GRAVITACIÓN

1. GRAVITACIÓN Johannes Kepler 1571 – 1630 Nicolás Copérnico 1473 – 1543 Claudio Tolomeo Siglo II a.C. Isaac Newton 1643 -1727

2. 1. MODELOS DEL UNIVERSO INTRODUCCIÓN Las primeras teorías sobre el origen y funcionamiento del Universo aparecen en la antigua Grecia. Los filósofos y astrónomos griegos emiten las primeras teorías racionales sobre la forma de la Tierra y su posición en el Universo. Así la idea de una Tierra esférica se debe a Filolao de Tarento (siglo V a.C.), era el único modelo capaz de explicar la desaparición gradual del casco y vela de los barcos tras el horizonte y el que la sombra que la Tierra proyecta sobre la Luna en los eclipses sea circular.

3. 1.1 MODELO GEOCENTRICO • En el siglo IV a.C. Platón elaboró una teoría del Universo basada en los siguientes axiomas: • La Tierra esférica. Ocupa el centro del Universo • Los cuerpos celestes son de carácter divino y se mueven en torno a la Tierra con movimientos circulares uniformes Esta teoría es conocida el nombre de Teoría Geocéntrica del Universo. Esta teoría no explicaba las observaciones de los rizos que los planetas describían en el cielo. Para explicar estos rizos, Eudoxo de Cnido amplía el modelo de Platón, introduciendo la teoría de las esferas. Según esta teoría, cada astro gira en torno a la Tierra llevado por una o mas esferas transparentes concéntricas con la Tierra.

4. Para las estrellas fijas le bastaba una esfera, para el Sol y la Luna eran necesarias 3 esferas y para los movimientos mas complejos de los planetas eran necesarias 4 esferas para cada planeta. Así Eudoxo explicó todo el Universo conocido entonces con 27 esferas.

5. Aristóteles, siglo IV a.C., acepta los axiomas de Platón y añade que el Cosmos está dividido en dos partes, el mundo sublunar y el mundo supralunar. El mundo sublunar comprende todo lo que se encuentra bajo la órbita de la Luna, o sea el mundo terrestre de los cambios y de los movimientos de todo tipo. El mundo supralunar es de armonía perfecta y los planetas son esferas que giran, contenidos en esferas transparentes, con movimiento rectilíneo y uniforme.

6. El modelo de Aristóteles se encontró con dos dificultades importantes. • Los cuerpos celestes no salen, ni se ponen, siempre en el mismo punto del horizonte. • El cambio de brillo de los planetas no era explicable si la distancia de estos a la Tierra era constante. • En el siglo II a.C., Hiparco de Nicea, estudió el movimiento del Sol, y observó que este no tiene siempre la misma velocidad. Propuso un modelo en el cual el Sol se mueve en un círculo, epiciclo; el centro del epiciclo a su vez se mueve en torno a la Tierra, describiendo otro círculo llamado deferente.

7. En el siglo II de nuestra era, Claudio Ptolomeo continuó el trabajo de Hiparco, pero necesitó postular la existencia de 40 circulos encajados unos dentro de otros y girando al mismo tiempo. Este sistema reproducía los movimientos observados de los planetas con bastante exactitud, pero las curvas que estos describían eran complejas y además no fue capaz de dar una explicación física de ellos. El modelo de Ptolomeo fue aceptado durante más de mil años.

8. 1.2 MODELO HELIOCÉNTRICO El primer modelo heliocéntrico conocido se debe a Aristarco de Samos, siglo III a.C., sugirió que podría resultar un esquema simple del Universo si se colocase al Sol en el centro de este, y si la Tierra, la Luna y los cinco planetas conocidos hasta entonces girasen a su alrededor en orbitas circulares con distintas velocidades. Esta representación heliocéntrica permite explicar por qué los planetas poseen diferente brillo a lo largo del año, pues su distancia a la Tierra también es variable. Este modelo no llegó a tener éxito dado el enorme prestigió alcanzado por Aristóteles defensor del modelo geocéntrico.

9. Copérnico, a principios del siglos XVI , elaboró un modelo del Universo colocando al Sol en su centro y a los planetas, incluida la Tierra, describiendo movimientos circulares uniformes en orbitas epiciclos y deferentes manteniendo lo postulado por Tolomeo. Postuló el movimiento de rotación de la Tierra y la inclinación del eje de giro. Pasó mas de un siglo hasta que el modelo heliocéntrico tuviese una aceptación total por parte de los científicos.

10. En la aceptación definitiva del modelo heliocéntrico desempeñó un papel importante Tycho Brahe (1546-1601), determinó con bastante precisión las posiciones de los planetas, antes de la invención del telescopio. Este astrónomo, sin embargo, seguía siendo un gran defensor de la teoría geocéntrica. El descubrimiento del telescopio por Galileo Galilei, en 1609 confirmó la teoría y marcó las pautas para las modificaciones introducidas posteriormente por Kepler. http://www.cervantesvirtual.com/historia/th/teorias_cientificas.shtml http://www.natureduca.com/cosmos_teorias2.php http://www.slideshare.net/conynetgromis/teoria-geocentrica-y-heliocentrica

11. 2.- FUERZAS CENTRALES 2.1 MOMENTO ANGULAR DE UNA PARTÍCULA EN MOVIMIENTO 2.1.1 Momento de una fuerza respecto a un punto Al abrir o cerrar una puerta, hacemos una fuerza sobre ella y lo normal es que la hagamos a la altura de la manilla pues la experiencia nos dice que no es lo mismo a esta altura que en un punto mas próximo al eje de giro. También la experiencia nos dice cual es la dirección para que la acción de la fuerza se mas eficaz, solemos empujar en dirección perpendicular al plano de la puerta. Este efecto de giro se estudia en física por una magnitud que llamamos momento de una fuerza.

12. Se define el momento de una fuerza, MO, respecto a un punto O, como el producto vectorial del vector posición que une el punto O con el punto de aplicación de la fuerza, r, por el vector fuerza, F, MO = r λ F Se trata de una magnitud vectorial perpendicular a los vectores r y F, cuyo sentido viene dado por la regla del producto vectorial (sacacorchos)

13. Teniendo en cuenta que cada vector lo podemos expresar por medio de componentes r = x . i + y . j + z . k F = Fx . i + Fy . j + Fz . K i j k MO = r λ F = x y z = Fx Fy Fz (y . Fz – z . Fy) . i - (x . Fz – z . Fx ) . j + (x . Fy – y . Fx) . K Y el modulo del momento de la fuerza será: MO = r . F . sen α La unidad del momento en el S.I. será m . N, que no debe confundirse con la unidad de trabajo, el julio, (también es N . m). El trabajo es una magnitud escalar mientras que el momento es una magnitud vectorial.

14. 2.1.2 Momento lineal y momento angular El curso pasado se definió, al estudiar los movimientos de translación, una magnitud física que llamamos momento lineal o cantidad de movimiento, p, capaz de medir la capacidad de los cuerpos, en movimiento rectilíneo, de ejercer fuerzas sobre otros que se encuentren en su camino. Es una magnitud vectorial que se define como el producto de la masa del cuerpo, m, por su velocidad, v. P = m . v Tendrá por dirección la del vector v y por sentido el mismo de v. Su modulo será: p = m . v p1 p2

15. En movimientos de rotación el papel del momento lineal lo ejerce una nueva magnitud, llamada momento angular o cinético. El momento angular de una partícula, L, de masa m, que describe un movimiento de rotación alrededor de un punto, O, se define como el momento de su momento lineal, p, o cantidad de movimiento respecto a dicho punto O. L = r λ P = r λ (m.v) Es un vector perpendicular al plano formado por r y p. Su modulo será: L = m . r . v . sen α Será positivo si el movimiento es de sentido contrario a las agujas del reloj y negativo en caso contrario p

16. 2.1.3 Variación del momento angular con el tiempo Supón una partícula de masa m sobre la que actúa una fuerza F. Debido a esta fuerza la partícula describe un movimiento de rotación alrededor de un punto O El momento angular de la partícula respecto a O es: L = r λ p La variación del momento angular con el tiempo, es: dL ‗ d (r λ p) ‗ drλ p + r λdp dt dt dt dt En esta expresión el termino drλ p ‗ 0pues su modulo es cero dt ya que dr/dt = v y v y p son vectores paralelos v λ p = v . p . sen 0 = 0 F

17. luego dL ‗ d (r λ p) ‗ r λdp dt dt dt Pero además tenemos que: dp ‗ d(m.v) ‗ m . dv + v . dm dt dt dt dt En donde v . dm/dt = 0 pues la masa no varía con el tiempo (dm/dt = 0) y dv/dt = a luego tenemos que dp ‗ m .a = F dt Por tanto dl ‗ r λ F = M0 dt La variación que experimenta el momento angular al transcurrir el tiempo coincide con el momento, respecto a un punto O, de la fuerza aplicada

18. 2.1.4Teorema deconservación del momento angular Si el momento de las fuerzas que actúa sobre una partícula es nulo, entonces la expresión: dL ‗ r λ F =M0 = 0 → L = cte dt Si el momento angular de una partícula permanece constante, el momento de la fuerza aplicada sobre la partícula es nulo. Esto sucede bien cuando r = 0, bien cuando F = 0 o también cuando r λ F = 0. Para que se de esta ultima circunstancia r y F tienen que tener la misma dirección, entonces r λ F = r . F sen 0º = 0 Las fuerzas que cumplen esta ultima condición reciben el nombre de fuerzas centrales

19. 3. LEYES DE KEPLER • Basándose en las observaciones realizadas por Ticho Brahe y en las suyas propias, Kepler formuló las tres leyes que llevan su nombre y que sirven para justificar el modelo heliocéntrico del Universo. • Primera ley de Kepler • Los planetas describen orbitas elípticas alrededor del Sol, estando este situado en uno de los focos de la elipse

20. Segunda ley de Kepler • Los radio vectores que unen los planetas con el Sol barren áreas iguales en tiempos iguales. La relación que existe entre el área barrida por el radio vector y el tiempo que tarda en recorrerla se denomina velocidad areolar. A/t = vareolar Ley de las áreas: si el tiempo que tarda el planeta en ir de P1 a P2 es el mismo que el que tarda en ir de P'1 a P'2, las áreas A1 y A2 son iguales. Como el radio vector es variable, es mínimo en el perihelio y máximo en el afelio, la velocidad del planeta en la órbita tiene que ser variable, máxima en el perihelio y mínima en el afelio.

21. Tercera ley de Kepler • El cuadrado del período de la órbita de cualquier planeta es proporcional al cubo del semieje mayor de la orbita elíptica. • Si T es el período de la órbita, y si a es el semieje mayor de la elipse, entonces la expresión matemática de la 3ª ley de Kepler es: • T2/a3 = K Período. Es el tiempo que tarda un planeta en recorre su órbita

22. K se conoce como constante de Kepler. Su valor es el mismo para el movimiento de cualquier planeta alrededor del Sol, y puede calcularse conociendo el T de un planeta; por ejemplo para el movimiento de la Tierra alrededor del Sol es cierto que, T = 365,25 días = 1año y a = 149. 106 Km, que se conoce como unidad astronómica (U.A). De modo que reemplazando en la Tercera ley de Kepler: K = T2/a3 = (1 año)2/(1 U.A.)3 = 1 año2/U.A.3 A partir de esta ley, conocidos el semieje mayor de la órbita terrestre y el periodo de rotación alrededor del Sol, y además el periodo de rotación de otro planeta, podemos calcular el semieje mayor de este planeta respecto al Sol http://recursostic.educacion.es/newton/web/materiales_didacticos/campo_gravitatorio/index.htm

23. 4. LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL En su teoría de la gravitación universalIsaac Newton (1642-1727) explicó las leyes de Kepler y, por tanto, los movimientos celestes, a partir de la existencia de una fuerza, la fuerza de la gravedad, que actuando a distancia produce una atracción entre masas. Esta fuerza de gravedad es la misma fuerza que en la superficie de la Tierra denominamos peso. Newton demostró que la fuerza de la gravedad tiene la dirección de la recta que une los centros de los astros y el sentido corresponde a una atracción. Es una fuerza directamente proporcional al producto de las masas que interactúan e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. La constante de proporcionalidad, G, se denomina constante de gravitación universal. 4.1 Constante G

24. Expresión vectorial de la ley de gravitación universal. El signo menos indica que el sentido de la fuerza es contrario al del vector unitario ur, como puede verse en la figura. 4.1 Constante G Newton no pudo medir la constante de gravitación universal, G, al no disponer de instrumentos que lo hiciesen posible. Su valor lo calculó en 1798 Cavendish.

25. Para ello utilizó una balanza de torsión en la que la barra horizontal que separaba las masas pequeñas medía 1,80 m de longitud. Dicha barra estaba suspendida en su punto medio de un hilo metálico muy fino que llevaba adherido un espejo, en el que se reflejaba un rayo de luz, que posteriormente incidía sobre una escala graduada. En los extremos de la varilla colocó dos masas de 739 g cada una y aproximo a cada extremo masas de plomo de 159 kg., esto hizo, según la ley vista que, el sistema formado por la varilla y la dos masas pequeñas girase, al ser atraídas por las masas de plomo.

26. Ese giro producía una torsión en el hilo metálico que hacía girar el espejo. Entonces, el rayo de luz se desviaba e incidía sobre otro punto de la escala graduada, lo que permitía calcular el ángulo de giro, con él, calculó el momento de la fuerza que mueve el péndulo y en consecuencia la fuerza de torsión aplicada sobre el hilo metálico, que es la debida a la interacción gravitatoria entre las masas. De este modo despejando G de la ecuación de gravitación G = F. r2 /M . m se obtuvo el valor G = 6,67 . 10-11 N.m2/kg2 La ecuación de dimensiones de G es: [G] = [F.r2/m2] = M . L . T-2 . L2 / M2 = M-1 . L3 . T-2 G representa la fuerza con que se atraen dos masa de un kg al situarlas a un m de distancia. El valor tan pequeño de G explica porque la fuerza de la gravedad solo es apreciable cuando alguno de los cuerpos implicados tiene gran masa.

27. 4.2 Periodo de revolución de un planeta • Se define como el tiempo que tarda un planeta en completar su orbita alrededor del Sol. • El cálculo del periodo de revolución de los planetas puede hacerse de dos formas: • Utilizando la tercera le de Kepler: T2 = K . a3 • Siempre que conozcamos además del radio de su orbita, el periodo de revolución de otro planeta y su radio (se suponen siempre orbitas circulares con el módulo de la velocidad constante). T2 / r3 = T12 / r13 • 2. Considerando que la fuerza que produce el movimiento (fuerza gravitatoria) es una fuerza central y por tanto está dirigida hacia el centro, se trata pues de una fuerza centrípeta, pudiéndose establecer la igualdad: FG = FC

28. G . MS . mP ‗ mP . v2 r2 r Simplificando y despejando v tenemos: v = (G . MS / r)1/2 Y como T = 2πr / v Sustituyendo v nos queda: T = 2πr / (G . MS / r)1/2 4.3 Interacción de un conjunto de masas puntuales. Principio de superposición La interacción gravitacional entre dos cuerpos se manifiesta como una pareja de fuerzas iguales en modulo y dirección, perocon sentido contrario, cada una de ellas actuando sobre un cuerpo distinto. (Principio de ac.y re.) u1 u2 1 2

29. Así podemos poner, teniendo en cuenta la figura que: F1 = - F2 o que F1 = F2 Pero ¿que sucederá si son varios los cuerpos que interaccionan entre sí? Supongamos tres masas puntuales m1, m2 y m3, la fuerza gravitatoria conjunta que ejercen las dos primeras sobre la tercera es igual a la suma vectorial de la fuerza que ejercería la primera sobre la tercera si la segunda no estuviera presente más la que induciría la segunda sobre la tercera si no existiera la primera masa.

30. Es decir: Sería posible escribir ecuaciones similares para cualquier otra combinación de las fuerzas y las masas que intervengan. Principio de Superposición de fuerzas : la fuerza que ejerce un cuerpo sobre otro es independiente de la que ejercen los demás. 5. CONCEPTO DE "CAMPO“ Surge el concepto de la necesidad de explicar la forma de interacción entre cuerpos en ausencia de contacto físico. La acción a distancia se explica entonces, mediante efectos provocados por la magnitud causante de la interacción, sobre el espacio mismo que la rodea, permitiendo asignar a dicho espacio propiedades medibles

31. Diremos que en una región del espacio existe un campo si en cada punto de dicha región se puede, en cualquier instante, asignar un valor a una magnitud física. Ejemplos de campos son: a) el gravitatorio de fuerzas, creado por una masa capaz de provocar perturbaciones sobre otras masas que están en una determinada región del espacio. Es siempre de atracción. b) El eléctrico de fuerzas, creadopor una carga eléctrica cuando actúa sobre otras cargas situadas en una determinada región del espacio. Puede ser de atracción o de repulsión. Para definir un campo se utilizan magnitudes que adquieren un valor concreto en cada punto del espacio y del tiempo. Dependiendo de cómo sea la magnitud que define la perturbación tenemos:

32. 5.1 Campos escalares Se llaman así a los campos cuando la magnitud física que mide la perturbación es escalar. Por ejemplo un campo de temperaturas o de presiones Campo escalar de temperatura en una habitación En la figura se muestran líneas o contornos de temperatura constante, (isotermas); por ejemplo la temperatura es T1 en todos los puntos del contorno T1, sombreado en color azul.

33. 5.2 Campos vectoriales Son los campos en los que se determinan magnitudes físicas vectoriales. Es el caso de los campos de fuerzas, velocidades, aceleraciones, etc. Campo vectorial representante de las velocidades de un fluido Un campo vectorial se define mediante líneas de campo, que son líneas tangentes en cada punto a la magnitud vectorial que define el campo. Veremos sus representaciones al ir estudiando los diferentes campos.

34. 5.3. Campos conservativos Un campo de fuerzas es conservativo si el trabajo que realizan las fuerzas del campo para trasladar una partícula de un punto A a uno B depende del punto inicial y final y no del camino seguido. B B WA(I) = ∫A F . dr A A WB(II) = ∫BF . dr B A WA= WB→ Campo conservativo Puede también definirse diciendo que el trabajo realizado por las fuerzas del campo para trasladar una partícula a lo largo de una línea cerrada es cero ∫c F . dr = 0

35. 5.4 Fuerza conservativa Un fuerza es conservativa cuando el trabajo de dicha fuerza es igual a la diferencia entre los valores inicial y final de una función que solo depende de las coordenadas. A dicha función se le denomina energía potencial. Ejemplo: El peso es una fuerza conservativa Calculemos el trabajo de la fuerza peso F=-mgj cuando el cuerpo se desplaza desde la posición A cuya ordenada es yA hasta la posición B cuya ordenada es yB. h j

36. B B B W = ∫ F . dr = ∫ -mgj . (dxi + dyj) = ∫ - mgdy = (mgyA-mgyb) A A A = mg (yA – yB) = mgh Esta expresión de la energía potencial es válida para alturas pequeñas respecto al suelo, pues puede considerarse la gravedad constante sin apenas cometer error. 6.- ENERGÍA POTENCIAL EN UN PUNTO Como el valor de g no es constante dentro de un campo gravitatorio (mas adelante lo veremos), la energía potencial en cada punto de un campo va a tener diferentes valores. Para calcularla utilizamos el concepto de fuerzas conservativas, donde el trabajo realizado para llevar una masa de un punto a otro del campo es la diferencia entre los valores inicial y final de la energía potencial.

37. Vamos a calcular el W para llevar una masa m desde un punto A a otro B dentro del campo gravitatorio que como sabemos es un campo central conservativo. dr F Sabemos que W = - ΔEp = EpA-EpB entonces: EpA-EpB =-G.M.m.(1/rA -1/rB). Es la variación de la Ep que ha sufrido el cuerpo cuando ha pasado del punto A al B 2

38. Para obtener la Ep relativa a un punto del campo hay que fijar un sistema de referencia que asigne 0 al valor de la Ep. Se elige el ∞. Si llevo B al infinito rB = ∞ → 1/rB = 0 Sustituyendo en la expresión anterior tendremos: EpA – 0 = - GMm/rA - 0 Obtenemos la expresión de la energía potencial en un punto: EpA = - GMm/rA Todas las fuerzas centrales son conservativas. Por tanto, cada una de ellas admite la definición de una energía potencial. Los sistemas tienden siempre a estados en los que la energía potencial es menor. Los procesos espontáneos se producen, por tanto, con una disminución de la energía potencial.

39. Cuando se trata de campos gravitatorios creados por mas de una masa, m1, m2, m3, … mn. La energía potencial en un punto A de masa m’ cumple el principio de superposición, es decir que la energía potencial total es la suma de las energías potenciales debidas a cada masa: i=n EpA = Epm1 + Epm2 + Epm3 + … Epn = ΣEpi i=1 6.1 Energía mecánica: Conservación La energía mecánica de un cuerpo que se mueve dentro de un campo gravitatorio es la suma de sus energías cinética y potencial: Em = Ec + Ep La variación de energía mecánica entre dos puntos A y B, será entonces: ΔEm = ΔEc + ΔEp Acabamos de ver que: WAB = - ΔEp = EpA - EpB

40. Por otra parte si calculamos el trabajo que una fuerza, F realiza sobre el cuerpo para desplazarlo desde A a B, siguiendo una determinada trayectoria C. FT FR Desarrollando la definición y aplicando la segunda ley de Newton: Sustituyendo el valor del módulo de la aceleración tangencial

41. finalmente queda: Teniendo en cuenta que la expresión que aparece en el segundo miembro de la ecuación anterior es la energía cinética: El trabajo que realiza una fuerza sobre una partícula es igual a la energía cinética transferida a la misma: Teorema de las fuerzas vivas

42. El teorema de las fuerzas vivas o teorema de la energía cinética, es valido para todo tipo de movimiento y para todo tipo de fuerzas , es por tanto mas universal que el de la energía potencial que solo es valido para fuerzas conservativas. Resumiendo si: WAB = - ΔEp y también WAB = ΔEC podemos igualar ambas expresiones: - ΔEp = ΔEC Es decir: EPA – EpB = ½ mv2B – ½ mv2A Otambién: EPA + ½ mv2A = EpB + ½ mv2B Es el principio de conservación de la energía mecánica

43. 7. INTENSIDAD DE CAMPO GRAVITATORIO EN UN PUNTO En el campo gravitatorio hemos estudiado hasta ahora la magnitud fuerza, esta magnitud como hemos visto no solo depende de la masa que crea el campo sino también de la masa que introducimos en el, es decir la fuerza no es una magnitud exclusiva del campo. La intensidad de campo es una magnitud vectorial que es propia de cada campo gravitatorio. Intensidad de campo gravitatorio en un punto del espacio, g, es la fuerza gravitacional que actúa por unidad de masa colocada en él: g = Fg / m Donde m es la masa colocada en el punto La unidad de intensidad de campo en el S.I. es el N/kg y si hacemos la ecuación de dimensiones de g: [g] = M.L.T-2/M = L.T-2 coincide con la de una aceleración, g se llama también aceleración de la gravedad

44. Para determinar el campo gravitatorio creado por una masa puntual M situamos una masa de prueba m en un punto P del espacio a una distancia r de la masa M. Calculamos la F/ m g = F/m = (-G.M.m/r²).ur /m g = (-G.M/r²).ur • Podemos decir que el campo gravitatorio tiene las siguientes propiedades: • Es un campo central y disminuye con el cuadrado de la distancia. m • El signo negativo es porque g y ur tienen sentidos contrarios. Las fuerzas gravitatorias siempre son atractivas

45. Si el campo está creado por un sistema de masas puntuales, para calcular la intensidad de campo utilizamos el conocido principio de superposición. El campo gravitacional que crea un sistema de n masas puntuales en un punto es la suma vectorial de los campos producidos por cada una de las masas en dicho punto. i=n g = g1 +g2 + … = Σgi i=1 8.- POTENCIAL GRAVITATORIO La energía potencial, igual que sucede con la fuerza, no es una magnitud exclusiva del campo pues depende de la masa que se introduce en el. Por eso a partir de la energía potencial se define la segunda magnitud característica del campo, que es escalar. El potencial gravitatorio.

46. El potencial gravitatorio en un punto A se define como la energía potencial por unidad de masa colocada en dicho punto. VA = EpA/m = -G.M/rA Se identifica con el trabajo que es preciso realizar contra las fuerzas del campo, para trasladar una masa de 1 kg desde A hasta el infinito. En un punto B sería VB = -G.M/rB y por tanto VA – VB = -G.M.(1/rA - 1/rB) Estudiando como varía el potencial en un punto con la distancia, es decir, calculando dV/ dr obtenemos dV/dr = d(-GM/r) /dr = -GM /r2 expresión que coincide con el módulo de la intensidad gravitatoria , g, cambiado de signo, luego podemos poner que: g = - dV /dr

47. 8.1 Representación del campo gravitatorio El campo gravitatorio puede representarse mediante superficies equipotenciales que son el conjunto de puntos del campo que están al mismo potencial. El trabajo realizado para trasladar una masa cualquiera m entre dos puntos A y B de una superficie equipotencial será nulo. WAB = -ΔEp = EpA - EpB = = m.(VA - VB) = m.0 = 0 g corta a la superficie equipotencial perpendicularmente en cada punto.

48. Si el campo está creado por varias masas, m1, m2, m3, …mn El potencial en un punto A del campo será la suma escalar de los potenciales creados por cada masa sobre dicho punto. (Principio de superposición) i=n VA = Vm1 + Vm2 + Vm3 + ... + Vmn = Σvi i=1 9.-APLICACIONES AL ESTUDIO DEL CAMPO GRAVITATORIO TERRESTRE 9.1-Intensidad de campo gravitatorio terrestre Si la masa creadora del campo es la Tierra la intensidad de campo será: g = - GMT/ r2 . ur r = RT + h siendo h la distancia a la que se encuentra el punto de la superficie terrestre.

49. En el caso particular en que r = RT, es decir, cuando el punto se encuentra sobre la superficie terrestre entonces: • g0 = - GMT/RT2. ur = • = - 6,674 . 10-11 N.m2.kg-2 . 5,974 . 1024 kg / (6,371 . 106 m)2 . ur = = - 9,8 . ur m . s-2 . Luego g0 = 9,8 m . s-2 • Este valor de g0 es un valor medio, pues la gravedad superficial varía localmente con la latitud y la altura. • 9.2 Variación de “g” con la latitud y la profundidad • El campo gravitatorio aumenta con lalatitud debido principalmente a que el achatamiento de la Tierra en los polos hace que la distancia r se reduzca a medida que la latitud aumenta. Es decir, que estando en el ecuador la fuerza de gravedad es menor que en otras latitudes, y a medida que nos vayamos desplazando al sur o al norte, la fuerza de gravedad se va incrementando. En los polos, la gravedad será máxima (aunque con poca diferencia).

50. Los valores de g en el ecuador y en los polos son respectivamente: La fuerza de gravedad es máxima en la superficie terrestre. Ya vimos que la gravedad es menor a medida que nos alejamos de la Tierra. Sin embargo, también disminuye al adentrarse en el interior de la Tierra, si imaginamos la Tierra como una cebolla de capas de materia, a medida que penetramos en su interior vamos dejando capas detrás nuestro.Las capas que quedan por debajo de nuestra posición se comportan como siempre, atrayéndonos hacia el centro como si se tratara de una nueva Tierra pero más pequeña. ¿Qué ocurre con la masa que vamos dejando atrás?.tenemos una cantidad de masa que queda cerca de nosotros y una cantidad mucho mayor de masa que queda mucho más alejada de nosotros.