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第四节 积分的换元法

第四节 积分的换元法. 一、 不定积分的换元法. 二、 定积分的换元法. 一、 不定积分的换元法. 在第二节已经看到不定积分的运算与求导. 运算是互逆的，回顾复合函数的求导法则：. 由原函数与不定积分的定义，从 (1) 式有. 如果设. 则. 由此得到不定积分的第一换元法．. 定理 1. 设. ，. 可导，则. 注 (1) 上式求不定积分可按以下步骤进行. (2) 在凑微分时，要考虑不定积分. 可求. (3) 设. 是某一个基本积分. 公式，. 表明了基本积分公式中的积分变量换成任. 一可微函数，公式仍成立，这就大大扩充.

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第四节 积分的换元法

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Presentation Transcript

  1. 第四节 积分的换元法 一、不定积分的换元法 二、定积分的换元法

  2. 一、不定积分的换元法 在第二节已经看到不定积分的运算与求导 运算是互逆的，回顾复合函数的求导法则： 由原函数与不定积分的定义，从(1)式有 如果设 则 由此得到不定积分的第一换元法．

  3. 定理1 设 ， 可导，则 注 (1)上式求不定积分可按以下步骤进行

  4. (2) 在凑微分时，要考虑不定积分 可求 . (3)设 是某一个基本积分 公式， 表明了基本积分公式中的积分变量换成任 一可微函数，公式仍成立，这就大大扩充 了基本积分公式的使用范围．

  5. 例1 求 ． 解 因为 所以令 ，则

  6. 例2 求 ． 解 例3 求 ． 解

  7. 例4 求 ． 解 以上几例都是直接用凑微分求积分的， 这里熟悉一些“凑微分”是非常有用的.

  8. 下面介绍几个凑微分的等式供参考， 以下a,b为常数，a≠0．

  9. 等等．

  10. 例5 求 ． 解

  11. 例6 求 ． 解 此题不能像前面的例题那样直接凑微分， 由积化和差公式，sin3xcos2x=(sin5x+sinx)， 可转化成与例3类似的积分． 类似的可求∫sin mx cos nxdx, ∫sin mx sin nxdx的积分.

  12. 例7 求 ． 解 例8 求 ． 解 由于被积函数 是奇次幂， 于是

  13. (a>0)． 例9 证明 证 例10 求 ． 被积函数是一个真分式的有理函数， 解 可用简化分母的方法求解，即把 的形式，确定a,b的值， 拆成 然后逐项积分．

  14. 因为 所以

  15. 例11 证明 ． 解 因为4x-1=2(2x-1)+1，所以

  16. 以上用不定积分的第一换元法求解了一些 (a≠0), 例题，但有些不定积分，如 等，就难以用凑微分的方法来积分， 下面通过代换x=φ(t)，即第二换元法来求解． 关于不定积分的第二换元法有 定理2 函数 有连续的导数且 又函数 有原函数，则

  17. 对第二换元法在使用上式时，通过变换x=ψ(t)化成t为积分变量的积分，最后一定要把t代回为x．下面主要介绍使根式有理化的方法． 首先介绍三角代换．当被积函数含有二次 (a>0)时，除可以 根式 直接用基本积分公式或凑微分(如例1)的题目 外，可分别令 x=asin t，x=atan t，x=asec t 等代换化去根式，下面举例说明．

  18. 例12 求 ． 解 由三角公式 令x=asin t 则 ， dx=acos tdt，于是

  19. 为了把最后一式还原为x的表达式，可以根据 求t的其它三角函数值， 、 由于它们的表达式在一、四象限内相同，因此 可利用t是锐角时作辅助直角三角形(如下图) 来求，有

  20. 例13 求 (a>0)． 解 由三角公式 令 则 于是

  21. 根据 作辅助直角三角形（如图） 有 ， 因此 其中

  22. 例14 求 解 由于被积函数含有 于是 则

  23. 例15 求 解 为了同时化去根式 则 于是

  24. 例16 求 (x>0)． 解 为了使根式有理化，令 则 于是

  25. 二、定积分的换元法 定理3 ， 定积分 满足： 在[α,β](或[β,α])上有连续 (1)函数 的导数， (2)函数 f(x) 在 的值域上连续，则

  26. 证：由假设可知，上式两边的被积函数都在相应的积分区间上连续，因此都存在原函数．设F(x)是f(x)的一个原函数，由牛顿—证：由假设可知，上式两边的被积函数都在相应的积分区间上连续，因此都存在原函数．设F(x)是f(x)的一个原函数，由牛顿— 莱布尼茨公式 设 则 因此Φ(t)是 的一个原函数. 从而

  27. 注：(1) “换元同时换限”，通过关系式 上(下)限对应上(下)限，下限不一定小于上限． 为了书写简便，换限可表示成：原积分变量 ： 下限→上限，有新积分变量 ：下限→上限。 (2) 换元后，无需像不定积分那样，回代到 原积分变量，只要对新积分变量直接用牛顿 —莱布尼茨公式．

  28. 例17求 的值． 解 由于(cos t)′=-sin t，因此可用sin tdt 凑微分． 令cos t=x，则dx=-sin tdt， 有 于是

  29. 例18计算 ． 解 例19计算 解 由于 上可正可负，于是

  30. 例20 设函数f(x)在闭区间[-a,a]上连续， 证明：(1)f(x)为奇函数时， (2)f(x)为偶函数时， 证： 对 ，令x=-t， 则dx=-dt， x: -a→0有t: a→0，于是

  31. 从而 (1) 若f(x)为奇函数，有f(-x)+f(x)=0，所以

  32. (2) 若f(x)为偶函数，有f(-x)+f(x)=2f(x)，所以 该题的几何意义是明显的，如下图所示． (a) (b)

  33. 利用上例可简化奇偶函数在[-a,a]上的 定积分计算． 如上例中的被积函数 是偶函数， 于是

  34. 例21 计算(1) 分别是 解(1) 由于 上的偶函数、奇函数，于是由例20有

  35. (2) 由于x2|x|是[-1,1]上的偶函数，由例20有 例22设函数f(x)在[0,1]上连续，证明 证 由于sin x与cos x互为余函数，令 ，则dx=-dt

  36. ，于是

  37. 例23 设f(x)是以T为周期的连续函数，对 任意的常数a，则 证 由于 对最后一个积分，令x-T=u，则dx=du， x:T→a+T，有u:0→a；于是 因此

  38. 求 例24 设函数 解 令x-2=t，则dx=dt，x：1→3，有t：-1→1； 于是

  39. 例25 求 . 解一 因被积函数是偶函数，所以 由例12，

  40. 解二 (-2≤x≤2)是以原点为圆心、 2为半径的上半圆周，由定积分的几何意义， 有

  41. 例26 求 的值. 解 令x=sin t，则dx=cos tdt;定限时由于t的 取值不唯一，通常在原点邻近的单调 ，于是 区间内取值，

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