第 5 章 频域分析法
第 5 章 频域分析法. 5.1 频率特性 5.2 典型环节的频率特性 5.3 系统开环频率特性图的绘制 5.4 稳定判据 5.5 开环频率特性与时域指标的关系 习题. 5.1 频率特性. 5.1.1 频率特性的概念
第 5 章 频域分析法
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第5章 频域分析法 • 5.1 频率特性 • 5.2 典型环节的频率特性 • 5.3 系统开环频率特性图的绘制 • 5.4 稳定判据 • 5.5 开环频率特性与时域指标的关系 • 习题
5.1 频率特性 • 5.1.1 频率特性的概念 • 频率特性又称频率响应， 它是系统（或元件）对不同频率正弦输入信号的响应特性。 设线性系统G(s)的输入为一正弦信号r(t)=Arsinωt， 在稳态时， 系统的输出具有和输入同频率的正弦函数， 但其振幅和相位一般均不同于输入量， 且随着输入信号频率的变化而变化， 即cs(t)=Acsin(ωt+φ)， 如图5-1所示。
用R(jω)和C(jω)分别表示输入信号Arsinωt和输出信号cs(t)=Acsin(ωt+φ)， 则输出稳态分量与输入正弦信号的复数比称为该系统的频率特性函数， 简称频率特性， 记作 (5-1)
其中， 输出与输入的振幅比随ω的变化关系称为幅频特性函数A(ω)， 是G(jω)的模, (5-2) 输出与输入的相位差随ω的变化关系称为相频特性 函数φ(ω)， 是G(jω)的幅角, φ(ω)=argG(jω)=∠G(jω) (5-3)
幅频特性描述了系统在稳态下响应不同频率正弦输入信号时幅值衰减或放大的特性； 相频特性描述了系统在稳态下响应不同频率正弦输入信号时在相位上产生滞后或超前的特性。 因此， 如果已知系统（环节）的微分方程或传递函数， 令s=jω便可得到相应的幅频特性和相频特性， 并依此作出频率特性曲线。
对频率特性的几点说明： • （1） 频率特性不仅仅针对系统而言， 其概念对控制元件、 控制装置也都适用。 • （2） 由于系统（环节）动态过程中的稳态分量总是可以分离出来， 而且其规律性并不依赖于系统的稳定性， 因此可以将频率特性的概念推广到不稳定系统（环节）。
（3） 虽然频率特性G(jω)是在系统（环节）稳态下求得的， 却与系统（环节）动态特性G(ω)的形式一致， 包含了系统（环节）的全部动态结构和参数。 • （４） 根据频率特性的定义可知， 这种数学模型即使在不知道系统内部结构和机理的情况下， 也可以按照频率特性的物理意义通过实验来确定， 这正是引入频率特性这一数学模型的主要原因之一。
例5.１在如图5-2所示的RC电路中， 设输入电压为ui(t)=A sin(ωt), 求频率特性函数G(jω)。 • 解由复阻抗的概念求得 (5-4) 如上所述， G(jω)可以改写为 G(jω)=|G(jω)|ejφ(ω) (5-5)
5.1.2频率特性的图示方法 • 频率特性的图形表示是描述系统的输入频率ω从0到∞变化时频率响应的幅值、 相位与频率之间关系的一组曲线。 虽然系统的频率特性函数有严格的数学定义， 但它最大的优点是可以用图示方法简明、 清晰地表示出来， 这正是该方法深受广大工程技术人员欢迎的原因所在。
1. 极坐标频率特性图（奈奎斯特图） • 极坐标频率特性图又称奈奎斯特图（Nyquist）或幅相频率特性图。 极坐标频率特性图是当ω从0到∞变化时， 以ω为参变量， 在极坐标图上绘出G(jω)的模|G(jω)|和幅角∠G(jω) 随ω变化的曲线， 即当ω从0到∞变化时， 向量G(jω)的矢端轨迹。 G(jω)曲线上每一点所对应的向量都表与某一输入频率ω相对应的系统（或环节）的频率响应， 其中向量的模反映系统（或环节）的幅频特性， 向量的相角反映系统（或环节）的相频特性。
频率特性函数可以表示成 • G(jω)=R(ω)+jI(ω)代数式 • =|G(jω)|∠G(jω) 极坐标式 • =A(jω)ejφ(ω)指数式 如果将极坐标系与直角坐标系重合， 那么极坐标系下的向量在直角坐标系下的实轴和虚轴上的投影分别为实频特性R(ω)和虚频特性I(ω)。
例5.2 绘制例5.1中ＲC电路的极坐标频率特性图， 其中R=1 kΩ， C=500 μF。 • 解该电路的频率特性为 其中， T=RC=0.5。 则 （5-6） ∠G(jω)=-arctanTω=-arctan0.5ω （5-７） 在不同ω下求出的|G(jω)|及∠G(jω)如表5-１所示。
2.对数坐标频率特性图（伯德图） • 对数坐标频率特性图又称伯德（Bode）图， 由对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线组成。 通常将二者画在一张图上， 统称为对数坐标频率特性。 与极坐标图不同， 在伯德图中以ω为横轴坐标。 但ω的变化范围极广（0→∞）， 如果采用普通坐标分度的话， 很难展示出其如此之宽的频率范围。 因此， 在伯德图中横轴采用对数分度。
1) 对数幅频特性的坐标系 • 对数幅频特性的坐标系如图5-４所示。 • (1) 横轴： μ=lgω。 • ① ω轴为对数分度， 即采用相等的距离代表相等的频率倍增， 在伯德图中横坐标按μ=lgω均匀分度。 ω和lgω的关系如表5-２所示。
② 对lgω而言为线性分度。 如表5-２所示。 • ③ ω=0在对数分度的坐标系中的负无穷远处。 • ④ 从表5-2中可以看出， ω的数值每变化10倍， 在对数坐标上lgω相应变化一个单位。 频率变化10倍的一段对数刻度称为“十倍频程”， 用“dec”表示。 即对μ而言： • Δμ=lg10ω-lgω=1
(2) 纵轴： L=20 lgA(ω), 单位为分贝, 记作dB。 • 2) 对数相频特性的坐标系 • 对数相频特性的坐标系如图5-5所示。 • (1) 横轴： ω轴对数分度， 即μ=lgω。 • (2) 纵轴： φ(ω)线性分度。
例5.3绘制例5.1中RC电路的对数坐标频率特性图 • （T＝1s）。 • 解RC电路的频率特性为 所以有
5.2 典型环节的频率特性 • 5.2.1 比例（放大）环节 • 比例环节的传递函数为G(s)=K， 故其频率特性函数为 • G(jω)=K=Ke j 0° （5-８）
1.极坐标频率特性（幅相频率特性） • A(ω)=K, φ(ω)=0° （5-９） • 可见， 比例环节的幅频特性和相频特性都是与ω无关的常量。 在极坐标频率特性图（Nyquist图）中其频率特性曲线为正实轴上坐标为(K, j0)的一个点， 如图5-７(a)所示。
2. 对数坐标频率特性（Bode图） • L(ω)=20 lgK, φ(ω)=0° （5-１０） • 可见， 比例环节的对数幅频特性L(ω)和对数相频特性φ(ω)也都是与ω无关的水平直线。L(ω)是一条纵坐标为20 lgK的、 平行于横轴的直线, φ(ω)是一条与0°线重合的直线， 如图5-７(ｂ)所示。
图 5-7 比例环节的幅相频率特性和对数坐标频率特性 (a) 幅相频率特性； (b) 对数坐标频率特性
5.2.2 积分环节 • 积分环节的传递函数为G(s)=1/s， 故其频率特性函数为 （5-11） 1.极坐标频率特性（幅相频率特性） （5-12）
图 5-8 积分环节的幅相频率特性和对数坐标频率特性 (a) 幅相频率特性； (b) 对数坐标频率特性
2. 对数坐标频率特性（Bode图） （5-13） 可见， 微分环节的幅频特性与频率ω相等, 相频特性恒为90°， 所以在极坐标频率特性图（Nyquist图）中其频率特性曲线为沿虚轴的上半轴由原点指向无穷远点的直线， 如图5-９(a)所示。
5.2.3 微分环节 • 微分环节的传递函数为G(s)=s， 故其频率特性函数为 • G(jω)=jω=ωej90° （5-1４） • 1.极坐标频率特性（幅相频率特性） • A(ω)=ω, φ(ω)=90° （5-15） • 可见， 微分环节的幅频特性与频率ω相等, 相频特性恒为90°
2. 对数坐标频率特性（Bode图） • L(ω)=20 lgA(ω)=20 lgω=20μ, • φ(ω)=90° （5-1６） • 可见， 微分环节的对数幅频特性L(ω)是μ（即lgω）的一次线性函数， 其直线斜率为20 dB/dec， 直线在ω=1时与横轴相交, φ(ω)是一条纵坐标为90°的平行于横轴的直线， 如图5-９(ｂ)所示。
图 5-9 微分环节的幅相频率特性和对数坐标频率特性 (a) 幅相频率特性； (b) 对数坐标频率特性
5.2.4 惯性环节 • 惯性环节的传递函数为 故其频率特性函数为
（5-18） • 1.极坐标频率特性（幅相频率特性） ［R(ω)-0.5］2+［I(ω)］2=0.52
2. 对数坐标频率特性（Bode图） （5-19） 由此可以绘出惯性环节的Bode图， 但在工程上常用简便的 渐近线来代替实际的曲线， 如图5-1０(b)所示。
图 5-10 惯性环节的幅相频特性和对数坐标频率特性 (a) 幅相频率特性； (b) 对数坐标频率特性
1) 低频渐近线 • 当Tω<<1， 即ω<<1/T时， 在L(ω)中可忽略Tω， 则 • L(ω)=-20 lg1=0 dB • 说明在低频段， 惯性环节幅频特性曲线近似与横轴重合。
2) 高频渐近线 • 当Tω>>1， 即ω>>1/T时， 在L(ω)中可忽略1， 则 （5-2０） 令μ=lgω， μc=lg(1/T)， 则 L(ω)=-20(μ-μc) （5-21）
3) 转折频率 • 低频渐近线与高频渐近线的交点在ωc=1/T处， 因为当ωc=1/T时， -20 lgTω=-20 lg1=0。 故称ωc=1/T为惯性环节的转折频率。 而转折频率处的实际对数幅频为
5.2.5 一阶微分环节 • 一阶微分环节的传递函数为G(s)=Ts+1， 故其频率特性函数为 （5-22） 1.极坐标频率特性（幅相频率特性） （5-23）
可见， 当ω由0→∞时， 惯性环节的幅频特性A(ω)从1→∞, 相频特性φ(ω)由0°→90°。 因此， 一阶微分环节的极坐标频率特性曲线是一条平行于虚轴的射线， 其顶点在（1， j0）, 如图5-11(a)所示。
图 5-11 一阶微分环节的幅相频率特性和对数坐标频率特性 (a) 幅相频率特性； (b) 对数坐标频率特性
2. 对数坐标频率特性（Bode图） （5-24）
5.2.6 振荡环节 • 振荡环节的传递函数为 （5-25）
其中,T为振荡环节的时间常数, ωn=1/T为振荡环节的无阻尼自然振荡频率, ζ为振荡环节的阻尼比。 其频率特性函数为 （5-26）