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第 6 章 正弦稳电路分析

第 6 章 正弦稳电路分析. 6.1 正 弦 交流电 的 基 本 概 念. 6.2 正弦交流电的相量表示法. 6.3 电路定律的相量形式. 6.4 阻 抗 与 导 纳. 6.5 正 弦 稳 态 电路的分 析. 6.6 正 弦 稳 态 电路 的 功 率. 6.7 正弦稳态最 大 功 率 传 输. 学 习 目 标. 正确理解正弦量的概念，牢记正弦量的三要素。 正确区分瞬时值、最大值、有效值和平均值。 深刻理解正弦量的相量表示法。

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第 6 章 正弦稳电路分析

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  1. 第 6 章 正弦稳电路分析 6.1 正 弦 交流电 的 基 本 概 念 6.2 正弦交流电的相量表示法 6.3 电路定律的相量形式 6.4 阻 抗 与 导 纳 6.5 正 弦 稳 态 电路的分析 6.6 正 弦 稳 态 电路 的 功 率 6.7 正弦稳态最 大 功 率 传 输

  2. 学 习 目 标 • 正确理解正弦量的概念，牢记正弦量的三要素。 • 正确区分瞬时值、最大值、有效值和平均值。 • 深刻理解正弦量的相量表示法。 • 深刻理解和掌握交流电路中电阻、电容、电感 元件上的电压、电流之间的相位关系，并能进行相关的计算。 • 正确区分瞬时功率、平均功率、有功功率、无功功率和视在功率，并会进行计算。

  3. 重点： 1. 正弦量的表示、相位差 2. 正弦量的相量表示 3. 电路定理的相量形式 4. 阻抗和导纳 5. 正弦稳态电路的分析 6. 正弦稳态电路的功率分析

  4. 6.1 正弦交流电的基本概念 6.1.1 正弦量的三要素 若电压、电流是时间 t 的正弦函数，称为正弦交流电。 以电流为例，正弦量的一般解析式为： 波形如图6-1所示 图6-1 正弦量的波形

  5. 图中Im 叫正弦量的最大值，也叫振幅；角度 叫正弦量的相位，当t=0时的相位 叫初相位，简称初相； ω叫正弦量的角频率。 因为正弦量每经历一个周期的时间T，相位增加2π，则角频率ω、周期T和频率ƒ之间关系为： ω、T、ƒ反映的都是正弦量变化的快慢，ω越大，即ƒ越大或T越小，正弦量变化越快；ω越小，即ƒ越小或T越大，正弦量变化越慢。 把振幅、角频率和初相称为正弦量的三要素。 只有确定了三要素，正弦量才是确定的 。

  6. 用正弦函数表示正弦波形时，把波形图上原点前后正负T/2内曲线由负变正经过零值的那一点作为正弦波的起点。初相角就是波形起点到坐标原点的角度，于是初相角不大于 ，且波形起点在原点左侧 ；反之 。 如图6-2 所示，初相分别为0、 由图可见，初相为正值的正弦量，在t=0时的值为正，起点在坐标原点之左；初相为负值后正弦量，在t=0时的值为负，起点在坐标原点之右。

  7. 图 6-2

  8. 6.1.3、同频率正弦量的相位差 设有两个同频率的正弦量为 叫做它们的相位差。正弦量的相位是随时间变化的，但同频率的正弦量的相位差不变，等于它们的初相之差。 初相相等的两个正弦量，它们的相位差为零，这样的两个正弦量叫做同相。同相的正弦量同时达到零值，同时达到最大值，步调一致。两个正弦量的初相不等，相位差就不为零，不同时达到最大值，步调不一致，

  9. 如果 ，则表示i1超前i2 ;如果 ，则表示i1滞后i2 ，如果 ，则两个正弦量正交；如果 ，则两个正弦量反相。 同频率正弦量的相位差，不随时间变化，与计时起点的选择无关。为了分析问题的方便，在一些有关的同频率正弦量中，可以选择其中的一个初相为零的正弦量为参考，其他正弦量的初相必须与这个参考正弦量的初相比较，即以其他正弦量的初相等于它们和参考正弦量之间的相位差。在n个正弦量中，只能选择一个为参考正弦量。 如图6-3（a）、（b）、（c）、（d）分别表示两个正弦量同相、超前、正交、反相。

  10. 图 6 -3 i1与i2同相、超前、正较、反相

  11. 6.1.2正弦电流、电压的有效值 1、有效值 周期量的有效值定义为：一个周期量和一个直流量，分别作用于同一电阻，如果经过一个周期的时间产生相等的热量，则这个周期量的有效值等于这个直流量的大小。电流、电压有效值用大写字母I、U表示。 根据有效值的定义，则有 则周期电流的有效值为

  12. 2、正弦量的有效值 对于正弦电流，设 同理

  13. Im b A |A|  a o Re 6.2 正 弦 交流电 的 相 量 表 示 法 6.2.1 复数 1. 复数的表示形式 代数式 指数式 三角函数式 极坐标式

  14. Im b A |A|  a Re o 几种表示法的关系： 或 2. 复数运算 • 加减运算 ——采用代数式

  15. Im A1+A2 A1+A2 A2 Im A2 A1-A2 -A2 A1 A1 Re o Re o 若A1=a1+jb1， A2=a2+jb2 则A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2) 图解法

  16. 若A1=|A1|  1 ，A2=|A2|  2 • 乘除运算 ——采用极坐标式 则: 模相乘 角相加 模相除 角相减

  17. 因为通常规定：逆时针的辐角为正，顺时针的辐角为负，则复数相乘相当于逆时针旋转矢量；复数相除相当于顺时针旋转矢量。因为通常规定：逆时针的辐角为正，顺时针的辐角为负，则复数相乘相当于逆时针旋转矢量；复数相除相当于顺时针旋转矢量。 特别地，复数 的模为1，辐角为。把一个复数乘以 就相当于把此复数对应的矢量反时针方向旋转 角。

  18. i T t 0 6.2.2相量的定义 波形 一. 正弦量 • 瞬时值表达式 i(t)=Imcos(w t+y) 正弦量为周期函数f(t)=f (t+kT ) • 周期T和频率f 单位：秒s 周期T：重复变化一次所需的时间。 单位：赫(兹)Hz 频率f：每秒重复变化的次数。

  19. 优 点 • 正弦电流电路 激励和响应均为同频率的正弦量的线性电路（正弦稳态电路）称为正弦电路或交流电路。 • 研究正弦电路的意义 • 正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域占有十分重要的地位。 • 正弦函数是周期函数，其加、减、求导、积分运算后仍是同频率的正弦函数； • 正弦信号容易产生、传送和使用。

  20. 结论 • 正弦信号是一种基本信号，任何非正弦周期信号可以分解为按正弦规律变化的分量。 对正弦电路的分析研究具有重要的理论价值和实际意义。

  21. + L R iL + uC u - C - 二. 问题的提出 1.列微分方程： 两个正弦量的相加：如KCL、KVL方程运算：

  22. i1 初相位  1 正弦量 I1 有效值 u, i w  2 I2 i2 复数 I3  3 w i1+i2 i3 w 角频率 结论 i1 i2 o  t i3 同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只需确定初相位和有效值。因此采用 变换的思想

  23. 结论 无物理意义 2. 正弦量的相量表示 造一个复函数 对 F(t) 取实部 是一个正弦量 有物理意义 任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数。

  24. 复常数 注意 F(t) 还可以写成 F(t) 包含了三要素：I、  、， 复常数包含了两个要素：I, 。 正弦量对应的相量 相量的模表示正弦量的有效值 相量的幅角表示正弦量的初相位

  25. 同样可以建立正弦电压与相量的对应关系： 例1 已知 试用相量表示i, u . 解 例2 试写出电流的瞬时值表达式。 解

  26. +j q  +1 • 相量图 在复平面上用向量表示相量的图

  27. 结论 6.2.3时域运算和相量运算的关系 • 同频率正弦量的加减 相量关系为： 同频正弦量的加减运算变为对应相量的加减运算。

  28. i1  i2 = i3 例

  29. +j +j +1 +1 借助相量图计算 首尾相接

  30. 正弦量的微分、积分运算 微分运算 积分运算

  31. i(t) 相量法的优点 + R L u(t) - C 例 用相量运算： • 把时域问题变为复数问题； • 把微积分方程的运算变为复数方程运算； • 可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路。

  32. ① 正弦量 正弦波形图 线 性 相量 相量图 注意 非 线性 w1 线 性 w 时域 频域 w2 • 相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。 不适用 ③相量法用来分析正弦稳态电路。

  33. UR UR=RI i(t) u + + u=i R R uR(t) - - 6.3 电路定律的相量形式 6.3.1 电阻元件VCR的相量形式 时域形式： 相量形式： 相量关系： 有效值关系 相量模型 相位关系

  34. URI i pR uR u=i o  t 波形图及相量图 同相位 瞬时功率 瞬时功率以2交变，始终大于零，表明电阻始终吸收功率

  35. 有效值关系： U=w L I i(t) 相位关系： u=i +90° + + L uL(t) j L - - 2. 电感元件VCR的相量形式 时域形式： 相量形式： 相量关系： 相量模型

  36. XL w 感抗和感纳 XL=L=2fL，称为感抗，单位为(欧姆) BL=-1/ L =-1/2fL，称为感纳，单位为 S • 表示限制电流的能力； 感抗的性质 • 感抗和频率成正比。 相量表达式

  37. pL uL i i 2  t o 波形图及相量图 电压超前电流900 功率 瞬时功率以2交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消，表明电感只储能不耗能。

  38. 有效值关系：IC=w CU iC(t) 相位关系： i=u+90° + + C u(t) - - 3. 电容元件VCR的相量形式 时域形式： 相量形式： 相量关系： 相量模型

  39. |XC| w 容抗与容纳 XC=-1/w C，称为容抗，单位为 (欧姆) B C= w C，称为容纳，单位为S • 容抗和频率成反比 • 0， |XC|直流开路(隔直) w  ，|XC|0高频短路 相量表达式

  40. pC iC u u 2  t o 波形图及相量图 电流超前电压900 功率 瞬时功率以2交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消，表明电容只储能不耗能。

  41. 表明 6.3.2基尔霍夫定律的相量形式 同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行计算。因此，在正弦电流电路中，KCL和KVL可用相应的相量形式表示： 流入某一结点的所有正弦电流用相量表示时仍满足KCL；而任一回路所有支路正弦电压用相量表示时仍满足KVL。

  42. 例1 试判断下列表达式的正、误。 L

  43. A0 A0 A2 A2 A0 A1 ＝8A ＝6A ＝I0min=? ＝ ＝? ＝I0max=? ＝? A0 A1 A0 Z2 Z1 A1 A2 例2 已知电流表读数： 解

  44. 相量模型 i -j10W 0.02F + + 15W 15W u j20W _ _ 4H 例3 解

  45. -j10W + 15W j20W _

  46. 相量模型 i 5W 5W + + uS -j5W 0.2F _ _ 例4 解

  47. jXL jXC + + R UC _ - 图示电路I1=I2=5A，U＝50V，总电压与总电流同相位，求I、R、XC、XL。 例5 解法1 令等式两边实部等于实部，虚部等于虚部

  48. + 无源 线性 网络 + - Z - 6.4 阻抗和导纳 1. 阻抗 正弦稳态情况下 欧姆定律的相量形式 阻抗模 阻抗角

  49. 表明 + + + C L R - - - 当无源网络内为单个元件时有： Z 可以是实数，也可以是虚数。

  50. R R j L L uL - - + + - - + + + + uR + + uC u C i - - - - 2.RLC串联电路 KVL：

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