误的结果.
【易错误区】作图不准确或数与形不吻合致误 【典例】(2011·新课标全国卷)函数 的图象与函数 y=2sinπx(-2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( ) (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 【解题指南】在同一坐标系中画出函数 和y=2sinπx (-2≤x≤4)的图象，然后根据图象探究交点横坐标之间满足的 关系，从而求解.
【规范解答】选D.由题意知 的图象是双曲线， 且关于点(1，0)成中心对称，又y=2sinπx的周期为 且也关于点(1，0)成中心对称；因此两图象的交点也一定关于 点(1，0)成中心对称，再结合 图象(如图所示)可知两图象在 ［-2，4］上有8个交点，因此 8个交点的横坐标之和x1+x2+… +x8=4×2=8.
