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导入 新课. 观察与分析. 在我们的生活中，有许多这样形状的几何体，想想它们有怎样的几何特征？. 探究：. 取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点处，套上铅笔，拉紧细绳，移动笔尖，这样画出的是一个圆 . 如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点处，套上铅笔，拉紧细绳，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线呢？. 在上述的过程中，移动的笔尖（动点）满足什么样的几何条件呢？. 下面让我们一起来学习研究这样的轨迹曲线 —— 椭圆. 圆锥曲线与方程. 2.1.1 椭圆及其标准方程. 教学目标. 知识与能力：.

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  1. 导入新课 观察与分析 在我们的生活中，有许多这样形状的几何体，想想它们有怎样的几何特征？

  2. 探究： 取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点处，套上铅笔，拉紧细绳，移动笔尖，这样画出的是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点处，套上铅笔，拉紧细绳，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线呢？

  3. 在上述的过程中，移动的笔尖（动点）满足什么样的几何条件呢？在上述的过程中，移动的笔尖（动点）满足什么样的几何条件呢？ 下面让我们一起来学习研究这样的轨迹曲线——椭圆.

  4. 圆锥曲线与方程

  5. 2.1.1 椭圆及其标准方程

  6. 教学目标 知识与能力： 理解椭圆的概念，掌握椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题； 理解椭圆标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法； 了解求椭圆的动点的伴随点的轨迹方程的一般方法.

  7. 过程与方法： 情感态度与价值观： 注重数形结合，掌握解析法研究几何问题的一般方法； 注重探索能力的培养. 探究方法激发学生的求知欲，培养浓厚的学习兴趣; 进行数学美育的渗透，用哲学的观点指导学习.

  8. 教学重难点 重点： 难点： 椭圆定义的理解及标准方程的推导 标准方程的推导

  9. 从上述的探究中，我们可以知道：把细绳的两端拉开一段距离，移动笔尖的过程中，细绳的长度保持不变，即笔尖到两个定点的距离和等于常数.从上述的探究中，我们可以知道：把细绳的两端拉开一段距离，移动笔尖的过程中，细绳的长度保持不变，即笔尖到两个定点的距离和等于常数. 椭圆：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹.这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点间的距离叫做椭圆的焦距.

  10. y M c c x O F1 F2 图2.2-1 类比利用圆的对称性建立圆方程的过程，画出适当的坐标系，建立它的方程. 如图2.2-1，以经过两焦点F1,F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy.

  11. y M c c x O F1 F2 图2.2-1 设M（x，y）是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c（c>0）,那么焦点F1,F2的坐标分别为（－c，0）（c，0）.又设M与F1，F2的距离等于2a. 由椭圆的定义，椭圆就是集合 P={M||MF1|+|MF2|=2a}.

  12. 因为|MF1|= ，|MF2|= ， 所以 化简此方程，将左边的一个根式移到右边，得： 将这个方程两边平方，得 整理得

  13. 上式两边再平方，得 a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2， 整理得 （a2-c2）x2+a2y2=a2(a2-c2), 两边同除以a2(a2-c2),得 ① 由椭圆的定义可知，2a>2c，即a>c， 所以，a2-c2>0.

  14. y 观察与分析 P 观察图2.2-2，你能从中找出表示a，c， 的线段吗？ x O F1 F2 图2.2-2 由图可知，|PF1|=|PF2|=a，|OF1|=|OF2|=c，|PO|= , 令b=|PO|= ，那么①式就是 （a>b>0）②

  15. 我们把方程②叫做椭圆的标准方程，椭圆上任意一点的坐标都满足此方程.它的焦点在x轴上，两个焦点分别是F1（-c，0），F2（c，0）这里的c2=a2-b2.我们把方程②叫做椭圆的标准方程，椭圆上任意一点的坐标都满足此方程.它的焦点在x轴上，两个焦点分别是F1（-c，0），F2（c，0）这里的c2=a2-b2.

  16. F1 M x O F2 图2.2-3 y 如图2.2-3，如果焦点F1,F2在y轴上，且F1,F2的坐标分别为（0，-c），（0，c），a，b的意义同上，那么椭圆的方程是什么？

  17. 容易知道，此时椭圆的方程是 (a>b>0) 这个方程也是椭圆的标准方程.

  18. 例1： 已知椭圆的两个焦点坐标分别是（-2，0），（2，0），并且经过点 ，求它的标准方程.

  19. 继续解答 解：因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为 （a>b>0）. 由椭圆的定义知 所以

  20. 又因为c=2，所以b2=a2-c2=10-4=6. 因此，所求椭圆的标准方程为

  21. 例2： 中心在原点，一焦点为F1（0，5）的椭圆被直线y=3x－2截得的弦的中点横坐标是 ，求此椭圆的方程.

  22. 继续解答 解：设椭圆的标准方程为： （a＞b＞0）， 则a2＋b2=50…① 又设A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB中点（x0，y0） ∵x0= ，∴y0= －2=－ .

  23. 由 …② × 解①，②得：a2=75，b2=25，椭圆为：

  24. M 例3： A O B x 图 2.2-4 y 如图2.2-4，设点A,B的坐标分别为（-5，0），（5，0）.直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是 ，求点M的轨迹方程.

  25. 分析 设点M的坐标为（x，y），那么直线AM，BM的斜率就可以用含有x，y的式子表示.由于直线AM,BM的斜率之积是 ，因此可以建立x，y之间的关系式，得出点M的轨迹方程.

  26. 继续解答 解：设点M的坐标为（x，y），因为点A的坐标是（-5，0），所以，直线AM的斜率为 （x ≠ -5）； 同理，直线BM的斜率 （x ≠ 5）.

  27. 由已知有 （x≠±5） 化简，得点M的轨迹方程为 （ x≠±5）.

  28. 课堂小结 1. 椭圆： 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹.这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点间的距离叫做椭圆的焦距.

  29. 2. 椭圆的标准方程： （1）焦点在x轴上： （a>b>0） 焦点坐标分别为（-c，0），（c，0）. （2）焦点在y轴上： (a>b>0) 焦点坐标分别为（0，-c），（0，c）.

  30. 高考链接 1.（2008北京文）已知△ABC的顶点A，B在椭圆上，C在直线l:y=x+2上，且AB∥l. （Ⅰ）当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及△ABC的面积； （Ⅱ）当∠ABC=90°，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程.

  31. 继续解答 解：（Ⅰ）因为AB∥l，且AB边通过点（0，0），所以AB所在直线的方程为y=x. 设A，B两点坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2). 由 得x=±1， 所以

  32. 又因为AB边上的高h等于原点到直线l的距离，所以又因为AB边上的高h等于原点到直线l的距离，所以 （Ⅱ）设AB所在直线的方程为y=x+m. 由 得 因为A，B在椭圆上， 所以　　　 设A，B两点坐标分别为（x1,y1），（x2,y2）. 则　　　

  33. 所以　　　 又因为BC的长等于点（0,m）到直线l的距离，即 所以　　　 所以当m=-1时，AC边最长. （这时△ =-12+64>0） 此时AB所在直线的方程为y=x-1.

  34. 2. (2008福建文)如图，椭圆的一个焦点为F（1，0）且过点 （2，0）. （1）求椭圆C的方程； （2）若AB为垂直与x轴的动弦，直线l:x=4与x轴交于N，直线AF与BN交于点M. ①求证：点M恒在椭圆C上； ②求面积的最大值.

  35. 解：（1）由题设a=2,c=1,从而 所以方程为： （2）①有F(1,0),N(4,0); 设A（m,n），则 B（m,-n），AF与BN得方程分别为：， 设交点M坐标为 ，则 ；点M恒在椭圆C上.

  36. ②设AM的方程为x=ty+1,带入 ， 得： 设 ，则有 则 ， 令 则 所以当 时， 有最大值3，此时AM过点F. 有最大值为 .

  37. 3. 如图、椭圆的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点. （Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程； （Ⅱ）设过点 F 的直线 l 交椭圆于A、B两点.若直线 l 绕点F任意转动，值有，求 a 的取值范围.

  38. 解：(Ⅰ)设M，N为短轴的两个三等分点，因为△MNF为正三角形，所以, 即1＝ . 因此，椭圆方程为

  39. (Ⅱ)设 (ⅰ)当直线 AB与x轴重合时， (ⅱ)当直线AB不与x轴重合时， 设直线AB的方程为： 整理得 所以

  40. 因为有 ，所以∠AOB恒为钝角. 即 恒成立. 又a2+b2m2>0,所以-m2a2b2+b2-a2b2+a2<0对m ∈ R恒成立， 即a2b2m2> a2 -a2b2+b2对m ∈ R恒成立.

  41. 当m ∈ R时，a2b2m2最小值为0，所以 a2- a2b2+b2<0. a2<a2b2- b2, a2<( a2-1)b2= b4, 因为a>0,b>0,所以a<b2,即a2-a-1>0, 解得a> 或a< (舍去)，a> , 综合（i）(ii)，a的取值范围为（ ，+∞）.

  42. 随堂练习 1. 填空题 （1）设是椭圆 上的一点，F1F2是椭圆的两个焦点，则 的最大值为 ；最小值为. 4 1 （2）椭圆 的离心率为 ，则m= . 3或

  43. （1）椭圆 的焦距是（ ） A．2 B． C． D． 2.选择题 A （2）若椭圆的两焦点为（－2，0）和 （2，0），且椭圆过点 ，则椭圆方程是（ ） A． B． C． D． D

  44. (1)设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e= ，已知点P（0， ）到椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆方程. 3.解答题 解： ∵e2= ∴椭圆方程可设为： 设A（x，y）是椭圆上任一点，则：│PA│2=x2+（y－ ）2=－3y2－3y+4b2+ f（y）（－b≤y≤b）.

  45. 讨论：1°、－b＞－ 0＜b＜ 时，│PA│ = f（－b）=（b＋ ）2 = 但b＞ ，矛盾.不合条件. 2°、－b≤－ b≥ 时，│PA│ = f（－ ）=4b2+3=7 b2=1 ∴所求椭圆为：

  46. （2）椭圆的一个顶点为A（2，0），其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．（2）椭圆的一个顶点为A（2，0），其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 解：（1）当 A（2，0）为 长轴端点时， ， 　　椭圆的标准方程为： ； 　 （2）当 A（2，0）为短轴端点时， ， 椭圆的标准方程为： .

  47. （3）求与椭圆 ＋ =1有相等的焦距，且一条准线方程为12x-169=0的椭圆的标准方程. 解：c2=200-56=144，c=12， 又 = ，∴a=13，b=5. 故所求为 ＋ =1.

  48. 习题解答 2.（1） （2） （3） 或 • 14. • 【提示】：根据椭圆的定义，|PF1|+|PF2|=20,因为|PF1|=6,所以|PF2|=14.

  49. 3. 解：由已知，a=5，b=4，所以c= =3. （1） △AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|. 由椭圆的定义，得 |AF1|+|AF2|=2a， |BF1|+|BF2|=2a， 所以， △AF1B的周长=4a=20. （2）如果AB不垂直于x轴，△AF1B的周长不变化. 这是因为①②两式仍然成立，△AF1B的周长 =20，这是定值.

  50. 4. 解：设点M的坐标为（x，y），由已知，得直线AM的斜率 kAM= （ x ≠－1）； 直线BM的斜率 kBM= （x ≠ －1）. 由题意，得 =2,所以， =2× （ x ≠±1，y ≠ 0）. 化简，得x= －3（y ≠ 0）. 因此，点M的轨迹是直线x = －3，并去掉（ －3 ，0）.

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