Evaluation stochastique de la provision pour sinistres
Download
1 / 77

EVALUATION STOCHASTIQUE de la PROVISION POUR SINISTRES - PowerPoint PPT Presentation


  • 1069 Views
  • Uploaded on

EVALUATION STOCHASTIQUE de la PROVISION POUR SINISTRES. Christian PARTRAT Conférence scientifique - Institut des Actuaires 20 janvier 2004. Le provisionnement : plus un art qu’une science. Introduction (1). Finalité première :

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about 'EVALUATION STOCHASTIQUE de la PROVISION POUR SINISTRES' - ananda


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
Evaluation stochastique de la provision pour sinistres l.jpg

EVALUATION STOCHASTIQUEde laPROVISION POUR SINISTRES

Christian PARTRAT

Conférence scientifique - Institut des Actuaires

20 janvier 2004


Le provisionnement plus un art qu une science l.jpg
Le provisionnement :plus un art qu’une science


Introduction 1 l.jpg
Introduction (1)

Finalité première :

Mesurer l'incertitude présente dans

les triangles de liquidation

et

les résultats des méthodes déterministes


Introduction 2 l.jpg
Introduction (2)

Les méthodes stochastiques (modèles) permettent de :

  • expliciter les hypothèses utilisées dans le modèle.

    2. valider, au moins partiellement, celles-ci

    3. évaluer la variabilité de la provision "prévue" par le modèle.

    4. obtenir des estimations et intervalles de confiance pour des paramètres d’intérêt liés à la provision

    5. simuler, à l'aide de méthodes Monte-Carlo, la sinistralité d'exercices futurs (Dynamic Financial Analysis, Gestion Actif-Passif,…) .


Introduction 3 l.jpg
Introduction (3)

Par mise en oeuvre de techniques bootstrap :

estimation de la loi de probabilité de la provision

et

possibilité alternative d'estimer ses caractéristiques :

Moments

Value-at-Risk (quantiles)

Probabilité d'insuffisance

etc


Introduction 4 l.jpg
Introduction (4)

Approche stochastique   choix d’un modèle

risque d'erreur de spécification (modèle inexact)

mais possibilité d’utiliser un jeu de modèles

(analyse de sensibilité)


Introduction 5 l.jpg
Introduction (5)

Benchmark incontournable : chain ladder (standard)

L’estimation de la provision donnée par une méthode stochastique doit être

  • proche (Régression LogNormale, Kremer 1982,… )

  • exactement égale (modèle conditionnel Mack, 1993; modèle Log-Poisson de Renshaw et Verrall, 1994 et 1998)

    à l’évaluation chain ladder


Introduction 6 l.jpg
Introduction (6)

Hors modèle de Mack sur triangle cumulé

Modèles stochastiques, sur triangle non cumulé,

basés sur le modèle linéaire

(i)Normal

(ii) Généralisé (GLM)

Mise en œuvre pratique : logiciels statistiques (SAS,…)

Rem : Filtre de Kalman non présenté


Slide9 l.jpg

Exemple (1)

Dommages Auto : Paiements non cumulés (Increments)

[1] Intègre une évaluation des paiements postérieurs au 31/12/93 pour les sinistres survenus en 1988.


Slide10 l.jpg

Exemple (2)

Dommages Auto : Paiements cumulés (Cumulative)


Notations 1 l.jpg
Notations (1)

  • Branche à déroulement sur années (n=5)

  • Pour :

    v.a.r.montant non cumulé (exercice i ; délai j )

    v.a.r.montant cumulé (ex. i ; délai j )

  • Triangle supérieur T des montants observé :

    réalisation de


Notations 2 l.jpg
Notations (2)

  • Provision de l’exercice i

  • Provision globale (tous exercices confondus)

  • Cash-flows annuels futurs, au titre de l’ exercice n+k


Probl matique 1 l.jpg
Problématique (1)

A.Estimation d'un paramètre

(certain mais inconnu)

lié à la loi de R ( fonct. répart. de R ) :

  • un indicateur de valeurs centrales de R :

    moyenne, médiane, quantile d’ordre >0.5,…

    Best estimates de R


Probl matique 2 l.jpg
Problématique (2)

  • la probabilité d'insuffisance d'une provision donnée a priori

  • un indicateur de volatilité : variance, écart-type, …

  • un indicateur de queue : la Value-at-Risk d'ordre

    la TailVaR

  • une « marge » (Market Value Margin, IAS/IFRS)

    .


Probl matique 3 l.jpg
Problématique (3)

estimateur de

Propriétés (biais, …)

Mesures d’incertitude d’estimation :

  • Mean Square Error

  • Standard Error (asymptotique)

    estimées


Probl matique 4 l.jpg
Problématique (4)

  • Intervalle de confiance pour au niveau 0,95


Probl matique 5 l.jpg
Problématique (5)

B. prédiction de R

Prédicteur de la v.a.r. R :

Mesure d’incertitude de prédiction :

estimation de E(R)


Probl matique 6 l.jpg
Problématique (6)

(1) p = 0,4 m = 10 tirages avec remise

(0) q = 0,6 Obs : X1 , X2 , …, Xm

0 , 0 , 1 ,0 , 1 , 0 , 0 , 0 , 1 , 0

  • Estimation de p

    ( = 0,3 )

  • Prédiction de la v.a.r.

    ( 0 )


Mod le conditionnel de mack 1 l.jpg
Modèle conditionnel de Mack (1)

Chain ladder stochastique 1

Mack, 1993 Mack,1999

Utilise le triangle des montants cumulés sous :

H1 : Indépendance des exercices d'origine

Les v.a. et sont indépendants

,


Mod le conditionnel de mack 2 l.jpg
Modèle conditionnel de Mack (2)

H2 : Pour , il existe un paramètre

tel que

ou

, indépendant de i

Pour , facteur CL estimateur ss biais de


Mod le conditionnel de mack 3 l.jpg
Modèle conditionnel de Mack (3)

  • H3 : Pour , il existe un paramètre tel que

  • Estimation des MSE et standard errors de et

    Hyp. 2 et 3 validées graphiquement


Slide22 l.jpg

Modèle conditionnel de Mack (4)

Risques relatifs d’estimation des provisions

Risque R = 3,7%


Remarque l.jpg
Remarque

Colloque ASTIN 2003, Berlin

G.Quarg : Munich chain ladder

Closing the gap between paid and incurred

IBNR-estimates

détermination de la provision par intégration de

la charge sinistres

les paiements


Mod les variables explicatives 1 l.jpg
Modèles à variables explicatives (1)

Les variables intervenant dans la modélisation d'un triangle de liquidation correspondent aux trois directions "naturelles"

délai

0 0 j n

année i

n i+j

année calendaire


Mod les variables explicatives 2 l.jpg

Les variables année (origine ou calendaire):

qualitatives ordinales  qualitatives :

param.: ,

Pour un triangle déflaté :

la variable délai, naturellement quantitative discrète à valeurs 0, 1, ….prise en

(i) qualitative :

(ii) quantitative :

Modèles à variables explicatives (2)


Exemple 3 l.jpg
Exemple (3)

j 0 1 2 3 4 5

i

0 3 209 1 163 39 17 7 21

1 3 367 1 292 37 24 10

2 3 871 1 474 53 22

3 4 239 1 678 103

4 4 929 1 865

5 5 217

0 : année, délai de référence


Mod les variables explicatives 3 l.jpg
Modèles à variables explicatives (3)

Hyp. : les v.a.r. sont indépendantes

Modèle

  • Choix de la loi des , dépendant de (i,j)

  • LogNormale :

  • Famille exponentielle (GLM) :

    Binomiale, Poisson (surdispersé), Normale, Gamma, ……


Mod les variables explicatives 4 l.jpg
Modèles à variables explicatives (4)

  • un lien entre loi et variables explicatives

    Formes standards :

    Additive

    Multiplicative ou

    Modèle LogNormale :


Mod les variables explicatives 5 l.jpg
Modèles à variables explicatives (5)

  • La loi des peut dépendre d’un autre paramètre

  • Loi dedonc le paramètre

    est fonctiondu paramètre

    exemple :


Mod les variables explicatives 6 l.jpg
Modèles à variables explicatives (6)

Etape 1: Estimation

La méthode du maximum de vraisemblance, appliquée aux données du triangle supérieur, fournit les

estimateurs m.v. de

et de tout paramètre fonction de

Exemple : emv de

« best » est. de


Exemple 4 l.jpg
Exemple (4)

Emv ; Valeurs (Z) prévues


Exemple 5 l.jpg
Exemple (5)

Val.(X) prévues :

Prov.

=

2462


Mod les variables explicatives 7 l.jpg
Modèles à variables explicatives (7)

  • Problème du biais

    estimateur biaisé (positivement) de

    asymptotiquement sans biais

    Verrall, 1991 Doray, 1996


Exemple 6 l.jpg
Exemple (6)

Résidus (Z) = Obs – Val. prévues


R gression lognormale 1 l.jpg
Régression LogNormale (1)

Etape 2 : Diagnostic du modèle

  • Détection des cellules « atypiques »

  • Contrôle des hypothèses

    (indépendance,Normalité,homoscédasticité)

    par analyse des résidus


Exemple 7 l.jpg
Exemple (7)

Cellules « atypiques »




R gression lognormale 2 l.jpg
Régression LogNormale (2)

Détection des observations influentes sur

(i) valeurs prévues (DFFITS)

forte pour (1,2) ; très forte pour (3,2)

(ii) estimation des param. (DFBETAS)

forte pour (1,2) et (3,2)

(iii) précision d’estimation (COVRATIO)

précision par la présence des obs autres que (1,2) et (3,2)


R gression lognormale 3 l.jpg
Régression LogNormale (3)

Etape 3 : Risque d’estimation

Calcul direct de et IdC pour difficiles

Techniques alternatives :

  • Méthode Delta (asymptotique)

    2. Méthode bootstrap


R gression lognormale 4 l.jpg
Régression LogNormale (4)

  • Méthode Delta

    Emv

    Matrice Var-Cov


Exemple 10 l.jpg
Exemple (10)

Mat. Var-Cov estimée


R gression lognormale 5 l.jpg
Régression LogNormale (5)

E(R) fonction de , par

Théorème :

où gradient de g

D’où loi (asympt.) de , , IdC pour E(R)


R gression lognormale 6 l.jpg
Régression LogNormale (6)

  • Méthode Bootstrap

    Par rééchantillonnage B fois du triangle des résidus

    (B=1000 ; 2000 ;…..)

    B réplications bootstrap de l’estimateur de

    Variance empirique, Vboot , estime

    IdC pour E(R), Est. de la loi de , etc


Perspectives r d l.jpg
Perspectives R & D

+ loi

  • Modèles à quasi-vraisemblance

  • Joint modelling

  • Régression non paramétrique (lissage), GAM

  • Modèles bayesiens (Bornhuetter-Ferguson)

    Mack T. (2000) Astin Bull. Vol.30,333-348

  • Increments <0


R f rences 1 l.jpg
Références (1)

  • Christofides S. (1990) : "Regression models based on Log incremental payments". Claims Reserving Manual Vol. 2, Institute of Actuaries

  • Derrig R.A., Ostazewski K.M., Rempala G.A.(2000) : "Applications of resampling methods in actuarial practice" Cas.Act.Soc.

  • Doray L.G. (1996) : "UMVUE of the IBNR reserve in a Log normal linear regression model" Ins. : Math & Econ. Vol. 18, 43-57

  • England P.D., Verrall R. J. (1999) : "Analytic and bootstrap estimates of prediction error in claims reserving" Ins. : Math. & Econ. Vol. 25, 281-293

  • England P.D., Verrall R. J. (2001) : "A flexible framework for stochastic claims reserving" Cas. Act. Soc.

  • England P.D., Verrall R. J. (2002) : "Stochastic claims reserving in General Insurance" Institute of Actuaries.

  • Hastie T.J.,Tibshirani R.J. (1990) : "Generalized additive models". Chapman § Hall


R f rences 2 l.jpg
Références (2)

  • Jal P. (2002) : "Obtention d’intervalles de confiance en réassurance IARD par la méthode du bootstrap". Soumis au Bull. Franç. d’Actuariat.

  • Kaas R., Goovaerts M., Dhaene J., Denuit M. (2001) : "Modern Actuarial Risk Theory" Kluwer Acad. Press

  • Kremer E. (1982) : "IBNR claims and the two way model of Anova" Scand. Act. J., 47-55

  • Laboureau M., Brochard J. (1998) : "Estimation du risque lié au calcul des réserves" Mémoire ENSAE/IAF

  • Mack T. (1993) : "Distribution free calculation of the standard error of Chain ladder reserve estimates" Astin Bull. Vol. 23, 213-225

  • Mack T. (1994) : "Which stochastic model is underlying the chain ladder model" Ins. : Math. & Econ. Vol. 15, 133-138

  • Mack T., Venter G. (2000) : "A comparison of stochastic models that reproduce chain ladder reserve estimates" Ins. : Math. & Econ. Vol. 26, 101-107


R f rences 3 l.jpg
Références (3)

  • Mc Cullagh P., Nelder J. (1989) : "Generalized Linear Models"2e ed. Chapman &Hall

  • Nelder J., Wedderburn R. W. (1972) : "Generalized Linear Models" J. Royal Stat. Soc. Vol. 135, 370-384

  • Pinheiro P., Andrade e Silva J., Centeno M. (2001) : "Bootstrap methodology in claim reserving" Astin Colloq.,Washington

  • Raymond Marc (2001) : “Le calcul des provisions pour sinistres à payer-Approches stochastiques” Mémoire CEA/IAF.

  • Renshaw A. E., Verrall R. J. (1994) : "A stochastic model underlying the chain ladder technique" Proceedings of XXV Astin Colloq., Cannes

  • Renshaw A. E., Verrall R. J. (1998) : "A stochastic model underlying the chain ladder technique" British Act. J. Vol. 4, 903-923

  • Schmidt K. D., Schrans A. (1996) : "An extension of Mack's model for the chain ladder method" Astin Bull. Vol. 26, 247-262

  • Shao J., Tu D. (1995) : "The Jackknife and bootstrap" Springer


R f rences 4 l.jpg
Références (4)

  • Séminaire ISFA-ISUP (1995) : "Evaluation des provisions techniques en assurance non vie" ISFA, Université Claude Bernard Lyon 1

  • Swiss Re (2000) : "Late claims in reinsurance"

  • Taylor G. (2000) : "Loss reserving : an actuarial perspective" Kluwer Acad. Press

  • Verrall R. J. (1991) : "On the estimation of reserves from Log linear models" Ins. : Math. & Econ. Vol. 10, 75-80

  • Verrall R. J. (2000) : " An investigation into stochastic claims reserving models and the chain ladder techniques" Ins. : Math. & Econ. Vol. 26, 91-99

  • Verrall R. J., England P.D., (2000) :"Comments on : a comparison of stochastic models that reproduce chain ladder reserve estimates, by Mack and Venter" Ins. : Math. & Econ. Vol. 26, 109-111

  • Mémoires de l’Institut des Actuaires sur le provisionnement non vie


Slide52 l.jpg

Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002

Evaluation de la provision pour sinistres

Mesures d’incertitude

Bootstrap

C. PARTRAT – P. JAL



Slide54 l.jpg

Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002

Triangle des paiements non cumulés


Slide55 l.jpg

Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002

Triangle des paiements cumulés


Slide56 l.jpg

Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002

Triangle des paiements cumulés


Slide57 l.jpg

Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002

Déroulement du triangle


Slide58 l.jpg

Provisions

0

94 634

469 511

709 638

984 889

1 419 459

2 177 641

3 920 301

4 278 972

4 625 811

TOTAL:

18 680 856

Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002

Calcul des provisions


Slide59 l.jpg

Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002

Modèle stochastique de Poisson

(Chain ladder stochastique 2)


Slide60 l.jpg

Paramètre

Estimation

Std Err

Intercept

12.506

0.173

A1

0.000

0.000

A2

0.331

0.154

A3

0.321

0.158

Modèle GLM

A4

0.306

0.161

A5

0.219

0.168

A6

0.270

0.171

A7

0.372

0.175

A8

0.553

0.187

A9

0.369

0.240

A10

0.242

0.429

B1

0.000

0.000

B2

0.913

0.149

B3

0.959

0.153

B4

1.026

0.157

B5

0.435

0.164

B6

0.080

0.215

B7

-0.006

0.230

B8

-0.394

0.311

B9

0.009

0.321

B10

-1.380

0.889

Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002

Modèle stochastique de Poisson

SAS


Slide61 l.jpg

Résultats EXACTEMENT identiques à ceux de Chain Ladder

Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002

Modèle stochastique de Poisson


Slide62 l.jpg

Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002

Bootstrap et provisionnement


Slide63 l.jpg

Données: triangle des paiements cumulés

Développement de la méthode à partir de Chain ladder

Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002

Bootstrap et provisionnement

Hypothèse: modèle Poissonnien pour la distribution des paiements

Or résultats du modèle de Poisson = résultats de Chain Ladder


Slide64 l.jpg

calcul des coefficients de développement

Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002

Bootstrap et provisionnement

1ère étape: Chain Ladder « classique »


Slide65 l.jpg

Travail sur les résidus (non standardisés) de Pearson:

X1,0177

Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002

Bootstrap et provisionnement

1ère étape: calculer les valeurs prédites par le modèle pour la partie supérieure du triangle


Slide66 l.jpg

Travail sur les résidus (non standardisés) de Pearson:

X1,0766

Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002

Bootstrap et provisionnement

1ère étape: calculer les valeurs prédites par le modèle pour la partie supérieure du triangle


Slide67 l.jpg

Travail sur les résidus (non standardisés) de Pearson:

Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002

Bootstrap et provisionnement

1ère étape: calculer les valeurs prédites par le modèle pour la partie supérieure du triangle


Slide68 l.jpg

Travail sur les résidus (non standardisés) de Pearson:

Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002

Bootstrap et provisionnement

1ère étape: calculer les valeurs prédites par le modèle pour la partie supérieure du triangle


Slide69 l.jpg

Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002

Bootstrap et provisionnement

2ème étape: en déduire les paiements annuels prédits par le modèle


Slide70 l.jpg

Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002

Bootstrap et provisionnement

3ème étape: calculer le triangle des résidus de Pearson non standardisés


Slide71 l.jpg

On obtient ainsi 10000 triangles de résidus par tirage

uniforme des résidus initiaux

Ex:

Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002

Bootstrap et provisionnement

4ème étape: appliquer le Bootstrap au triangle des résidus de Pearson


Slide72 l.jpg

Connaissant le triangle des

et celui des

on en déduit celui

des paiements annuels.

Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002

Bootstrap et provisionnement

5ème étape: reconstituer pour chaque triangle de résidus le triangle des

paiements


Slide73 l.jpg

Calcul des paiements cumulés:

Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002

Bootstrap et provisionnement

6ème étape: on reprend la méthode Chain Ladder avec chaque triangle

ainsi obtenu


Slide74 l.jpg

Calcul des facteurs de développement:

Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002

Bootstrap et provisionnement

6ème étape: on reprend la méthode Chain Ladder avec chaque triangle

ainsi obtenu


Slide75 l.jpg

Déroulement du triangle:

Provision

15 582 812

Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002

Bootstrap et provisionnement

6ème étape: on reprend la méthode Chain Ladder avec chaque triangle

ainsi obtenu


Slide76 l.jpg

Distribution empirique de l’estimation de la provision

Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002

Bootstrap et provisionnement

En faisant ceci pour chaque triangle bootstrapé, on obtient un

10000-échantillon de réalisations de notre variable « provision »


Slide77 l.jpg

Distribution empirique de prédiction de la provision

Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002

Bootstrap et provisionnement

En ajoutant une simple série de simulations supplémentaires: