第５章：　偏微分の応用

第５章：　偏微分の応用 • 極大・極小の判定 • 陰関数定理 • （平面曲線） • 条件付き極値、特にラグランジュの乗数法 • （最大・最小）

極大・極小 (§3 (p.183～)) • 「局所的に（＝十分狭い範囲では）」最大・最小 • 以下 f (P) = f (x,y) は微分可能とする。 • 点 A(a,b) が広義極大（極小）点では：（極点＝極値をとる点である必要条件）A を「停留点（stationary point）」と言う。

停留点の判定（分類） (5.3.5) • 停留点： • この時テーラー展開は： • ２次式 F=Ax2+2Bxy+Cy2の符号が問題 • ３次以上の項は、h, k が十分小さければ２次の項の符号に影響しない。　

２次曲面の分類 • F(x,y)=Ax2+2Bxy+Cy2　で表される曲面：Δ(x,y)= AC－B2 により分類。 • 変数変換により： • 楕円型：　 Δ >0: F=αX2+βY2　　（αβ>0） • 双曲型：　 Δ <0: F=αX2—βY2　　（αβ>0） • 放物型：　 Δ =0: F=αX2 • さらには： Δ =0: F=0 • 点 (x,y)=(0,0) は： • 楕円型のとき「極点」（極大または極小） • 双曲型のとき「鞍点（saddle point）」 • 放物型のときは、広義極点

２次曲面の分類（２） • 前ページの標準形は、２次形式：において、間の行列を対角化したことにあたる（対称行列なので、必ず対角化可能：線形代数の授業参照：Pは適当な回転行列）

記号についての注意 • 高校以来、おなじみの判別式 D= B2－ACは教科書 (p.184, 5.3.4) にあるヘッセ行列式：とは正負が逆になっている。 • どちらがわかりやすいかは問題だが、混乱を避けるため、できるだけ教科書の流儀に合わせていく。しかし個々の場合について意味を考えることが大事。

停留点の分類 (定理 5.3.5) • 停留点：　fx(a, b)= fy(a, b)=0 • Δ(a,b)>0　　　（楕円型） • fxx(a, b), fyy(a, b) は同符号 • fxx(a, b)>0: 極小点、fxx(a, b)<0: 極大点 • 任意の断面について極大／極小 • Δ(a,b)<0　　　（双曲型） • (a, b) を「鞍点 (saddle point)」と言う。 • 必ず等高線（２本）が交差し、等高線を境にして、 f(x, y) の正負が入れ替わる。 • ある断面については極大、別の断面については極小、等高線沿いには定数関数（変化なし）。

停留点の分類（続き） • Δ(a,b)=0　　いろいろな場合がある • 放物型：　広義の極大／極小点 • その他 • f (x,y)=x4+y4 • 等高線が３本以上 f (x,y)=xy(x2-y2) • 等高線が１本： f (x,y)=y3 • 等高線が０本（２次元領域で定数） • 等々 • テイラー展開の３次以上を見る必要がある。

極大・極小の判定手順（１） • 微分可能でない場合： • 個別に調べる。上は円錐面で、原点で極小（最小）だが、原点では微分不能。 • 微分でわかる以外の性質（対称性、周期性等）について事前によく考察しておく。（それにより後の計算も楽になる。）

極大・極小の判定手順（２） • fx,fy を計算して停留点 fx(a, b)= fy(a, b)=0 を求める。 • 実際にはこの計算がかなり大変。 • Δ(a,b)= fxx(a, b) fyy(a, b) ー{fxy(a, b)}2を求める。 • Δ(a,b)>0 なら極大・極小点、 Δ(a,b)<0 なら鞍点。 • Δ(a,b)=0 の場合は、テイラー展開の３次以上を求める、個別に考察する等。

陰関数定理　（5.4.2） • 陰関数 f (x, y) = 0 ⇒ f (x, y(x)) = 0 が陽形式 y=φ(x) と表せるための条件。 • (a, b) の近傍で fx , fyが連続、f (a, b)=0, fy(a, b)≠0 • このとき (a, b) で接線を持つ y=f (x) が存在。 • また • 要するに、等高線が引けるための条件。

陰関数の微分 • 実際にはすでに高校でもやっている。 • 例：円の方程式　x2+y2=r2両辺を xで微分して整理 • 全微分の観点からは： • 接線方向には全微分は 0： • 陰関数定理（２変数版）はy’ の存在保証。 • y’ しか与えないので、yを得るには積分が必要

陰関数定理：　特異点 • 陰関数定理： • Fx(a,b)=Fy(a,b)=0 のとき：　特異点（singular point）：　後述の停留点でもある。 • 正則点（特異点以外の点）では F(x,y) は１つの方向にだけ水平；　それが y’ の方向。 • 特異点では複数の方向に水平である可能性がある。

参考：陰関数定理（３変数） • 定理 (5.4.3) の n=2 の場合。 • F(x,y,z) = 0 を満たす x, y, z に対し、z = f(x,y)となる f(x,y) が存在するための条件。 • このとき： • さらに多変数→多変数（写像）への一般化、 • 条件が多い場合等 (5.4.4) • 写像の「線形性」が前面にでてくる。

平面曲線 • f (x,y)=0 を満たす(x,y) 全体の集合 • 参考：別の定式化：パラメタ形式 • 例：　リサージュ曲線 • 一般に　f (x,y)=0 で与えられた曲線は、 y=g(x) やパラメタ形式で簡単に表せない。⇒　どうやって形状を調べるか？

平面曲線（２） • 通常点（正則点）の場合 • 近傍では等高線がただ１本ある（陰関数定理） • 特異点（停留点）の場合　(5.5.1)停留点の分類に呼応して： • Δ(a,b)>0：　孤立点 • Δ(a,b)<0：　結節点（等高線が２本交わる） • Δ(a,b)=0：　別途調べないとわからない。

ラグランジュの乗数法　（5.6.2, 5.6.4） • 条件付きの極大・極小問題 • 原理：　２曲面 C(x,y,z)=0 と F(x,y,z)=kとは、kの値を変えていくと： • 共通点を持たない • 接する • 交わるといった状態を移り変わるだろう。 • b, c のとき、C=0 という条件を満たす点が F上にある。 • b のとき、F は C=0 という条件下での極値（極大／極小）をとりうる。（いつでもそうとは限らないが。）

ラグランジュの乗数法（２） • （２変数版の場合： (5.6.2)） • g(x,y)=0, f (x,y)=k が (a,b) で接するなら、その点での法線ベクトルが一致する： • これを満たすλ, a, b を求めればよい。 • λ がいわゆる「未定係数」である。

ラグランジュの乗数法（３） • （３変数版の場合） • g(x,y,z)=0, f (x,y,z)=k が (a,b,c) で接するなら、その点での法線ベクトルが一致する： • これを満たすλ, a, b, c を求めればよい。

最大・最小問題 • ポイント：　有界閉領域で連続な関数には最大値・最小値が存在する。 (5.7.9) • したがって、連続関数の場合： • 有界閉領域での最大値は、極大点か境界上の最大点。最小値についても同様。(5.7.13) • 開領域（境界を含まない領域）では、最大（小）値が存在するなら極大（小）点で最大（小）。 (5.7.10)

補足：Jacobi 行列、行列式（Jacobian） • x = x(u,v), y = y(u,v) のとき： • u = u(x,y), v = v(x,y) のとき： • その行列式をと書き、「関数行列式」、「Jacobi 行列式」（Jacobian）などと言う。

教科書訂正 • p.208 (5.7.14): p.187 問題1 1) と同じ

第５章： 偏微分の応用