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Algorithmic Game Theory, Chapter 2 The Complexity of Finding Nash Equilibria

2010/10/22, 今井研究室 輪読 冬学期. Algorithmic Game Theory, Chapter 2 The Complexity of Finding Nash Equilibria. 秋葉 拓哉 (B4). 内容 (1/2). Introduction 計算量を考える意味 ，組合せ的側面 Is the Nash Equilibrium Problem NP-Complete? NP 完全ではないこと The Lemke- Howson Algorithm ★ ナッシュ均衡を求めるアルゴリズム The Class PPAD

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Algorithmic Game Theory, Chapter 2 The Complexity of Finding Nash Equilibria

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Presentation Transcript

  1. 2010/10/22, 今井研究室 輪読 冬学期 Algorithmic Game Theory, Chapter 2The Complexity of FindingNash Equilibria 秋葉 拓哉 (B4)

  2. 内容 (1/2) • Introduction • 計算量を考える意味，組合せ的側面 • Is the Nash Equilibrium Problem NP-Complete? • NP 完全ではないこと • The Lemke-HowsonAlgorithm★ • ナッシュ均衡を求めるアルゴリズム • The Class PPAD • 問題 Nash が属する計算量クラス

  3. 内容 (2/2) • Succinct Representations of Games • ゲームを入力とする際の入力長に関する考察 • The Reduction • PPAD 完全，問題 Brower から Nash への帰着 • Correlated Equilibria★ • 第三者による recommendation と均衡 ★ が付いているものは他に比べて多く話す項目

  4. 計算量を考える意味，組合せ的側面 2.1 Introduction

  5. 計算量を考える意味 全ての有限ゲームは mixed Nash equibriumを持つ では，それは簡単に計算できるのか？ （先週 LP で解けたのは two-player zero-sum game のみ） • 経済との関連 • “If your laptop cannot find it, neither can the market” (Kamal Jain) • 効率的に計算できない ≒ あまり自然な帰結ではないかもしれない

  6. Best responses & Supports 例 • 用語 • pure strategy: 1 つの決定的な戦略 • mixed strategy: 確率分布に従って戦略を決定する • (pure strategy ⊂ mixed strategy) • best response: payoff の期待値が最良となる strategy(相手の strategy は given) • support: ある mixed strategy で確率が正となっている pure strategy 相手の戦略 相手の mixed strategy が (0, 1/3, 2/3) 自分の best response も (0, 1/3, 2/3) Support は strategy 2, 3 の 2 つ 自分 の 戦略 数字は payoff

  7. 組合せ的問題であること (1/2) 以降，問題 Nash について考えてゆく． Best response と support に関わる定理 略証 背理法による．best response でない strategy が含まれていたら，それを取り除いた方がより良くなるので矛盾． 定義 Nash (問題) ゲームが strategic form で与えられた時，ナッシュ均衡を1 つ求めよ． 定理 2.1 ある mixed strategy が best response ⇔ その strategy の support が全て best response これは pure strategy

  8. 組合せ的問題であること (2/2) support が得られれば，連立方程式が立つ • 特に 2-player の場合は 線形 組合せ的であると言える ナッシュ均衡を探すこと ≒ 正しい support を探すこと

  9. NP 完全ではないこと 2.2 Is the Nash Equilibrium Problem NP-Complete?

  10. 問題 Nash は NP 完全ではない • 問題 Nash は，全てのゲームはナッシュ均衡を持つという点で特殊 • Nash が NP 完全であることを仮定すると，NP=coNPとなってしまう（証明略） • よって，Nash は NP 完全ではないと考えられる

  11. Brower’s fixpoint theorem • ナッシュ均衡の存在証明はこの定理への帰着 • Brower’s fixpointを探すことは，やはり難しい問題として知られている • 実はさらに，Brower’s fixpointを探すことを Nash へ帰着できる！（後述） Brower’s fixpoint theorem 任意の連続関数 f : Un→ Un(Un : n次元単位球) は不動点を持つ （不動点：f(x) = x なる点）

  12. ナッシュ均衡を求めるアルゴリズム 2.3 The Lemke-Howson Algorithm

  13. Lemke-Howson Algorithm • 2-player game のNash 均衡を求める最良の組合せ的アルゴリズムの 1 つ • support の組合せ的構造を用いる • simplex pivoting を繰り返す

  14. Symmetric Game への帰着 (1/2) • 用語 • symmetric game: 行列 A, B で表される bimatrix game で A = BT • （つまり，相手と自分は全くおなじ状況） • symmetric Nash equilibrium: 2 人がおなじ mixed strategy での Nash equilibrium 定義 Symmetric Nash (問題) Symmetric game が与えられたとき，symmetric Nash equilibrium を 1 つ求めよ

  15. Symmetric Game への帰着 (2/2) 略証 行列 A, B で表される2-player game について， で表される symmetric game を考え，その symmetric Nash equilibrium を (x, y) とおく．（A の行数を mとしたとき，xは最初の m要素とする） このとき，xは yへのbest response，yは xへのbest response． 定理 2.4 Nash から Symmetric Nash へのpolynomial reduction が存在 よって，以下では Symmetric Nash を考える

  16. 凸多面体 (1/3) n × n 行列 Aで表現される symmetric2-player game • WLOG. Aの要素はすべて非負，全て 0 の行なし 以下の凸多面体 Pを考える 性質: 空でない ，有界 以下，非退化 (nondegenerate) を仮定 Az≦ 1，z≧ 0 (2n個の不等式)

  17. 凸多面体 (2/3) Az≦ 1，z≧ 0 • 用語 • represented: 以下の1 つ以上が満たされるとき，戦略 iは represented • zi= 0 • Aiz = 1 • representedtwice: 両方が満たされている時

  18. 凸多面体 (3/3) Az≦ 1，z≧ 0 頂点 z (≠ 0) において全ての戦略が represented のとき， なる xは symmetric Nash equilibrium である． 略証Aiz= 1 の戦略 i は best strategy，全ての support は best strategy （和が 1 になるように正規化） よって，全ての戦略が represented となる (0 以外の) 頂点を探したい！

  19. Pivoting(1/5) • degenerate の仮定より，各頂点はn個の隣接点を持つ • 隣接点への移動は，以下と同じ • 1 つのtight な不等式を relaxし (tight ではなくし)， • 別のある 1 つのtight でない 不等式を tight にする • 戦略 1 以外の全ての戦略が representedとなっている頂点集合 Vを考える • 0 は全ての戦略が represented，0 ∈ Vのため空でない • Vの中でのパス <v0, v1, v2, …> を考える

  20. Pivoting (2/5) アルゴリズムLemke-Howson • 初期化 • 頂点 0からスタート，v0 = 0 • v0 から，第 1 要素のみ非ゼロの隣接頂点 v1 に移動 • ここでは，戦略 1 以外の戦略は全て represented • よって，v1∈ V （次スライドへ続く）

  21. Pivoting (3/5) アルゴリズムLemke-Howson (前スライドの続き) • i = 1, 2, … で繰り返す • 全ての戦略が represented ⇒ 完了！ • そうでないなら，ある戦略 j (j > 1)が represented twiceのはず • n個の tight な不等式，n-1個の represented な戦略，鳩の巣原理 • vij = 0 かつ Ajvi = 1 • jに関する 2 つの不等式の片方を relax して vi+1とする • 2 つの可能性のうち片方は vi-1なので，そうでない方を選ぶ

  22. Pivoting (4/5) 例 • 頂点に書いてあるのは represented な戦略の集合 • 肩に 2 と書いてあるものは represented twice 細かいこと この図の例では，戦略 1 の代わりに戦略 2 がrepresented でないことを許している．

  23. Pivoting (5/5) Lemke-Howsonが終了すること： • ループは有り得ない • V の点で Vに含まれる隣接点は 2 つ以下 • 0 にも戻らない • 0 の Vに含まれる隣接点は 1 つ これは，two-player, nondegenerate game に mixed Nash equilibrium が存在することの証明でもある 残念ながら，Lemke-Howsonは効率的とは言えない • 頂点の個数が指数的に増加 有り得ない状況

  24. 問題 Nash が属する計算量クラス 2.4 The Class PPAD

  25. クラス PPAD • Lemke-Howsonはpath のようなグラフの上を辿る • 各頂点，入次数・出次数 1 以下 • 1 つのsource が既知 (standard source) • 頂点数が指数的に増加 • 別の source あるいは sink が解 • （他にも条件…） • 同様の状況となる問題が知られている • Approximate Brouwerfixpoint • Ham Sandwitch • n次元上の 2n個の点が与えられ，半分に分割する超平面を求める • これらの問題の計算量クラスを PPADと呼ぶ • Polynomial Parity Arguments on Directed graphs

  26. クラス PPAD-Complete • PPAD-Complete となる問題が存在する • 全ての PPAD の問題を帰着可能 • Brower, Nash は PPAD-Complete • Section 2.6 で示されること

  27. ゲームを入力とする際の入力長に関する考察 2.5 Succinct Representations of Games

  28. 問題 Nash の入力長 問題 Nash ではゲームが入力だが，ゲームの記述の長さはどうなるのか？ 全ての組み合わせに関する payoff を与える方法 • 2-player の場合 • 戦略の個数が mと n なら，2mn個の数 • n-player の場合 • 戦略の個数が s なら，nsn個の数 （とても大きい！） • 自明なアルゴリズムが nに関して多項式になる… • 全ての support の組み合わせを試せばよい，(2s)n通り 大きい人数の問題を考える際，これは好ましくない

  29. Succinctly Representableなゲーム 入力としてより簡潔に表現できるゲーム • Graphical Games • プレーヤの関係のグラフが存在 • 隣接するプレーヤの戦略のみが自分の payoff に影響 • その他 • Sparse Games:nsn個の paoyffの一部だけが非ゼロ • Symmetric Games: プレーヤは全て同じ • Anonymous Games: 他のプレーヤは全て同じ • それ以外にもいっぱいあります 以降は Succinctly Representableなゲームを扱う

  30. PPAD 完全，問題 Brower から Nash への帰着 2.6 The Reduction

  31. 証明されること • 問題 Brower が PPAD-Complete であることは既知 • Brower は Brower’s fixpointを探す問題を離散化した物 • 問題 Brower を問題 Nash に帰着する • Nash が PPAD-Complete であると分かる • ここで Brower は unit cube 上とする

  32. 概要 Brower のインスタンスから Graphical Game を作る • 全てのプレーヤは 0, 1 の 2 つの戦略 のみ • mixed strategy は [0, 1] の 1 つの実数で表せる • 3 人のプレーヤが cube 上の座標を表す • 残りのプレーヤが Brower の関数をシミュレートし，不動点でないと均衡が起こらないようにする 証明の詳細は省略

  33. 第三者による recommendation と均衡 2.7 Correlated Equilibria

  34. ゲーム Chicken (1/3) 下の行列で表される symmetric game （交差点で，止まるか・進むか） 相手 止まる 進む 止まる 自分 進む

  35. ゲーム Chicken (2/3) Nash equilibrium における戦略の確率分布：3 通り 確率分布が下のようになるのは自然 • 半分の確率でどちらかが進む しかし，これは Nash equibriumでは得られない

  36. ゲーム Chicken (3/3) この確率分布を得るためには，第三者が必要 • 交差点の例では，信号のようなもの 第三者が各プレーヤの戦略を recommendationとして指定することを考える

  37. Correlated Equilibrium (1/3) • 用語 • self-enforcing: 他のプレーヤが従うならば自分も従うのが最良であるような recommendation (の分布)の状況 定義correlated equilibrium recommendation の確率分布であって，全プレーヤについて self-enforcing なもの • 各プレーヤが受け取るのは自分についての recommendation のみ • 全体への recommendation ではない • 各プレーヤは全体への recommendation の分布は知っている • 期待値的に self-enforcing であればよい

  38. Correlated Equilibrium (2/3) 式で表現（この式を以降 CEと呼ぶ） プレーヤ iが戦略 jをrecommend された状況での条件 • S-i : プレーヤ iを除いた全プレーヤの戦略の組合せ • sj, sj’ : プレーヤ i 以外の戦略を s, プレーヤ i の戦略を j, j’ • us: payoff • ps: recommendation の確率分布

  39. Correlated Equilibrium (3/3) ゲーム Chicken での CE の例 CE 不等式は psに関して線形なので， Correlated Nash equilibrium は LP で求まる！

  40. Correlated vs Nash 普通の mixed Nash equilibrium は，Correlated equilibrium の特殊なケース • Nash equilibrium ⊂ Correlated equilibrium • Mixed Nash equilibrium: 計算困難 • Correlated equilibrium: 多項式時間で計算可能 （3 人以上の場合はその限りではない） 定理 2.5nondegenerate 2-player game において Nash equilibriaは CE 不等式で作られる多面体の頂点

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