第十八章 数学物理方程综述

1. 第十八章 数学物理方程综述 18.1 线性偏微分方程解法综述 对于二阶线性偏微分方程定解问题，前面我们介绍了 几种主要解法，并详细阐述了其解题思路．为了理解方便， 对它们综述如下：

2. 1.行波法：先求出满足定解问题的通解，再根据定解条件1.行波法：先求出满足定解问题的通解，再根据定解条件 确定其定解问题的解. 行波法是通解法中的一种特殊情形, 行波法又称达朗贝尔(d’Alembert)解法.它不仅可以求解无 界区域的线性偏微分方程，而且能求解某些非线性偏微 分方程． 2.分离变量法：先求出满足一定条件（如边界条件）的特 解族，然后再用线性组合的办法组合成级数或含参数的积分, 最后构成适合定解条件的特解；

3. 这是求解线性偏微分方程定解问题的最主要方法．从理这是求解线性偏微分方程定解问题的最主要方法．从理 论上说，分离变量法的依据是Sturm–Liouville型方程的本 征值问题．从解题步骤上看，要求本征值问题所对应的定解 条件必须是齐次的(若为非齐次，则需先齐次化)．从而使 得这种解法对于定解问题中微分方程的具体形式有一定的 限制，同时对所讨论问题的空间区域形状也有明显限制．并且 还涉及到正交曲面坐标系的选取．

4. 在具体求解时，当然还必须求解相应的常微分方程在具体求解时，当然还必须求解相应的常微分方程 的本征值问题．除了本书中介绍过的几个本征值问题外， 也可能会出现其他的特殊函数． 3 幂级数解法：就是在某个任选点的邻域上，把待求的解 表示为系数待定的级数，代入方程以逐个确定系数．勒让 德多项式、贝塞尔函数即用幂级数解法求解得出．这种解 法普遍，但计算量大，较为繁琐．必要时可借助于计算机 迭代计算．

5. 4 格林函数法：这种方法具有极大的理论意义．它给出了 定解问题的解和方程的非齐次项以及定解条件之间的关系， 因而便于讨论当方程的非齐次项或定解条件发生变化时，解 是如何相应地发生变化的. Green函数法，已经成为理论物 理研究中的常用方法之一． 5. 积分变换方法：这种方法的优点是减少方程自变量的 数目．从原则上说，无论对于时间变量，还是空间变量； 无论是无界空间，还是有界空间；都可以采用积分变换

6. 的方法求解线性偏微分方程的定解问题．但从实际计算上的方法求解线性偏微分方程的定解问题．但从实际计算上 看，还需要根据方程和定解条件的类型，选择最合适的积 分变换．反演问题，是关系到拟采用的积分变换是否实际 可行的关键问题．反演时涉及的积分很简单，甚至有现成 的结果(如查积分变换表，专用工具书等)可供引用，采用 积分变换的确可以带来极大的便利．但若涉及的积分比较 复杂，而且没有现成的积分变换结果可供引用，那么反演 问题就成为了积分变换的难点．

7. 积分变换法和分离变量法存在密切的联系．例如，积分变换法和分离变量法存在密切的联系．例如， 当本征值过渡到连续谱时，分离变量法就变为相应的积分 变换法． 另外，从实用的角度来看，如果空间是有界的，一般 说来，积分变换和分离变量法没有什么差别，故仍不妨采用 分离变量法． 积分变换方法也具有分离变量法所没有的优点：它还可以 应用于求解某些非线性偏微分方程．

8. 6. 保角变换法．这种方法的理论基础是解析函数所代表的变换具有保角性．这种解法主要用于二维Laplace 方程或Poisson方程的边值问题，因为在保角变换下，前者的形式不变，后者也只是非齐次项作相应的改变．粗略地说，运用保角变换，可以把“不规则”的边界形状化为规则的边界形状．例如，可以把多边形化为上半平面或单位圆内．再结合上半平面或圆内的Poisson公式，就能直接求出二维Laplace方程的解．

9. 运用保角变换，可以解决一些典型的物理问题或工程问题．例如，有限大小的平行板电容器的边缘效应问题，空气动力学中的机翼问题，以及其他一些流体力学问题．又如，应用保角变换法，可以把偏心圆化为同心圆．运用保角变换，可以解决一些典型的物理问题或工程问题．例如，有限大小的平行板电容器的边缘效应问题，空气动力学中的机翼问题，以及其他一些流体力学问题．又如，应用保角变换法，可以把偏心圆化为同心圆． 7. 变分法．这个方法具有理论价值和实用价值．在理论上，它可以把不同类型的偏微分方程的定解问题用相同的泛函语言表达出来(当然不同问题中出现的泛函是不同的)，或者说，把

10. 不同的物理问题用相同的泛函语言表达出来．正是由于这个原因，变分或泛函语言已经成为表述物理规律的常用工具之一．在实用上，变分法又提供了一种近似计算的好办法．有效地利用物理知识，灵活巧妙地选取试探函数，可以使计算大为简化．在物理学中，无论过去或现在，变分法都是常用的一种近似计算方法． 例如，在原子和分子光谱的计算中就广泛地采用了变分法．

11. 8.计算机仿真解法：利用数学工具软件（Matlab,Mathematic,8.计算机仿真解法：利用数学工具软件（Matlab,Mathematic, Mathcad）和常用计算机语言（Visual C++）等实现对数学物理 方程的求解，参考计算机仿真部分对三类典型的数学物理方程的 求解及其解的动态演示． 9.数值计算法: 对于边界条件复杂，几何形状不规则的数学物理定解问题，精确求解很困难，甚至不可能的情形，拟采用数值求解的方法．其中主要的数值解法包括：有限差分法、蒙特－卡洛（Monte-Carlo）法等．

12. 18.2 非线性偏微分方程 前面我们讨论了线性偏微分方程定解问题的解法, 而现实中的许多物理现象都是非线性地依赖于一些物理参量变化的, 从而描述这些现象的数学物理方程就是非线性偏微分方程.非线性偏微分方程有许多不同于线性偏微分方程的特征, 比如线性偏微分方程的叠加原理对非线性偏微分方程就不再成立, 从而基于叠加原理的求解方法对非线性偏微分方程就不再适用. 另外, 解的性质也有许多本质的变化.

13. 自20世纪60年代以来，非线性方程在物理、化学、生物等各自20世纪60年代以来，非线性方程在物理、化学、生物等各 个学科领域中不断出现，其研究内容日趋丰富．与线性方程的 定解问题一样，非线性方程同样存在定解问题的适定性，但后 者要复杂得多．限于篇幅，我们主要介绍物理现象中典型的非 线性方程及其求解方法，它们在非线性光学、量子场论和现代 通信技术等领域具有广泛的应用前景． 典型非线性方程及其行波解

14. 在无限空间，线性或非线性偏微分方程 （18.2.1） 其中 为包括时间 和空间 偏导数的微分算子。形如 的解，称为上式的行波解，其中 为常数．对线性偏微分方程，比如波动方程，则 为满足一定条件的任意函数．但对

15. 非线性偏微分方程，由于叠加原理已不成立， 只能取 特定的形式才有可能满足(18.2.1)．事实上，满足式（18.2.1）的特定形式 是方程的非线性本征模式．由行波解可以 分析非线性偏微分方程解的重要性质．我们特别感兴趣的是非线性偏微分方程的所谓“孤立波”形式的解． 18.2．1 孤立波 1834 年,英国科学家S.Russel沿河边骑马时发现一个有趣的 现象[14],由于船的推动,河中涌起一个孤立的波,以几乎不变的速

16. 度和不变的波形向前推进（如图18.1所示）,很久以后才遇障碍而度和不变的波形向前推进（如图18.1所示）,很久以后才遇障碍而 消失. Russel后来发表了观察报告,首先提出“孤立波”的名词概念. 1895年,荷兰数学家（D.J. Korteweg）和他的学生(G. de Vries)在研 究浅水波时,导出了如下形式的方程 (18.2.1) 其中 是常数，该方程以两位科学家命名而称为KdV方程. 由 于方程左边第二项关于 是非线性的， 所以(18.2.1)是一非

17. 线性偏微分方程. 现在来寻求方程(18.2.1)的平面前进波(简称行波)解,令 (18.2.2) 其中 是常数，将(18.2.2)式代入(18.2.1),得 对 积分一次得

18. 为任意常数） (18.2.3) （ 用 乘(18.2.3)式两边,并对 积分,得 ( 18.2.4) 其中 为任意常数．由于孤立波是一个局部波,当 及其各阶导数都趋于零． 于是,由(18.2.3),(18.2.4)式知, 时，有 ,从而(18.2.4)式变成

19. (18.2.5) 从方程(18.2.5)可看出,只有当 时,KdV方 程才可能有实的行波解.当 时, ,可知当 时, 由零上升到极大值 ,然后又 由 变到 下降到零,其图形大致形如图18.1所示,这种形状的波称为孤立波. 下面我们来求 的具体表达式,为此把方程 (18.2.5)写成变量

20. 分离的形式 (18.2.6) 查积分表,可解得 (18.2.7) 其中A为积分常数.不妨设A=0 (否则对 作平移), 则(18.2.7)

21. 可化简为 (18.2.8) 这个函数的图形如图18.1所示,它表示KdV方程(18.2.1)有任意 波速c的孤立波解,其峰高为 . 由(18.2.8)式及图18.1可得出结论

22. (1)波峰高与波速成正比; (2)由(18.2.7)式知,当 固定时,相应的 的绝 大的孤立 对值与 近似地成反比. 因此,速率 波,其波宽反而小. 是钟形的正割双曲函数，其图形与浅水槽中观察到的 孤立波的形状相同．上述KdV方程的行波解(18.2.8)称为孤立波解， 从而在数学上证实了孤立波的存在．20世纪70年代两位美国科学家

23. (Zabusky和Kruskal)用数值模拟证实了：两个相对运动的孤立(Zabusky和Kruskal)用数值模拟证实了：两个相对运动的孤立 波在碰撞之后仍为两个稳定的，形状与碰撞前相同的孤立波，仅 仅相位发生了变化，也就是说两个孤立波的碰撞类似于粒子之 间的碰撞．这种孤立波具有类似粒子的性能，因而这两位科学 家将孤立波命名为“孤立子”（Solition）． 20世纪中,人们不仅在浅水波中发现孤立波,在光纤通信,金属相变,神经传播等许多领域中都有”孤立波”现象, 即某种现象或信息脉冲以几乎恒定的形态进行传播.

24. 非线性偏微分方程存在孤立波解，除KdV方程之外，还有非线性偏微分方程存在孤立波解，除KdV方程之外，还有 很多，如 1）非线性薛定谔方程 (18.2.9) 2）正弦——戈登方程 (18.2.10)

25. 此外，还有Klein-Gordon 方程，Toda非线性晶格 方程等，这些非线性偏微分方程在等离子体物理、非线性光 学、量子场论和通信技术等领域都有着重要的地位和作用． 18.2.2 冲击波 本节研究另一类非线性偏微分方程 （18.2.11）

26. 为常数， 式（18.2.11）称为Burgers 方程．其中 是非线性耗散方程． Burgers 方程 下面我们以之为例来分析其冲击波解．我们不妨设上式 有行波解，并具有下列形式 （18.2.12） 将其代入Burgers 方程得到 （18.2.13）

27. 对 积分得到 （18.2.14） 其中 为积分常数．上式改写成 （18.2.15） 设方程右边有两个实根 （18.2.16）

28. 由于 和 都是待定常数，取 于是式（18.2.15）为 （18.2.17） 上式积分可得到 （18.2.18）

29. 其中 为积分常数．因此，我们得到了Burgers方程 （18.2.11）的行波解式（18.2.18），波的振幅和波速为 （18.2.19） 容易得到下列关系

30. 式（18.2.18）称为Burgers方程的冲击波解． 和 的稳定性．为 下面分析平衡点 此把二阶方程（18.2.13）写成一阶方程组

31. （18.2.20） 在平衡点 处，上述方程的系数矩阵的特征值 满足 （18.2.21）

32. 容易求得二个特征值为 因此 是不稳定平衡点．对平衡点 可求得

33. 可见 为稳定的平衡点．从不稳定平衡点 的过渡速度由宽度量 向稳定平衡点 描述，且决定于 ．式（18.2.18） 对 微分可得到 （18.2.22）

34. 显然，当 时， ．回到 变量，上式表示向 方向传播的“孤立”波．值得 指出的是，从式（18.2.19）可见，“孤立”波传播的速度与振幅有关，这也是非线性本征模式的典型特性．