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多 媒 体 辅 助 教 学 课 件

多 媒 体 辅 助 教 学 课 件. 等差数列与等比数列. 目的. 公式. 例题. 小结. 等差数列 a n -a n-1 =d( 常数 ) a n =a 1 +(n-1)d a,A,b 等差 , 则 A=. 等比数列 a n /a n-1 =q( 常数 ) a n =a 1 q n-1 a,G,b 等比 , 则 G 2 =ab S n =. 等差数列与等比数列基本公式. na 1 (q=1). S n =. m+n=k+l, 则 a m +a n =a k +a l ; {n k } 等差 , 则. {ka n +b} 等差 ;

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Presentation Transcript

  1. 多 媒 体 辅 助 教 学 课 件 等差数列与等比数列 目的 公式 例题 小结

  2. 等差数列 an-an-1=d(常数) an=a1+(n-1)d a,A,b等差,则A= 等比数列 an/an-1=q(常数) an=a1qn-1 a,G,b等比,则G2=ab Sn= 等差数列与等比数列基本公式 na1 (q=1) Sn=

  3. m+n=k+l,则am+an=ak+al; {nk}等差,则 {kan+b}等差; {k1an+k2bn}等差; a1+a2+...+an,an+1+an+2+...+a2n,a2n+1+a2n+2+......+a3n,........等差. {an}等差Sn=cn2+bn (c≠0) . 等差数列{an},{bn}的性质: 等差;

  4. m+n=k+l (m,n,k,l∈N),则aman=akal; {nk}等差,则 {kan}等比; {k1ank2bn}等比; a1+a2+...+an,an+1+an+2+...+a2n,a2n+1+a2n+2+......+a3n,........等比.公比qn; {an}等比Sn=c(qn-1) (c≠0) {an}等比且an>0,则{lgan}等差; 等比数列{an},{bn}的性质: 等比;

  5. 例1:四个数,前三个成等比数列,它们的和是19;后三个成例1:四个数,前三个成等比数列,它们的和是19;后三个成 等差数列,和是12,求此四个数. 解法1: 如图:a1,a2,a3,a4 a1+a2+a3=19 (a2)2=a1a3 a2+ a3+ a4 =12 2a3=a2+a4 等比 (a2)2=a1a3 等差2a3=a2+a4 已知: a2+ a3+ a4 =12 已知: a1+a2+a3=19 a1=25 a2=-10 a3=4 a4 =18 a1=9 a2=6 a3=4 a4 =2 或

  6. 例1:四个数,前三个成等比数列,它们的和是19;后三个成例1:四个数,前三个成等比数列,它们的和是19;后三个成 等差数列,和是12,求此四个数. 解法2: 如图:a1,a2,a3,a4 等差 a-d,a,a+d 已知和为12 =>a-d+a+a+d=12 或 => 等比a1, a-d,a 四数为: 9,6,4,2或 25,-10,4,18. 已知三数和为19=> 19

  7. 归 纳 为了便于解方程，应该充分分析条件的 特征,尽量减少未知数的个数, 用最少的未知 数表达出数列的有关项的数量关系，促使复 杂的问题转化为较简单的问题，获得最佳的 解决方法。 练习1

  8. 练习1 1. 已知等比数列{an}中,an>0, 且a2a4+2a3a5+a4a6=25,则a3+a5= ( ) (A)5 (B)10 (C)15 (D) 20 A 2.数列{an}是等差数列,且S10=100, S100=10,则S110= ( ) (A)90 (B)-90 (C)110 (D)-110 D 3.ABC的三内角成等差数列,三边成等比 数列,则三内角的公差为 ( ) (A)0 (B)150 (C) 300 (D) 450 A

  9. 1. 已知等比数列{an}中,an>0, 且a2a4+2a3a5+a4a6=25,则a3+a5= 提示: a2a4=(a3)2 a4a6=(a5)2 (an>0) 原式=(a3+a5)2=25=> a3+a5=5

  10. 2.数列{an}是等差数列,且S10=100, S100=10,则S110= ( ) (A)90 (B)-90 (C)110 (D)-110 S10,S20-S10,S30-S20,........,S110-S100成等差数列,公差100d. 解: ∴ (S20-S10)-S10=100d) S110-S100=S10+(11-1)100d =>10d=-11/5 ∴S110-S100=S10+(11-1)100d=100+100(-11/5)=-120 S110=-120+S100=-110

  11. 3.ABC的三内角成等差数列,三边成等比 数列,则三内角的公差为( ) 解: ∵ A+B+C=1800 2B=A+C,b2=ac ∴ B=600, A+C=1200 由正弦定理得:(sin600)2=sinAsinC 故 A=B=C, 公差 d=0.

  12. 例2:已知数列{an}为等差数列,公差d≠0,{an}的部分项组成下列数列:恰好为等比数列,其中k1=1,k2=5,k3=17,求k1+k2+.....+kn例2:已知数列{an}为等差数列,公差d≠0,{an}的部分项组成下列数列:恰好为等比数列,其中k1=1,k2=5,k3=17,求k1+k2+.....+kn 根据数列{an}是等差数列,通项可写作: 分析: an=a1+(n-1)d,可表示出:a1,,a5=a1+4d,a17=a1+16d, 再根据a1,a5,a17成等比数列,又可得:(a5)2=a1a17, 于是可解出d=(1/2)a1.将解出的d代入a1,a5,a17, 即得出新数列的公比:q=3 再由 ∴可解出kn,进而求出

  13. 例2:已知数列{an}为等差数列,公差d≠0,{an}的部分项组成下列数列:恰好为等比数列,其中k1≠0,k2=5,k3=17,求k1+k2+.....+kn例2:已知数列{an}为等差数列,公差d≠0,{an}的部分项组成下列数列:恰好为等比数列,其中k1≠0,k2=5,k3=17,求k1+k2+.....+kn 解: {an}为等比数列,设其首项为a1,则an=a1+(n-1)d 故(a1+4d)2=a1(a1+16d) (a1)2 +8a1d+16d2=(a1)2 +16a1d

  14. 例2:已知数列{an}为等差数列,公差d≠0,{an}的部分项组成下列数列:恰好为等比数列,其中k1≠0,k2=5,k3=17,求k1+k2+.....+kn例2:已知数列{an}为等差数列,公差d≠0,{an}的部分项组成下列数列:恰好为等比数列,其中k1≠0,k2=5,k3=17,求k1+k2+.....+kn 故 又q=3,d=(1/2)a1

  15. 归 纳 1.本题是一个综合型的等差、等比数列问题，在解题过程中，分清那一步是用等差数列条件，那一步是用等比数列条件是正确解题的前提。 2。仔细观察，找到两个数列序号间的联系，是使问题得解的关键。 练习2

  16. 练习2 1:1:1或4:1:(-2) 1.如果a,b,c成等差数列,而 a.c.b三数成等比数列,则a:b:c=________________ 2.若数列1,2cosθ,22cos2θ,23cos3θ,…..,前100项之和为0,则θ的值为 ________ 2kπ±(2π/3)(k∈Z)

  17. 1.如果a,b,c成等差数列,而 a.c.b三数成等比数列,则a:b:c=________________ 2b= a+c a,b,c等差 解: b= (a+c)/2 ① c2=ab a.c.b等比 ② c2=a(a+c)/2 代 ①入②,得: 解得: a=c或 a= -2c 1:1:1或4:1:(-2)

  18. 2.若数列1,2cosθ,22cos2θ,23cos3θ,…..,前100项之和为0,则θ的值为 ________ 解: 经观察知,该数列是等比数列, 首项为1,公比为2cosθ, 它的前100项和: Cosθ= - 1/2 Θ=2kπ±(2π/3),k∈Z.

  19. 例3.已知数列{an}中,a1≠a2,若存在常数p,使得对任意自然数n均有Sn=pnan成立.(1)求p (2)证明{an}成等差数列 因为条件中有a1≠a2,又可推测知: 分析:本题已知Sn,需求p及an,所以必 须根据公式 求出 a1,an. 本题需同时求a1,,a2,才可利用a1≠a2排除增根. 故第一问的解答从计算a 1,a2开始:

  20. 例3.已知数列{an}中,a1≠a2,若存在常数p,使得对任意自然数n均有Sn=pnan成立.(1)求p (2)证明{an}成等差数列 解: （1）令n=1，s1=pa1， 因为S1=a1，故a1=pa1，a1=0或p=1 若p=1，则由n=2时，S2=2a2，即a2+a2=2a2 故p≠1 所以a1=a2，这与a1≠a2矛盾 所以a1=0，则由n=2，得a2=2pa2 因为a1≠0，∴a2≠0，p=1/2

  21. 例3.已知数列{an}中,a1≠a2,若存在常数p,使得对任意自然数n均有Sn=pnan成立.(1)求p (2)证明{an}成等差数列 (2)根据已求得的p=1/2 Sn=(1/2)nan, 由等差数列定义,满足an-an-1=d(常数) 的数列是等差数列 所以第一步求通项,第二步“作差”. 证明: n≥2时,an=Sn-Sn-1=(1/2)nan-(1/2)(n-1)an-1 解得: (2-n)an=(1-n)an-1

  22. 例3.已知数列{an}中,a1≠a2,若存在常数p,使得对任意自然数n均有Sn=pnan成立.(1)求p (2)证明{an}成等差数列 ∴a2-a1=a2 由(1)可得a1=0 练习3

  23. 练习3 11 1. 数列 则 是该数列的第________项. 2.数列{an}对任意自然数n都满 足 且a3=2,a7=4,则a15=_______ 16

  24. 教学目的 1。系统掌握等差、等比数列定义与性质，灵活应用等差、等比数列的定义与性质。 2。通过对问题的讨论，提高分析解决问题的能力。

  25. 小 结 对等差等比综合问题 1。要正确分清题目究竟是等差还是等比，不能混淆。 2。掌握设元的技巧； 3。要掌握分析数列问题的基本思想方法：抓两头，凑中间。

  26. 习题分析: 6.三数成等比数列,若将第三数减去32,则成等差数列,若再将等差数列的第二个数减去4,又成等比数列,原来三个是:____________________.

  27. 习题分析: 7.数列{an}各项均为正数,前n项和为An,数列{bn}的前n项和为Bn,且满足Bn=-n(n-1),bn=log2an,求An.

  28. 习题分析: 8.已知等差数列{an}的首项a1=1,前n项和为145,求a2+a4+a8+…..+

  29. 习题分析: 9.设Sn是等差数列{an}的前n项和,已知(1/3)S3与(1/4)S4的等比中项为(1/5)S5,而(1/3)S3与(1/4)S5的等差中项为1,求等差数列{an}的通项.

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