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例谈课本例题的开发与应用

例谈课本例题的开发与应用. 建德市新世纪实验学校 何继斌 Email ： hejibin@163.com Tel ： 13819160646. 中考命题关注能力考察. 近几年杭州市中考数学试卷命题的几个口号： 06 年 坚持方向 , 保持稳定 , 逐年发展 07 年 注重基础，注重应用， 注重能力 08 年 活 而不难 , 巧 而不偏 , 新 而不怪 09 年 关注核心 , 凸显思考 , 考查素养. 中考试卷集中出现的难点. （一）基本图形的识别和应用类问题.

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例谈课本例题的开发与应用

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Presentation Transcript

  1. 例谈课本例题的开发与应用 建德市新世纪实验学校 何继斌 Email：hejibin@163.com Tel：13819160646

  2. 中考命题关注能力考察 近几年杭州市中考数学试卷命题的几个口号： • 06年 坚持方向, 保持稳定, 逐年发展 • 07年 注重基础，注重应用，注重能力 • 08年 活而不难, 巧而不偏, 新而不怪 • 09年 关注核心, 凸显思考, 考查素养

  3. 中考试卷集中出现的难点 （一）基本图形的识别和应用类问题 （08年）15. 如图，大圆O的半径OC是小圆O1的直径，且有OC垂直于⊙O的直径AB。⊙O1的切线AD交OC的延长线于点E，切点为D。已知⊙O1的半径为r，则AO1=________；DE=_________

  4. 中考试卷集中出现的难点 （一）基本图形的识别和应用类问题 （09年）16. 如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上一点，正方形DEFG的一边DG在直径AB上，另一边DE过ΔABC的内切圆圆心O，且点E 在半圆弧上。①若正方形的顶点F也在半圆弧上，则半圆的半径与正方形边长的比是；②若正方形DEFG的面积为100，且ΔABC的内切圆半径=4，则半圆的直径AB=.（难度系数：0.17）

  5. 中考试卷集中出现的难点 （二）对一般规律的归纳推理问题 （08年）如图，记抛物线的图象与正半轴的交点为A，将线段OA分成n等份，设分点分别为P1，P2，…，Pn-1，过每个分点作轴的垂线，分别与抛物线交于点Q1，Q2，…，Qn-1，再记直角三角形OP1Q1，P1P2Q2，…的面积分别为S1，S2，…，这样就有 ， ，…；记W=S1+S2+…+Sn-1，当n越来越大时，你猜想W最接近的常数是 A. 2/3 B. 1/2 C. 1/3 D. 1/4 ，

  6. 中考试卷集中出现的难点 （二）对一般规律的归纳推理问题 （09年）某校数学课外小组，在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点Pk(xk,yk)处，其中x1=1，y1=1，当k≥2时， [a]表示非负实数a的整数部分，例如[2.6]=2，[0.2]=0。按此方案，第2009棵树种植点的坐标为（ ） A.（5，2009） B.（6，2010） C.（3，401） D（4，402

  7. 中考试卷集中出现的难点 （三）实际生活情境下的应用类问题 (09年)在杭州市中学生篮球赛中，小方共打了10场球,他在第6，7，8，9场比赛中分别得了22，15，12和19分，他的前9场比赛的平均得分y比前5场比赛的平均得分x要高.如果他所参加的10场比赛的平均得分超过18分. （1）用含x的代数式表示y； （2）小方在前5场比赛中，总分可达到的最大值是多少？ （3）小方在第10场比赛中，得分可达到的最小值是多少？ （四）数形结合类的综合题（压轴题）

  8. 中考命题对课堂教学的启示 启示1．立足课标课本，研究命题方向 启示2．注重基础训练，培养良好习惯 启示3．重视思想方法，发展思维能力

  9. 研究例题 活用例题 提高数学解题教学的效率

  10. 案例一 一题多解 基础训练一步到位 例题：浙教版 九上 2.4 二次函数的应用3，例2： 利用二次函数的图象求一元二次方程x2+x-1=0 的近似解。 教材设计意图：促进函数与方程关系的理解。 教师目标设定： （1）理解二次函数与方程的关系； （2）进一步加强对函数图像的准确把握； （3）体会方法的优化选择。

  11. (图1) 案例一 一题多解 基础训练一步到位 例题：利用二次函数的图象求一元二次方程x2+x-1=0 的近似解。 学生行动一： 首先想到的方法（书本上的分析）是：只要画出函数y=x2+x-1的图像，再观察其与轴的交点坐标。如图6 行动收获一： 交流后得到结论，原来是画图时有讲究，只要适当的取5个整数点来画出图像就可以。这里的“适当”一般指使函数值有正负值，出现与x轴的交点。 过程质疑： 在实际操作中出了问题，抛物线如何画出？利用常规的5点法画图吗？如果是这样，那么图像还未画出，就已经计算得到了与x轴的交点坐标，失去了画图的意义。而且此抛物线与轴的交点坐标还是无理数，不容易画。

  12. (图2) 案例一 一题多解 基础训练一步到位 例题：利用二次函数的图象求一元二次方程x2+x-1=0 的近似解。 教师行动一： 引导，既然都是谈交点，不妨将方程变形为x2=-x+1，理解为函数y= x2与y=-x+1图像交点的横坐标。(图2) 行动收获二： 图像的交点坐标可以理解为方程组的解； 看来适当的变通对问题解决很有帮助，方法选择很重要。 还有其他更简单的变形吗？

  13. (图3) 案例一 一题多解 基础训练一步到位 例题：利用二次函数的图象求一元二次方程x2+x-1=0 的近似解。 学生行动三： 如图3，将方程变形为x2+x=1 ，画出函数y=x2+x与y=1的图像，观察两图像交点的横坐标； 行动收获三： “一题多解很好，我认为第三种方法最简单，类似直线平行于坐标轴的直线画起来很轻松” “自己动笔最重要，我刚开始认为这个问题很简单，没想到还隐含了这么多学问” “我觉得只要牢固掌握图像性质，能熟练画函数草图，函数问题都不是问题”

  14. 案例二 一题多变 探究命题方向 （浙教版八年级上册P47第2题） 如图1，在Rt△CAB和Rt△ECD 中，AC=CE，点D在边BC的延长线上，且∠ACE= ∠B= ∠D=90° 从你的直觉中能得出哪些结论？ 教学设计方案 题组一：基本图形巩固 题组二：基本图形变式 题组三：基本图形应用 A E B D C 图1

  15. 案例二 一题多变 探究命题方向 ； 问题1：（2008年台州市） 如图2，四边形ABCD，EFGH，NHMC都是正方形，边长分别为a，b，c；A，B，N，E，F五点在同一直线上，则c = ___________（用含有a，b的代数式表示） 思考：你能从图中找出数学模型吗？ M c H C G D b a A B N E F （2）

  16. 案例二 一题多变 探究命题方向 问题2：（2007年江苏南通市） 如图3，梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，AB= 2cm，CD=4cm。以BC上一点O为圆心的圆经过A、D两点，且∠AOD=90°，则圆心O到弦AD的距离是（ ） D A C B O （3）

  17. 案例二 一题多用 探究命题方向 问题3：（2009年丽水市） 如图5，已知△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3，则AC的长是（ ） 思考：从图中，你怎样来构造出数学模型？ A C l1 l2 B l3 （5）

  18. 案例二 一题多变 探究命题方向 题目变式一：（弱化条件“AC=CE（线段相等）”，则结论由三角形全等弱化为三角形相似） • 如图6，在Rt△CAB和Rt△ECD 中， 点D在边BC的延长线上，且∠ACE= ∠B= ∠D=90°。则原题中结论还成立吗？ A E B D C (6)

  19. 案例二 一题多变 探究命题方向 问题1：（2009年长春） 如图7，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上， △ABE∽△DEF，AB=6，AE=9，DE=2，求EF的长。 E A D F B C （7）

  20. 案例二 一题多变 探究命题方向 问题2：（2009年成都市） 已知A、D是一段圆弧上的两点，且在直线l的同侧，分别过这两点作l的垂线，垂足为B、C，E是BC上一动点，连结AD、AE、DE，且∠AED=90°。 （1）如图8-1，如果AB=6，BC=16，且BE∶CE=1 ∶3，求AD的长。 （2）如图8-2，若点E恰为这段圆弧的圆心，则线段AB、BC、CD之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明。再探究：当A、D分别在直线l两侧且AB≠CD，而其余条件不变时，线段AB、BC、CD之间又有怎样的等量关系？请直接写出结论，不必证明。 D D A A B E C l （8-2） l E C B （8-1）

  21. 案例二 一题多变 探究命题方向 问题3：（2008年宁波市） 如图，长方形纸片ABCD的边长AB=8。 （1）如图9--1，把这张纸按如下步骤折叠：两次折叠 求AD的长： （2）如图9--2，由8个大小相等的小正方形构成“L”型图案，它的四个顶点分别在矩形ABCD的边上，求AE的长．

  22. 案例二 一题多变 探究命题方向 题目变式二：（ 进一步弱化其中的直角条件为“ ∠A=∠D=∠ACE”，则结论中的三角形相似仍成立） E 4 A 2 1 3 B C D

  23. 2 D A F B E C 案例二 一题多变 探究命题方向 问题1： （2009太原市中考题）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC=4AD=4 ，∠B=450，直角三角板含450角的顶点E在边BC上移动，一直角边始终经过点A，斜边与CD交于点F，当△ABE为等腰三角形时，求CF的长。

  24. 案例三 一题多用 实现多题归一 如何去解？ 中考题哪里来？ 化归 来源 引申、条件变换、移植转换、增加解题层次性等 中考题 课本例题或常见题

  25. A B P A’ 案例三 一题多用 实现多题归一 （七年级下册）如图，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A，B到它的距离之和最短？ 基本图形:两点一线 基本解法:利用对称性

  26. A D P P B C 案例三 一题多用 实现多题归一 在几何背景下的应用 典例分析 如图，正方形ABCD中，AB=2,P是对角线AC上任意一点 （1）若M是AB边上的中点，求PM+PB的最小值 M

  27. A D B C 案例三 一题多用 实现多题归一 点动线不动 A组变式：点B换成了点N 如图，正方形ABCD中，AB=2,P是对角线AC上任意一点 （2）若M、N分别是AB，BC边上的点，且AM=CN=1/3AB,求PM+PN的最小值 M P N

  28. A D P P M M B C 案例三 一题多用 实现多题归一 点线一起动 B组变式：改动了对称轴的位置，点M变成了动点 如图，正方形ABCD中，AB=2,Q是AB中点， B’ （3）连结QC，点P、M是QC、BC上任意点，求PM+PB的最小值。 Q

  29. 案例三 一题多用 实现多题归一 C组变式：在函数中应用 （2008年湖北省咸宁市）如图，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角平分线． 运用与拓广： (3)已知两点D(1,-3)、E(-1,-4)，试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小，并求出Q点坐标．

  30. y O A B x C 案例三 一题多用 实现多题归一 C组变式：在函数中应用 已知：抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=-1，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A(-3,0)、C(0,-2). （1）求这条抛物线的函数表达式． （2）已知在对称轴上存在一点P，使得的△PBC的周长最小．请求出点P的坐标．

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